数学核心素养视角下问题情境的实验研究——从“将军饮马”说开去

☉山东省高青县实验中学 王彩霞

数学中的“问题情境”，是一种以激发学生问题意识为价值取向的数据材料和情境信息，是从事数学活动、产生数学行为的条件.核心素养的数学教学理念不仅关注知识本身，还关注知识的文化背景和学生的应用迁移能力.在这种要求下，教师要善于设置问题情境，从生活实际入手，引导学生动手实践，提高学生的实际运用和思考能力，使学生的数学能力得到有效提升.下面笔者以“将军饮马”为问题情境，结合求线段和的最小值的教学，谈谈如何从问题情境出发，由问题情境展开，让问题情境贯穿始终，一个背景，一气呵成，一根主线，一以贯之，直抵教学的全部目标.

一、创设情境

著名的“将军饮马”问题：如图1，有一位将军骑着马要从A地走到B地，但途中要到河边饮马，则将军怎样走才能使总路程最短？

图1

二、建立模型

我们把河岸看成一条直线，转化成数学问题就是：如图2，点A、点B是直线l同旁的两个定点，在直线l上确定一点C，使CA+CB的值最小.联系前面学过的线段公理思考这个数学问题怎样解决.

如果A、B两点在直线l的两旁，就可以直接利用两点之间线段最短来解决.怎样把A、B两点转化到直线l的两旁呢？利用轴对称的知识，点B关于直线l的对称点是B′，连接AB′交直线l于点C.连接BC.线段AC、BC就是将军走的最短路线.这样两点在直线同侧的问题就转化成了两点在直线异侧的问题.为什么说这个点C就使CA+CB的值最小呢？

为了证明这个问题，我们不妨在直线l上另外任取一点C′，连接AC′、BC′.

由直线l是线段BB′的对称轴，得CB＝CB′，C′B＝C′B′.

则AC＋CB＝AC＋CB′＝AB′.

在△AC′B′中，AB′＜AC′＋C′B′，则AC＋CB＜AC′＋C′B.

即AC＋CB最小.

所以AC、BC就是将军行走的路线，这时所走路程最短.

由此可见，求线段和的最小值的方法就是，找到两点一线模型，然后通过轴对称把在直线同侧的两点转化到直线的两侧，然后利用“两点之间，线段最短”，使问题迎刃而解.这就是“两定一动型”的最值问题.

三、拓展模型

数学来源于生活，又服务于生活.数学课程标准把培养和发展学生的应用意识作为基本的理念之一.两点一线模型还可以进行以下拓展，帮助我们解决生活中的实际问题.

1.一定两动型

如图3，将军骑马从军营A出发，先骑马去草地OX边吃草，再牵马去河边OY处饮水，最后回到军营，问：这位将军怎样走路程最短？

解析：如图3，利用轴对称的知识把点A转化到直线OX、OY的两侧，类比两点一线模型用线段公理就可以解决了.图中PA+PQ+QA就是将军所走的最短路线.

变式：如图4，将军骑马从军营A出发，先骑马去草地OM边吃草，再牵马去河边ON外饮水，最后将马送入河边上的马厩C，试确定马厩C的位置，使将军行走的路程最短.

解析：该问题即为：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得AB＋BC最短.先“化折为直”，作点A关于OM的对称点A′，然后解决如何使A′C最短的问题，即问题转化为确定射线ON外一点A′到ON的距离的最小值.显然，可根据“垂线段最短”的性质，确定马厩C的位置.

两题的理论依据是不同的，前者利用两点之间线段最短来求解的，而后者则依据垂线段最短.

2.两定两动型

（1）两线相交

如图5，A为马厩，B为帐篷，将军要从马厩牵出马，先到草地边的某一处牧马，再到河边饮水，然后回到帐篷，请你帮他确定出最短路线.

解析：作出点A关于草地的对称点A′，点B关于河的的对称点B′，类比两点一线模型用线段公理求解.如图5所示，AC—CD—DB即为最短路线.

（2）两线平行

如图6，将军从军营A出发去河边l处饮马，之后牵马沿河岸散步200米，再回军营B，问：从河边何处开始散步，可使整个行程最短？

解析：军营A与军营B是两个定点，问题即为：在直线l上找两个点C、D，CD=200米，使得AC＋BD最短.若作点A关于l的对称点A′，连接A′C和BD，会出现两线段不共线的问题，怎么办？我们能不能把BD进行相应的平移，使得与A′C共线？

完全可以把BD沿着DC方向向左平移200米，问题迎刃而解.如图6，作点A关于l的对称点A′，将点B向左平移CD的长度到点B′（实际上为200米），连接A′B′，交直线l于点C，将点C向右平移CD的长度到点D，则点C、点D即为所求.

变式1：如图7，将军每日骑马从军营出发，去河岸对侧的 望台观察敌情，已知河两岸a、b平行，河流的宽度为30米，请问：在何地修浮桥，可使得将军每日的行程最短？

解析：这是著名的造桥选址问题.如图7，由于桥长CD是一个定值，故我们不妨将桥CD平移转化成两点一线的模型.无论桥架在何处，桥CD是必经路线，要使从A到B的折线最短，只需AC＋BD最短即可.于是作AA′⊥直线a，且使AA′的长度等于河宽，连接A′B，交河岸b于点D，作DC⊥河岸a于点C，则建桥CD，可使得将军每日的行程最短.

这个造桥选址问题在教材中的原题是：“村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥，问：桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？”实际上两题是一样的，何不对教材进行重组与创新，使之处于一个情境之下？

变式2：如图8，军营A与瞭望台B之间隔着两条河，假定两条河互相平行并且河的两岸笔直，现在要在每条河上垂直于河岸分别建一座桥.应把桥建在什么位置，才能使将军走的路程最短？

解析：如图8所示，分别作AM垂直l1的河岸，BN垂直l2的河岸，且使AM的长度等于河l1的宽度，BN的长度等于河l2的宽度，连接MN，分别交两条河一侧于点C′、D，建桥CC′和DD′，连接AC、BD′，那么AC、CC′、C′D、DD′、D′B就是从军营A经过这两座桥到瞭望台的路程，此时路程最短.

这里无论涉及沿河边散步还是造桥选址问题，都用到了一个平移的思想方法，有的是“水平平移”，有的是“垂直平移”，当然还有“斜平移”，关键是抓住定长线段提供的平移方向与平移距离，进行相应的平移之后，即可转化为“两定一动型”常规最值问题，然后结合“两点之间，线段最短”的性质求解.显而易见，求线段和的最小值的教学，建立两点一线模型，可使问题得以解决.以“将军饮马”为问题情境，不是可以实现“从问题情境出发，由问题情境展开，让问题情境贯穿始终”的效果吗？反思一下，相比以“将军饮马”为主线，而用平面图形（比如：正方形、圆中求线段和的最小值）、立体图形、平面直角坐标系、二次函数或打台球等材料背景烘托，用一个背景，一气呵成，一根主线，一以贯之，直抵教学的全部目标，不是更有深意吗？相比将比较零散、看似不关联的几个材料进行不同的变式，用一个材料更能很好地体现它们密切相关，是一个模型的不同侧面，从而找到它们的异同点，不人为割裂，从而回归自然.结合以上两点一线模型的建构过程，把用数学模型解决实际问题的一般步骤概括如下，供大家参考.

图9