核心素养视角下教学设计的实践与思考——以浙教版八年级下册2.1“一元二次方程”为例

☉浙江省衢州市衢江区杜泽镇初级中学 徐建兵

在2018年浙江省数学疑难问题解决研训中，首都师范大学数学科学院王尚志教授作了“核心素养与初中数学教学”的报告，报告指出，课程改革主要的变化是从“以知识为本”转变为“以学生为本”，建议教学实践中要不断发现、提出问题，分析、解决问题，提高教与学的效率.数学核心素养是学生在接受相应学段的教育过程中，逐步形成的适应个人终身发展和社会发展需要的数学思维品质与关键能力.数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析这六个核心素养的提出，是课程从知识立意发展到能力立意，再到素养立意的一个过程，它是数学学科教育“品质”不断完善的产物.数学中每一个核心素养有其自身的独立性，也有它们的整体性，相互交融渗透.如何通过有效设计课堂教学提升学生的数学核心素养，这是笔者一直思考的问题.本文以浙教版八年级下册2.1“一元二次方程”为例，谈谈数学核心素养视角下课堂教学设计的一些思考.

一、有效设计整体结构，承载数学核心素养

“一元二次方程”是浙教版八年级下册第二章第1课时，学生已经学过一元一次方程、二元一次方程和分式方程，具备类比研究和自主学习一元二次方程相关知识的能力.对于这节一元二次方程的概念课，笔者意在让学生通过学习，经历一元二次方程概念的发生过程，理解一元二次方程一般式的形成过程.根据学生原有的学习经验和认知基础，以培养学生的数学建模、数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养为目标，围绕着“列”“研”“纳”“化”“判”五个教学环节展开教学.通过“列”，让学生在寻找量与量的关系中，提升数学建模素养；通过“研”，从“式、元、次”三个维度类比一元一次方程的学习过程，在自我构建一元二次方程的概念中，提升数学抽象素养；通过“纳”，在学生体验归纳一元二次方程一般式的过程中，提升数学抽象素养；通过“化”，在将一元二次方程转化成一般式的恒等变形过程中，提升数学运算素养；通过“判”，在学会推理判断一元二次方程的根和学会待定系数法中，提升数学逻辑推理素养.整堂课围绕着“列”“研”“纳”“化”“判”这五个环节，让学生在掌握知识的同时，体会学习的方法，形成学习的能力，提升数学核心素养.

二、有效设计教学内容，提升数学核心素养

1.在列方程中提升数学建模素养

数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.在我们的生活中，有许多的量，有等量关系也有不等量关系.这些关系的确定是解决问题的关键，需要学生具有数学建模的良好素养.让学生从问题背景中学会寻找量与量的关系列出方程，有利于学生数学建模素养的提升.

活动1：列

请同学们阅读下列问题，思考问题中量与量的关系，列出问题中关于未知数x的方程.

图1

图2

（1）一张周长12cm的长方形彩纸，长比宽多2cm，设长方形的长为x cm，可列出方程______；（2）把面积为8cm2的一张彩纸分割成如图1所示的正方形和长方形两个部分，设正方形的边长为x cm，可列出方程______；（3）如图2，长方形彩纸的面积是正方形的2倍，设正方形的边长为x cm，可列出方程______；（4）一底面是正方形的长方体，体积为27cm3，高为3cm，设正方形的长为x cm，可列出方程______；（5）一种彩纸原价5元，经过两次涨价，现在售价为7元，设两次涨价的平均增长率为x，可列出方程______.

答案：（1）2（x+x-2）=12；（2）x2+3x=8；（3）2x2=3x；（4）3x2=27；（5）5（1+x）2=7.

思考：“列出下列问题中关于未知数x的方程.（1）把面积为4m2的一张纸分割成正方形和长方形两个部分，求正方形的边长.设正方形的边长为x m，可列出方程：______.（2）某放射性元素经2天后，质量衰变为原来的求平均每天的减少率.设平均每天的减少率为x，可列出方程：______.观察上面所列方程，说出这些方程与一元一次方程的相同和不同之处.”这是教材呈现的利用两个方程得出概念的内容.一元二次方程概念的形成是学生抽象思维形成的一个重要过程，学生需要从具体的方程中抽象出概念，同时为了提升数学建模素养，笔者对教材进行处理，选取5个学生身边的事例，重点放在学生寻找“量”与“量的关系”的方法过程中数学建模素养的渗透.教材中第（2）问的放射性元素学生比较陌生不易理解，为了降低学生的理解难度，突出教学的重点，笔者把它改成问题（5）“平均增长率问题”，这5个不同形式数量关系的出现给概念形成与一般式的出现提供了更充分的抽象素材.

