阅读中突破，反思中创新——以“分式方程的应用”的教学为例谈数学应用题的教学

☉广东省深圳市龙华区教育科学研究院 林日福

学生日常学习应用题时，常由于数学阅读能力较弱影响他们对问题的准确理解，对生活理解的欠缺影响他们将生活问题转化为数学问题的数学化进程，代数式运用能力不足影响他们顺利建模，等等，都让他们对应用题的学习产生畏难情绪.本文以北师大版教材八年级下册数学“分式方程”一节中“分式方程的应用”一课的教学为例，探讨应用题的教学.

一、教学简录

环节1：温故知新，了解模型

题1：小同每小时打2400字，打x小时可以打______个字.

题2：小同打一篇4800字的文章需要x小时，那么他每小时可以打______个字.

题3：小同每小时打x字，打一篇4800字的文章需要______小时.

题4：小同打一篇文章需要2小时，那么他每小时完成这篇文章的______.

简评：给出一组现实生活问题，教师通过追问帮助学生理解工作总量、工作时间及工作效率等概念的含义，并在解决问题过程中理解三者之间的数量关系，为后面的顺利建模搭好支架.

环节2：探索新知，建立模型

例题：某市政工程队准备修建一条污水处理管道，为了能赶在汛期前完成，采用了新技术，实际每天比原计划多修10m，结果原计划修建400m管道与实际修建500m管道所用的时间相等.求原计划每天修建管道多少米.

师：这是一个什么样的问题？

生1：应用题.

师：如何解决这样的问题？

生2：先审题，找出题中的已知、未知、需要求什么，以及等量关系，再列方程并解答.

师：此题已知什么？求什么？等量关系是什么？你是怎样理解的？

生3：已知“实际每天比原计划多修10m，原计划修建400m管道与实际修建500m管道所用的时间相等”，求原计划每天修建管道多少米.等量关系有：（1）实际每天修建管道的长度=原计划每天修建管道的长度+10m；（2）原计划修建400m管道所用的时间=实际修建500m管道所用的时间.

生4：“实际每天比原计划多修10m”指的是工作效率之间的关系，“原计划修建400m管道与实际修建500m管道所用的时间相等”指的是工作时间之间的关系.

师：题中哪些语言反映了这两个等量关系呢？

生5：“实际每天比原计划多修10m”反映了第一个等量关系，“原计划修建400m管道与实际修建500m管道所用的时间相等”反映了第二个等量关系.

师：接着该怎么解决此题？

生6：设原计划每天修建管道x m，这样实际每天修建管道（x+10）m，再分别表示出原计划修建400m管道的时间及实际修建500m管道的时间.分别为由等量关系（2）得方程

生6：用原计划的工作总量（400m）除以原计划的工作效率（x m）就是原计划修建400m管道所用的时间，用实际的工作总量（500m）除以实际的工作效率（（x+10）m）就是实际修建500m管道所用的时间

图1

师：你对他的解答过程有什么看法？

生8：列出来的是分式方程，解分式方程要检验，他没有检验.

师：是的，此题还欠缺检验这一步骤.由刚才的分析知此题有两个等量关系，他根据等量关系（2）列出方程，那么根据等量关系（1）也可以列出方程吗？

生9：设原计划修建400m管道需x天，那么原计划的工作效率是天，实际的工作效率是/天，由等量关系（1）得方程

师：对前面几种解法，你们有些什么想和大家一起分享的？

生10：求解应用题时首先得审题，找出题中的等量关系，然后根据等量关系列出方程.如果有多个等量关系，可选择其中一个等量关系列出方程.解出方程后还需要检验.

师：非常好，理清题中各量及量与量之间的关系，找出等量关系是解题的关键.因此，审题非常重要，解题前要细心阅读问题，准确把握题意.当题中的量比较多时，我们还可以借用表格帮助梳理.

设原计划每天修建管道x m.

1.3 HER-2、EGR-1的免疫组织化学染色结果判定 HER-2的阳性结果主要定位于细胞膜或者细胞浆内，其阳性反应表现棕黄色。根据细胞核或者细胞浆染色的深浅以及染色的范围来进行判定，结果判定如下：⑴按照阳性细胞百分数：阴性则0分，阳性细胞≤5%计1分，6%-50%记2分，50%-75%计3分，＞75%则4分。⑵按照切片染色强弱来评分：棕褐色表现3分，棕黄色表现2分，淡黄色表现计1分，无色记录0分。免疫组化阳性分4个等级 （计算方法：⑴⑵）：0-2分表现为-（阴），3-4分为+，5-8分为++，9-12分为+++。

请大家填写表1.

表1

师：你有些什么发现吗？

生11：如表2：

生12：如表3：

表2

表3

师：请和大家说说你的想法及思维过程.

