经历生成探究过程，培育学生数学素养——“15.1（1）平方差公式”的教学设计与思考

☉上海市虹口区教师进修学院 胡 军

☉上海市民办新华初级中学 李建华

《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确提出：“数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养.作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的理性思维和创新能力方面不可替代的作用.”《上海市中小学数学课程标准（试行稿）（2004版）》也明确指出：“提高学生的数学素养，培育终身学习的基础.”由此可见，“数学素养”是指导、引领、辐射数学课程教学开展的目标，培育学生的数学素养是数学课堂教学的应然追求.为此，数学教育的目标定位和教学活动都要从“数学素养”的高度进行，培育学生数学素养是深化数学课堂教学改进的主旋律.本文结合“15.1（1）平方差公式”的教学设计，谈谈重视经历生成探究过程，培育学生数学素养的几点思考.

一、数学教学中的生成探究

何为“探究”？简单来说，“探究”就是对某一问题进行深入研究.“探究”，对于教师而言，则是一种打破以往单向传递学科知识的教学方法，引导并帮助学生运用自己所学知识解决实际问题；对于学生而言，是一种不同于以往被动接受知识的学习方式.“探究”运用于数学教学，主要指学生在数学教师指导下以类似科学研究的方式，以学生独立自主学习和合作讨论为前提，以现行教材为基本探究内容，以学生周围世界和生活实际为参照对象，获取相关知识、应用数学技能、解决问题并生成智慧的一种学习方式.学生在这一探究过程中，经历表达问题、提出问题、探究问题、讨论问题，从而发现新知识、掌握新技能的过程，培养学生的数学素养.

“探究”在数学教学设计中有着重要的意义，探究式的教学方法也必须恰当地镶嵌在具体的数学课堂教学环节中，才能使学生在经历知识生成探究的过程中提高数学素养.本文以“15.1（1）平方差公式”的教学设计为例，引导学生运用多项式与多项式的乘法法则的知识，借助类比与观察等探究方法，激发学生在推导平方差公式的过程中发现新的问题，产生学习新知识的兴趣，从而形成关键能力、必备品格和正确的价值观.教师利用复旧孕新、探究新知、例题剖析、巩固训练、自主小结、分层作业这六大环环相扣的教学环节，让学生在一系列问题情景中，经历用文字语言和符号语言表述平方差公式，借助图形面积的推导过程了解平方差的几何背景这一生成探究过程，帮助学生正确把握平方差公式的特征及简单运用，提高学生在生活中应用数学的意识.

本节课教师在帮助学生探究平方差公式这一过程中，帮助学生能够自主推导出平方差公式，能够正确把握平方差公式的特征，能够使平方差公式教学的重、难点在探究过程中逐步得到解决，进一步发展了学生的符号意识和推理能力，帮助学生体会到数形结合思想，发展了学生的几何直观，使得学生具备在文字语言表述、代数式符号表述及图形语言表述这三者之间相互转换的数学能力，提高学生的数学语言交流表达能力.其具体教学设计为以下六大环节.

二、生成探究的过程设计

环节1：复旧孕新，引入新课

师：回顾上节课所学的多项式与多项式的乘法，法则是什么？有何具体应用？

生：法则是（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn，可以进行多项式与多项式的乘法计算.

师：若将上式中的（m+n）换为（a-b），即得到（a+b）（ab），那么它的结果是什么呢？请大家计算.

生：（a+b）（a-b）=a2-ab+ba-b2=a2-b2.

师：观察上面这个算式，你发现这个乘法算式有何特征？

生：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.

师：这就是我们今天要学习的内容（板书课题：平方差公式）.

设计说明：数学知识具有很强的系统性，很多新知识都是在已有知识的基础上形成和发展起来的.学生复习巩固已学的知识，有利于新知识和旧知识的衔接，便于教师循序渐进地开展教学.因此，教师可以根据新知识和旧知识的联系，在复习旧知识的基础上，自然、巧妙地引入新课.本节课前，因为学生已经掌握了多项式与多项式的乘法，所以在复习多项式与多项式的乘法的基础上，引导学生计算特殊的多项式与多项式相乘，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，引出平方差公式.这样的设计既复习了旧知，为后面学习平方差公式做了铺垫，又让学生感受了从一般到特殊的认识规律，体验到平方差公式与多项式乘法的关系，增强数与式的运用意识.