2.在归纳中提升数学抽象素养

数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程.表现在从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构.在一元二次方程概念和一般式的归纳中承载着数学抽象素养的形成过程.

（1）在类比研究归纳概念中提升数学抽象素养

活动2：研

观察方程2（x+x-2）=12、x2+3x=8、2x2=3x、3x2=27、5（1+x）2=7，思考下列问题.

问题1：从以上方程中找出已经学过的方程；

问题2：以前研究学习一元一次方程时，是从哪几个维度去研究的？

问题3：请类比一元一次方程的学习，再次从“式、元、次”三个维度研究，看看这些新方程有哪些共同特征.

问题4：带着它们的共同特征，用自己的语言描述一元二次方程的概念，并把你的描述与书本概念进行比较，体会数学概念表述的准确性.

思考：“方程x2+3x=4和（1-的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2.我们把这样的方程叫作一元二次方程.”这是教材呈现概念的方式.倘若让学生直接看书本，或许学生对一元二次方程也会有一定的了解，但是这样不能培养学生的自主学习能力，不能让学生体会研究方程的一般过程，不利于学生数学抽象素养的提升.每个一元二次方程是具体的，而一元二次方程的概念是抽象的，如何更好地从具体的方程中抽象出概念，这是概念教学中笔者经常思考的问题.自主学习是学生素养形成的必经之路，在这个环节中，呈现一元一次方程2（x+x-2）=12，意在让学生从已有的认知出发，寻找熟悉的“身影”，在发现新鲜事物的同时，激发学生的求知欲望，在学习研究一元一次方程方法的基础上，教会学生研究方程的 “通法”，通过“式”“元”“次”三个维度进行自主学习，发现特征，从它们的特征中抽象出一元二次方程的概念.这是概念自我构建的一般过程，也是提升学生数学抽象素养的一种有效策略.

（2）在归纳形成一般式中提升数学抽象素养

活动3：纳

按照下面的步骤，对方程x2+3x=8、2x2=3x、3x2=27、5（1+x）2=7进行整理，并回答下面问题.

步骤1：对方程左右两边进行化简；

步骤2：把所有项移到左边；

步骤3：化简后按照降次排列.

问题1：请同学们写出整理后各个方程的二次项、一次项和常数项.

问题2：请同学们尝试用字母表示数，归纳出一元二次方程的一般式，并思考：这些表示数的字母有什么特殊的要求吗？

思考：“一般地，任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0的形式.我们把ax2+bx+c=0（a、b、c为已知数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，其中ax2、bx、c分别称为二次项、一次项和常数项，a、b称为二次项系数和一次项系数.”这是教材对一般式的呈现过程，很多老师也是在课堂中直接生硬地给出一般式，笔者认为任何知识的出现与形成都有其原由和价值，因此在“列”的环节中，笔者选择了前面出现过的x2+3x-8=0、2x2-3x=0、3x2-27=0、5x2+10x-2=0这四个方程，其中包含一次项系数为0的和常数项为0的方程，这对于由具体的方程抽像出一般式具有非常重要的意义，更能让学生体会教材中“都可以转化为ax2+bx+c=0”的含义，也便于学生对“系数”和“项”的理解.笔者在课堂中先让学生整理，并找出具体的项和系数，再从具体的系数中抽象出系数a、b和c，让学生更好地理解每个系数的取值范围，学生在知其然且知其所以然的同时，提升数学抽象素养.这与下一环节的“化”，形成了从具体到抽象，又从抽象到具体的过程，符合学生的认知规律.

3.在提炼转化中培养学生的数学运算素养

数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程.在一元二次方程一般式的转化中，需要学生理解运算的对象，掌握运算的方法，探究运算的方向等，它承载着数学运算素养的提升过程.

活动4：化

观察一元二次方程的一般式ax2+bx+c=0（a、b、c为已知数，a≠0）的特征，尝试把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.

