种子课，给种子旁通生长的力量！——“交换律”教学实践与反思

◇彭文珍

教学实践：

活动一：游戏预埋“模型”

师：我想到一个好玩的游戏，想不想看？我衣服口袋里放了一些糖，数一数左边口袋里有几块？（生：5 块）右边口袋里有几块？（生：7 块）一共有几块？记住了吗？

【板书：5+7=12（块）】

师：现在搞笑的事情来了，如果我把衣服反过来穿，（脱下并反穿衣服）我左边口袋里有多少块糖？右边口袋里有多少块糖？一共有几块？

生：左边口袋里7块，右边口袋里5块，一共12块。

【板书 7+5=12（块）】

师：如果我左边口袋里是20块糖，右边口袋里是19块糖，正过来穿，反过来穿，口袋里各有多少块糖？

生：正着穿，左边口袋里20块，右边口袋里19块，20+19=39（块），反着穿，左边口袋里 19块，右边口袋里 20 块，19+20=39（块）。

生：我发现游戏中的算式，只要把两个加数交换位置，加数不变，和不变。

师：他点破秘密，分析特征，你也发现了吗？变，不变，这个游戏中会不会藏着数学里的某种规律？

生：随便哪两个数相加，交换它们的位置，和不变。

师：认为随便哪两个数都行的同学请举手。这只是猜想，不过猜想很重要，苹果从树上掉下来很多人都看到，可只有牛顿注意了，于是有了万有引力。我可以准确告诉你们一到三年级和四年级上册的数学书里都没有这句话，我们今天会不会也被苹果砸中？

活动二：探究摘取“苹果”

师：只有两组算式，就说我们已经发现规律了，你觉得行不行，怎么办？

生：举例，举更多的例子。

师：这个“多”有几层含义？除了很多个，还有没有其他想法？

生：多种多样。

师：刚才同学们说随便什么数，这个“数”你想到哪些？很多的例子怎么来？咱们积少成多每人举三个例子，这样就有一百多个例子。试一试，看到底对不对。

（学生举出形如 0+99，99+0；6357+2492，2492+等例子发现都成立）

师：游戏中我们感知了一些算式的特征，形成了猜想，然后举例验证发现符合特征的都行，现在还有六个字：“一定吗？”“为什么？”举例让我们看到希望，但一百多个例子不能包含所有的算式，除非我们能解释说明“为什么”。

师：有点难，我们不妨把算式带上一定的情境！

生：就如衣服的口袋，你可以放25块、10块糖，你还可以放100块、99块糖，不管你放多少块糖，正着穿、反着穿总和并没有变。

师：对，加法是求和的，口袋里两个量不变，总量就不变。还有吗？

生：我们班55人，无论男生加女生还是女生加男生，总人数不变。

生：我有两支笔，无论钢笔加铅笔还是铅笔加钢笔，两支笔接起来的总长度一样。

师：笔变成孙悟空的金箍棒，想怎么变就怎么变，不就能证明天下所有的加法算式了？

师：其实我们不止有一百多个例子，我们也不是第一次遇到它。二年级下册的验算你还记得吗？我们验算过，全国、全世界其他同学有没有也验算过？估计一共有多少个例子呢？

生：几十万、成千上万、上亿个。

师：能形成结论了吗？律，法律，今天我们定运算里的法律。

（学生小结归纳得出加法交换律）

活动三：重复上演“精彩”

师：通过“感知特征→形成猜想→举例验证→解释说明→得出结论”，我们被苹果砸中一次，我们还能被苹果砸中吗？加法交换律，还有——

生：减法交换律、乘法交换律、除法交换律。

师：变一变我们立马有了新的任务，这一次你们能按照刚才的过程自己研究吗？

（出示学习要求，小组合作探究）

师：哪一组汇报一下你们组研究的结果？

生：我们把减法、除法“咔嚓”掉了，5-2=3，2-5=-3，18÷9=2，9÷18 不够商 1。 乘法我们先举例发现行，然后我们想到一个情境：我们组一个人10根手指，4个人就是10×4或4×10，40根手指；如果我们是一群外星人，手指根数发生变化，就能证明不同的算式。我们的结论是：两个数相乘，交换乘数的位置，积不变，用字母表示：a×b=b×a。

生：我们组是结合教室里的课桌解释的，7×8=56（张），8×7=56（张），每排的张数和排数发生变化，就能证明一系列算式。

生：乘法表示几个几，图1中一共有多少个五角星？横着看是3个5，竖着看是 5个3，只是观察角度不同，总数不变。五角星的个数想怎么变就怎么变，这样就能证明天下所有乘法算式！

图1

师：回到二年级了，五角星只能有整数个，换成求长方形面积，长和宽就可以是整数、小数、分数了。

生：乘法我们也有成千上万、上亿的例子。因为验算乘法的一个方法就是交换位置再算一遍，如果乘法交换律不成立，那么我们的验算不就有问题了吗？

师：孩子们，发现一个结论比较简单，但验证、证明难，赫赫有名的哥德巴赫猜想200多年来无人能证明出来，和哥德巴赫猜想一样等大家去证明的还有霍奇猜想、黎曼猜想……

反思：

一、寻觅，给种子破土的力量

“我想知道，我能幸福地被苹果砸中几次？”这是课堂小结时一个小男孩的追问。就如苹果落地很寻常就看你有没有眼光一样，课堂从开始到结束让孩子不断寻觅，给孩子营造发现、创造很简单的感觉。有人说我们的孩子缺乏创造力，实际上是我们忽略培养，本课上孩子由加立马想到减、乘、除，由两个数立马想到几个数，由单一运算立马想到混合运算，由加法的验算、看图写了两个算式立马想到乘法的相似经历。一个个念头如雨后春笋般不断破土而出。应该说这节课在举一反三中已挑起孩子探究的欲念，给孩子发现的眼睛。

二、结构，给种子生长的骨架

感知特征→形成猜想→举例验证→解释说明→得出结论。这是第一次探究加法交换律的路径，也是接下来研究乘法交换律，以及结合律、分配律甚至其他科学研究必经之路。相对以往举例只图有过程甚至直接让孩子举数小的例子，本课不仅主动引导孩子说出多个、多样，并用加法的验算助孩子得出上万、上亿的铁证，还一改以往的不完全归纳法，逼孩子再行一步努力解释说明。这次加法交换律的研究孩子捕获的不仅是“鱼”，还有扎实的“渔技”——完整的结构化的探究过程。孩子独立完成两次探究，每一次都成功给出了解释说明。框架已定、方法已会，接下来必然能独立完成所有相似的探究。

三、情境，给种子温暖的地基

一节课已经结束，但老师那反穿衣服的画面肯定会被很多孩子在以后穿衣时想起。每个量不变，总和就不变，这样的算理无论到哪一天孩子都不会忘记。三大运算定律，如果只是由纯粹巧合的算式抽象概括，那么必定学得快忘得也快。让孩子将数带上情境既能帮助解释说明又便于记忆。想到加法交换律，孩子就想到口袋、全班人数、笔……想到乘法交换律，孩子就想到教室里的课桌、五角星、长方形……每个知识点都那么清晰、不怕忘记。实际上小学生是生活在童话里的孩子，数学遇上他们不是我们给他们提供鲜活的情境，就是让他们自己寻找情境！这是学习的窍门，面对难点的金钥匙，有这样的思维习惯再遇分配律或更难的知识点孩子就能主动建构坚实的地基。