环节2：探究新知，内化新知

1.平方差公式的表述.

师：如何用文字语言和符号语言表述平方差公式？

生1：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.

生2：（a+b）（a-b）=a2-b2（公式中的a和b可以是任意的数或代数式）.

2.平方差公式的几何背景.

师：如图1和图2，你能根据下列图形的面积关系说明平方差公式吗？

生1：由图1知，箭头左边的图形是一个长和宽分别为（a+b）和（a-b）的长方形，其面积为（a+b）（a-b）；箭头右边的图形是在一个边长为a的大正方形内挖去一个边长为b的小正方形，其面积为a2-b2，所以可得：（a+b）（ab）=a2-b2.

生2：由图2知，箭头左边的图形是由两个梯形拼成的一个长和宽分别为（a+b）和（a-b）的长方形，其面积为（a+b）（a-b）；箭头右边的图形是由两个梯形拼成的，它是在一个边长为a的大正方形内挖去一个边长为b的小正方形，其面积为a2-b2，所以可得：（a+b）（a-b）=a2-b2.

师：通过以上两种拼法，均可得到平方差公式，我们可进一步认识平方差公式的特点.

3.完善对平方差公式的认识.

［说一说］

师：下列各式中，哪些能用平方差公式计算？为什么？

生：能用平方差公式计算的有：（1）（3）（5）.

师：公式（a+b）（a-b）=a2-b2中的a和b可以是任意的数或代数式.

设计说明：数学实践告诉我们，若学生能用三种语言复述公式和解释公式所揭示的本质属性，那么他们对公式的理解就深刻.因此，应加强三种数学语言的互译，引导学生把握文字语言表述、代数式符号表述及图形语言表述间的相互转换，提高数学语言交流表达能力，同时强化学生的抽象思维.通过学生小组合作完成剪拼游戏活动，利用这些图形面积的相等关系，进一步从几何角度验证了平方差公式的正确性，渗透了数形结合思想，让学生了解平方差公式的几何背景，体会到代数与几何的内在联系，感悟数形结合思想，发展几何直观.掌握平方差公式的结构特征是正确运用公式的前提，在“说一说”数学活动中，引导学生观察、分析公式的结构特征及公式中字母的广泛含义，加深学生对公式的理解，提高合作意识.

环节3：例题剖析，强化新知

师：请同学们思考例1.

例1 计算：

（1）（2x+y）（2x-y）；

（2）（-x-y）（-x+y）；

（3）（m+n）（m-n）（m2+n2）.

生答略.

师：请同学们思考例2.

例2 计算：

生答略.

设计说明：例题教学是数学教学的重要环节，是将知识、技能和数学思想方法联系起来的纽带.好的例题能引导学生在应用新知的过程中加深对所学知识的理解，搭建起新知与旧知的桥梁，从而完善学生的知识系统，扩大知识网络.通过例题教学，不仅能培养学生的数学学习能力和思维能力，而且能以点带面，提升学生的感性认识，帮助学生领悟数学思想方法，探寻并掌握学习的“捷径”，大大提高教与学的效率，深化数学知识的理解.本环节中，通过对例题的分析，引导学生进一步探究平方差公式的运用，熟悉平方差公式的本质特征，掌握运用平方差公式必须具备的条件.在认清公式的结构特征的基础上，进一步剖析a、b的广泛含义，抓住公式运用的核心，学生在公式的运用中经历数学知识和方法的迁移过程，在这一探究过程中发展能力，激活思维.

环节4：巩固训练，深化新知

师：请同学们完成以下练习.

［练一练］

1.计算：

（1）（2x+1）（2x-1）；

2.在下列括号内填上恰当的多项式：

（1）（2x+y）（ ）=4x2-y2；

（2）（ ）（ ）=16-n2.

［试一试］

3.小李同学去商店买了单价是9.8元/千克的糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器，小李就说出了应付的钱，结果与售货员计算出的结果相吻合.售货员很惊讶，你知道小李同学是怎样计算的吗？

设计说明：课堂练习是学生掌握知识、形成技能，培养学生运用知识解决实际问题的能力的有效手段，是学生学习数学的重要环节.它对优化课堂教学过程，提高课堂教学效率，拓展学生思维空间，起着重要的作用.