生12：我先填出表格的第一行和第二行左边的第一个空格，由等量关系（2）得实际工作时间也是天，填出表格右下角的空格，由工作效率得实际工作效率为m/天），便可填出剩下的空格，再由等量关系（1）可列方程

师：太妙了，你们知道妙在什么地方吗？

生13：列出的方程是整式方程而不是分式方程，解这个方程比较容易，且不用对方程的解进行检验.

简评：解答问题得先知道这是一个什么样的问题，分析之后试着“干干看”，接着看“干得怎么样”，最后反思“有什么收获”，这是一个完整的解决问题的过程.教师引导学生反思思维过程，感悟解题收获，既可帮助那些仍不太理解的学生理解，又能激发新思考，引发新发现.在这个过程中，他们收获了新知识，学会了数学思考，感悟了问题中所蕴含的模型思想、转化思想等数学思想方法.

环节3：学以致用，掌握模型

题1：某市政工程队准备修建一条长1200m的污水处理管道，为了能赶在汛期前完成，实际工作效率比原来提升了25%，结果比原计划提前6天完成任务.求原计划每天修建管道多少米.

题2：某市政工程队准备修建一条长1200m的污水处理管道，在修建完400m后，为了能赶在汛期前完成，采用了新技术，工效比原来提升了25%，结果共用26天完成任务.求原计划多少天完成此项任务.

题3：某市政工程队准备修建一条污水处理管道，为了能赶在汛期前完成，实际工作效率比原来提升了25%，结果比原计划提前6天完成任务.求原计划需多少天才能完成此项任务.

简评：题1变化了例1的工作效率的表述方式及工作时间的关系；题2在题1的基础上变化了工作时间的关系及完成整项工作的方式；题3没有给出工作总量，需要学生用抽象的数字“1”来表示；题4为自编题，不同学生可能编写出不同背景的问题.4道题形成层层递进的问题组，突出建立模型这个教学重点，让不同的学生得到不同的发展.

二、教学思考

1.在数学阅读中学会数学思考

解决问题首先要审题，通过审题来获取问题中的数学信息，理解每个信息的数学含义，这是解答应用题的第一步，也是成功解题的基础.展示出问题后，教师营造安静的课堂环境，与学生一起专注于默读问题.读题的过程中，指导学生勾画出问题中的一些关键词、句，必要时还让学生重读，边读边进行一些自问自答式的思维活动.如：这是一个什么样的问题呢？都有些什么已知量与未知量呢？题中的这个量表示的是什么呢？这些量之间满足什么样的数量关系呢？问题中还给出了什么样的数量关系呢？这个问题和以往做过的什么问题有联系呢？等等，都能有效地培养学生数学阅读的习惯与能力，促进他们在阅读中进行数学思考.

随着学生认知水平、阅读能力的发展，审题活动就应逐渐由学生自主独立完成.这样，学生在阅读的过程中才会真正挖掘问题中的数学信息，思考问题的数学含义，切身体会问题所蕴含的数学思想，学会数学思考、数学分析、数学探索.但据笔者日常课堂观察发现，不少教师在教学应用题时，把应由学生审题的事给包办了.这种仅展示阅读及思维结果的教学，只能让学生感到问题的神秘、老师的神奇，却无助于学生独立解决问题能力的培养.

2.在解决问题中学会数学表达

学生能否正确运用数学语言表达现实世界，建立数学模型，关键在于学生是否真正从数学上理解了这些从生活中抽象出来的概念，以及这些概念之间的数学关系.

（1）让数学回归生活.

数学来源于生活，同时是对现实世界的高度抽象，将抽象的数学与现实生活建立联系，是学生理解数学应用题中各个量的含义，以及量与量之间的数学关系的重要方法.而生活经验的欠缺，给他们的数学理解增加了不少困难.因此，教学中常需要让数学回归生活，通过创设一些与之相关的现实生活情景，让学生结合自身的生活经验，举出例子来解释概念的含义，可使抽象的数学概念生活化、直观化、具体化，有助于学生正确建立模型.

（2）为理解提供支架.

教学实践表明，对于已学习过的概念，通过运用概念解决具体问题也有助于他们对概念的回忆与认知加工，帮助学生加深对概念的理解.例如本课的“工作总量”“工作效率”等概念，学生在小学已学习过，但对它们的数学含义，不少学生仍是模糊的.如对“环节1”中的题3，刚开始时有部分学生错误认为表示的是工作效率.本环节教学结束后，我们通过课堂观察发现，学生已对“工作总量、工作效率、工作时间”等概念有了更清晰的认识，有效地减轻了他们后续学习的认知负担.

（3）在追问中促进理解.

研究发现，教师通过追问等提问方式，能帮助学生更好地理解概念，把握概念包含的数学关系，并运用数学符号表达出来，进而正确建立数学模型.这对于学习困难的学生来说，教学效果更为明显.如本课里，教师在学生审题、思考后提出：这是一个什么样的问题？此题已知什么？要求什么？等量关系是什么？你是怎样理解的……分别是怎么得到的……在追问中，学生逐渐认清问题的类型、解决问题的目标、每一个概念的含义，以及题中的数量关系，等等，降低了学生建立方程、解答问题的难度.更为重要的是，教师的追问，还展示出了较为完整的探索及思维过程，有助于培养与发展学生的数学思维能力与问题解决能力.