（1）9x2=5-4x；（2）（2-x）（3x+4）=3；（3）4x2=5；（4）3y2+

思考：“例1 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.（1）9x2=5-4x；（2）（2-x）（3x+4）=3.解：（1）移项，整理，得9x2+4x-5=0，这个方程的二次项系数是9，一次项系数是4，常数项是-5.（2）可得-3x2+2x+5=0，这个方程的二次项系数是-3，一次项系数是2，常数项是5.”这是教材中给出的例题，运算是数学的核心，加之学生的运算能力不强的事实，笔者对其进行处理，增加两个小题，顺着前一环节的一般式进行转化，朝着转化的目标进行运算.任何一种技能的学习都有一定的“通法”，计算是一个围绕结果恒等变形的过程，课堂中，笔者让学生朝着一般式的目标，尝试进行整理，提炼一般方法，让学生在体会去括号、移项、合并同类项的基本过程，在自主学习与方法交流的过程中培养运算素养.

4.在判根和用根中提升逻辑推理素养

逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的思维过程.在一元二次方程根的判断和用根中蕴含着数学的逻辑推理素养的形成过程.

活动5：判

问题：判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根，写出推理过程.

练习1：已知一元二次方程2x2+bx+c=0有两个根x1=1，x2=2，求这个一元二次方程.

练习2：已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为已知数，a≠0）的一个根是1，求代数式a+b+c的值.若ab+c=0，你能通过观察，求出方程ax2+bx+c=0的一个根吗？

思考：教材呈现解是直接在一元二次方程的概念出现之后，“能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解（或根）”.同时在练习2中让学生判断未知数的值x=-1、x=0、x=2是不是方程x2-2=0的根.在例2中设置了待定系数法的应用：“已知一元二次方程2x2+bx+c=0的两个根为=-3，求这个方程.解：将x=1=-3代入方程2x2+bx+c=0，得解得，所以这个一元二次方程是2x2+x-15=0.”这样呈现不够连续，因此笔者对教材进行处理，先类比一元一次方程解的概念，让学生自主学习获取一元二次方程根的概念，同时类比一元一次方程解的判断进行一元二次方程根的判断，这顺应了学生自主学习的过程.在认识根的同时与一元一次方程的根进行类比，发现它们都存在能使等式成立的共性，也发现一元二次方程好像不是一个根的特殊情况，由此激发学生的求知欲望.在判根时书写推理过程，提升学生的逻辑推理能力.从问题中书写判根的推理过程提升学生的数学逻辑推理素养.从练习1学会待定系数法中体验一元二次方程一般式的“通式”作用.从练习2的解决中让学生明确“解必成立，成立必是解”的属性.三个问题的解决渗透了数学的逻辑推理素养.

三、结语

课堂教学是核心素养落地生根的重要支点和主要渠道，那么，如何在数学课堂教学中给学生的核心素养提供个性、全面、可持续的助力呢？首先，我们教师要做一个“有心人”，教学的设计要着眼于学生的可持续性.课堂教学设计要立足于学生的长远发展，培养学生适应个人终身发展和社会发展需要的关键能力和思维品质，把数学的核心素养蕴育在情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思之中.数学核心素养与数学课程的目标内容直接相关，是在数学学习的过程中逐步形成的.它不是独立于知识、技能、思想、经验之外的“神秘”概念，而是依托于知识与技能的形成之中.数学核心素养有它的整体性，在笔者设计的五个环节中，各类素养也是交错相融的，数学建模中蕴含数学抽象，逻辑推理中蕴含数学运算，它们是相互渗透的.初中生的思维能力尚处于一个相对较低的层次，他们的认知建构，很大程度上要依赖于直观形象思维，而数学学科又有着强烈的抽象性.因此我们在教学中要注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想，注重发展学生的应用意识和创新意识.课堂要以发展学生的核心素养为目标指向，以数学知识为载体，以数学概念的内在逻辑为线索，精心选择学习素材，构建学习情境，设计符合学生认知规律的系列活动，引导学生通过多样化的学习方式，掌握数学“双基”，形成数学思维.并在运用数学知识解决问题的过程中，培养创新精神和实践能力，从而实现核心素养的发展目标.