本环节“练一练”的设计旨在考查从正、反两方面灵活运用平方差公式，其中，题1是检测学生正用公式的情况，题2由结果追溯算式中的相同项和相反项，是检测学生逆用公式的情况，其关键在于理解公式的结构特征，有利于锻炼学生的逆向思维能力，也为后续的学习做好铺垫.题2的第（2）题有两种填法，属开放设计，这种变式操练有利于锻炼学生的发散思维，加强学生对公式的结构特征的理解.

课堂练习的内容设计要从学生周围熟悉的事物中寻找富有生活情趣的数学习题，让他们体验到数学的内在价值，做到学以致用，从而激发学生的探索欲望，促进他们和谐发展，让数学和学生的生活联系起来，以学生的生活经历为主体，营造丰富的、生动的、真实的数学学习氛围，赋予数学学习鲜活的现实意义.这样，学生不但会感觉到数学的亲切，更会对此产生兴趣.本环节的“试一试”就是运用平方差公式解决的实际问题，体现了数学来源于生活，服务于生活，学生感受到学习有用的数学，在探究学习过程中，帮助学生自主建构关于平方差公式的知识，同时加深学生对平方差公式的理解，提高知识迁移能力.

环节5：自主小结，概括提升

师：请同学们结合下面的提示，对本节课的学习进行小结.

一个公式……

一次探索……

一份自豪……

一点疑惑……

……

设计说明：课堂小结是对一节课的简要归结，是对学习过程的归纳反思，应该确保学生在小结环节的主体地位，留给他们充足的时间和空间，让学生有机会畅谈他们的体验、感受和收获，有机会表达他们的学习困惑和喜悦，提出建议和见解.因此，本环节设计了一系列“一”，旨在引导学生回答：通过本节课的学习，学会了什么？在学习过程中，感触最深的是什么？感到最困难或自豪的是什么？想进一步探究的问题是什么？等等.这样设计的小结具有开放性，不仅关注学生的学习结果，而且关注学生学习过程中的体验和感受，兼顾学生的情感态度和价值观.

环节6：分层作业，发展升华

必做题：

习题1.9.

选做题：

1.已知（x+35）2=13302921，试求（x+45）（x+25）的值.

2.计算：3（22+1）（24+1）…（232+1）+1.

设计说明：课后作业是学生巩固课堂所学内容的有效活动，是课堂活动的延伸，是将教学活动转化为学生自己的知识和能力的关键性环节.本环节设计采取了分层作业的形式，分必做题和选做题，这样处理有较大的弹性，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，让不同的人在数学上得到不同的发展.同时，由于分层作业的分量、难度适宜，学生可自主选择，完成的时间灵活，不同层次的学生完成作业不再有困难，这无疑有利于激发学生完成作业的乐趣，学生在完成作业的同时既感到轻松愉快，又具有一定的挑战性，让学生体会到知识探究的意义，培养学生的数学意识与数学素养.

三、实践思考

《上海市中小学数学课程标准（试行稿）（2004年版）》明确指出：“数学素养是人们通过数学教育及自身的实践和认识活动，所获得的数学基础知识、基本技能、数学思想和观念，以及由此形成的数学思维品质和解决问题能力的总和.”重视过程教学，充分暴露学生的认知发展变化的过程，教师加以科学引领，从而促进学生自主建构知识，这是培育学生数学素养的关键.数学过程教学很精彩，但必须是科学的、合理的、自然的，否则，过程教学仅仅是一种花架子，起不到培育数学素养的作用.

1.经历数学经验的生成过程，培养和发展学生的数学思维

数学公式反映了数学对象的属性之间的关系，公式中的字母是数学对象高度概括的具体表征.许多数学知识是通过数学公式呈现的，从知识构建层面看，数学公式的产生、形成和衍生发展的过程即是数学知识的生成过程.学生对数学公式的理解程度决定了其对数学知识的达成度.实际上，有的教师不注重数学公式的推导过程或推导不到位，导致学生对知识的理解处于“夹生饭”状态，这显然对学生数学素养的发展是极为不利的.