（4）在运用中学会表达.

学生的数学表达是学生的而不是老师的，因而学生的数学表达必须在学生运用知识解决问题中培养.“数学活动经验的获得，需要学生参与做数学的活动.［1］”在学生已能较好地理解问题中的数学概念、数量关系后，运用数学符号表达出这些概念及数学关系，建立数学模型，这是一个抽象概括及符号化的过程，需要学生的亲身参与，努力尝试，切身感受.当然，强调由学生独立尝试进行数学表达，并不是要否认教师的教学示范与教学指导作用.相反，在培养数学表达能力上，教师应该也必须适时、适度发挥应有的示范作用，当学生表达出现困难时要适时、适度提供支持，以帮助学生逐渐学会数学表达.

3.在归纳感悟中学会数学评价

日常教学中，不少教师在给出问题解决过程后便马上进入练习巩固环节，却忽视引导学生对解题的思维过程进行反思、感悟与评价，这大大降低了问题解决的教学价值.

（1）在评价中培养严谨思维的意识.

当学生运用新学习的数学知识解决问题时，数学表达常存在严谨性不足的问题.如刚学习几何推理时，大部分学生都犯思路不清、逻辑关系不明、表达不严谨等错误.教学时，一方面需要教师教学示范，另一方面，更需要让学生把问题充分暴露出来，再组织思考与评价，逐渐完善.本课里，生7展示的解答过程欠缺了“检验”这一步，评价时生8指了出来.我认为，这更能彰显出培养学生养成“检验”的意识，以及培养他们的数学学习自我监控能力的教学价值.

（2）在评价中培养创新意识.

“创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中.［2］”学生解决问题后，他们已对问题有了较全面、深入的思考，此时教师再创设合适的问题情境，组织学生对解题的思维过程进行反思、感悟、评价，常能激发出他们的创新思考，获得新想法.本课里，在评价生7的解答过程后，教师提问：“根据等量关系（1）可以列出方程吗？”之后，教师引入表格，让学生运用表格梳理题中的已知量、未知量，以及各量之间的数量关系.此时学生自然而然地生疑：此题都已解答完了，老师怎么还提出这样的问题呢？老师给出的表格又有什么用呢？激发了他们再次深入思考的兴趣，进而产生了新发现，获得了新解法.经过这样的过程，他们对列方程模型解应用题的本质，即用代数式从不同的角度表示出同一个量，这种“算两次”的方法，有了更深刻的认识，有利于培养与发展他们的创新意识与能力.

4.在巩固应用中掌握模型

数学应用题教学，其根本目标是培养学生学会用数学的语言表达现实世界，感悟模型思想，发展数学思维.这样，让学生将模型应用于新的问题情境，实现对所学习模型的进一步抽象、概括性理解，这是应用题教学的必备环节.

（1）在变式练习中实现对模型的概括性理解.

“变式”是教师为实现学生能掌握模型、运用模型所采用的常见的教学策略.本课里，教师通过改变例题中的工作效率、工作时间或工作总量等已知条件，由易到难，由具体到抽象，达成了让学生熟练运用分式方程的数学模型解决工程问题这个教学目标.

但数学教学要“让不同的人在数学上得到不同的发展［2］”.本课的变式，仍局限于问题情境的内部，对问题情境中具体的量或数量关系做一些变化，没能深入到该模型的本质，这对于哪些学有余力的学生来说是不够的.工程问题的数学模型是“A（工作总量）=B（工作效率）×C（工作时间）”，这也是很多其他生活实际问题的数学模型.如行程问题（路程=速度×时间）、商品销售问题（总利润=单件利润×销售量）、银行利息问题（总利息=利率×期数），等等.这为我们对问题进行变式提供了更多的选择、更广阔的空间.教学中，如果能呈现一些数学模型相同而应用背景不同的问题，必将有助于学生把握该模型的本质，实现对模型的概括性理解.

（2）在自主编题中提升学生的概括水平.

组织学生根据所给的数学模型自主编题，可以提高学生对模型的概括水平.我们知道，要基于原模型进行自主编题，需要对模型有较为丰富的、全面的把握与认识，对原题的解法有较深的理解，同时对社会生活也有比较丰富的认识，等等.例如本课的练习题4，学生要能编题，他们首先要对数学模型“A=B×C”有较深刻的认识，至少，他们也应能较好地把握模型“工作总量=工作效率×工作时间”中各量的具体含义及它们之间的关系.

当然，或许学生的编题仅仅是对刚学习的例题做一些浅层次的变化.但在分享经验、教师的指导与鼓励下，他们所编写出的问题必将会越来越丰富，越来越有创意，越来越能反映出模型的本质.而这正是学生概括性理解模型的具体表现，也是应用题教学所追求的教学价值之所在.