审视平常的数学教学活动，很多时候我们容易走上“重结论、轻过程，重记忆、轻理解”的路子，很少在知识生成过程中花大工夫.其实让学生经历知识的生成过程具有更重要的价值，学生需要的不仅仅是知识本身，还有获取知识和方法的亲身体验.引导学生经历知识的生成过程，不仅可以使学生亲自参与数学知识、结论形成的过程，帮助理解和掌握相应的数学知识，更可以给学生带来探索的体验、创新的尝试.

本节课上，在平方差公式的教学中，首先，教师把学生引入到积极主动的公式生成的探究活动中来，让学生在该探究活动的过程中真正经历前人发现知识、结论的过程，再次自我发现，从而有效地实现知识的建构，培养和发展学生的数学学习能力；其次，教师促进每个学生参与公式生成的全过程，引导学生以清晰表象作为支撑，了解数学公式的来源、用途，深入理解公式与图形之间的关系；再次，教师给学生充分“说”的机会，以培养学生语言的条理性和准确性，促进学生思维的逻辑性和创新性.

2.经历数学知识的迁移过程，培养和发展学生的数学能力

只重视知识的传授，单纯依靠大量练习达到知识和技能的熟练的传统教学只能培养“高分低能”，而培养不出具有数学素养的人才.解决数学问题的实质就是将原有知识、新知识进行联系、比较和运用，通过迁移，掌握知识和技能并转化为能力.把所要解决的问题与已有知识进行对比和联想，找出其中隐含的关系，为解决问题开辟了广阔的空间，实现了知识及方法的迁移.

把新知纳入旧知的结构之中，实现了知识结构的重新建构.学生的学习是一个有目的、有计划的认识过程.其中包括对所学内容的迁移，数学思想方法的迁移，而迁移能力是高素质人才必不可少的.在教学过程中，教师要引导学生运用类比、联想、比较等方法将问题与知识结构、新知与旧知、未知与已知相连接，从旧的知识中抽象出可以迁移的知识，运用旧知学习新知，及时反思，建构新的知识结构，提高学生分析问题、解决问题的能力，提高数学素养.

本节课，在平方差公式的探索中发展学生的符号意识.著名数学家罗素说过：“什么是数学？数学就是符号加逻辑.”符号是人们进行数学表示、计算、推理、交流的工具，培养符号意识是促进学生数学思考、积累数学活动经验、提升数学素养的重要目标.建立符号意识的过程是学生经历符号产生的过程，是学生体验符号价值的过程，也是学生探索、创造符号的过程.只有充分经历过程，学生的数学活动经验才能不断积累和丰富，数学素养才能不断形成.

3.经历数学思想的渗透过程，培养和发展学生的数学意识

数学思想方法是数学的精髓，学生只有领会了数学思想方法，才能深化知识的理解，应用知识，形成能力.数学知识的发生过程、规律的发现过程、结论的推导过程、方法的思考过程、问题的解决过程，实际上也是思想方法发生、思考、渗透的过程.课堂教学中，应抓住教学内容的特点，在教学过程中，适时渗透数学思想方法，结合数学探究过程，让学生体会数学思想方法的教学才是有效的.

本节课，学生经历了平方差公式的产生、形成和衍生的探索过程，发现了平方差公式与多项式乘法之间的联系，在探索的过程中，运用了转化的方法，得出了平方差公式运用的规律，形成了研究平方差公式问题的基本技能，领悟了转化的数学思想方法，提高了学生分析问题和解决问题的能力.数学思想方法蕴含于数学知识中，蕴含于问题解决的过程中，因此教师不应生硬地教给学生有哪些思想方法，这题我们应当用什么思想方法解决，而是应教给学生运用思想方法的思路和途径，让学生经历知识的学习和问题的解决过程，在过程里领悟数学思想方法，提高数学素养.

这种探究式的教学设计，引导学生在新知识和旧知识联系与迁移的过程中进行知识的探究，能够让学生在课堂上获得的不仅仅是新知识，更重要的是，充分暴露了学生的整个思维过程，这也是我们教师在课堂教学中培养学生数学素养的关键点.教师在教学中重视学生知识迁移能力的培养，加强数学思想方法形成的引导，有意识地训练学生利用数学知识发现问题、分析问题、解决问题的能力，让学生经历知识生成探究的过程，才能够有效提高学生的数学素养.