联、活、变、延，数学复习课的四要诀——“长方形、正方形的周长和面积的复习”教学例谈

◇陈为强

很多教师认为复习课的主要目的只是为了巩固知识、强化技能，缺乏对复习课有效性的深入研究，导致复习课效率低下。其实在数学复习课上不必求全，但要求联，让知识形成系统；不必求全，但要求活，引发学生思考；不必求全，但要求变，在变化中触摸数学本质；不必求全，但要求延，激发学生探究热情。

一 求联：整理知识，形成结构

数学知识往往不是整体呈现，通常散落在各个不同的学段。这就要求教师在复习时，要有意识地组织学生对知识进行整理，把碎片化、散落的知识串成线、结成链，构成一棵具有层次性、结构化和具有发展力的“知识树”，以便于新知的“生长”和“嫁接”。

学生在三年级上学期学习了“长方形、正方形的周长”，三年级下学期学习了“长方形、正方形的面积”，这样的安排导致许多学生不能辨析“周长”和“面积”之间的区别，往往将二者混为一谈。于是教师在课前布置学生对长方形、正方形周长和面积相关的知识进行整理，为深入复习提供知识基础。

【教学片段一】

师：昨天老师要求同学们对长方形周长和面积的相关知识进行整理，哪位同学愿意与大家分享？

生：我是这样整理的（如图1），周长和面积表示的含义不同，周长展开是一条线段（加粗的部分），面积是里面灰色的部分，是看长方形包含多少个相同的面积单位，所以周长和面积的求法也不一样。当长等于宽时长方形就变成正方形，所以正方形的周长和面积公式都可以从长方形的周长和面积公式推导出来。

图1

生：我是用列表整理方式对长方形、正方形周长和面积进行区分的（如表1），它们有三点不同，分别是：意义不同、公式不同、单位不同，具体的可以看表格。

表1 周长和面积的区别

学生通过思维导图和列表整理，明晰周长和面积的区别：周长是围在封闭图形周围一条线的长度，是从一维的角度来刻画的；而面积是从二维的角度对长方形进行刻画。思维导图呈现出正方形是特殊的长方形，利用长方形的周长和面积计算公式以及长方形和正方形之间的关系推导出正方形的周长和面积计算公式，体现出了一般和特殊的关系。通过梳理，使得知识之间条分缕析，增强关联度。

二 求活：由式思图，促发思考

教师在进行练习设计时，可以对习题进行改编，促发学生思考，消除思维的壁垒，打破惯性思维的障碍，促使学生的思维从单一走向多元、从封闭走向开放。

【教学片段二】

师：你能依据算式画出它所表达的含义吗？

（1）师出示算式：10+8+5。

生：我画的是三角形（图略），10、8和 5分别是三角形的三条边的长度，三个数相加求的是三角形的周长。

（2）师出示算式：5×4。

（学生动手画图，几分钟后开始展示）

生：我画的是正方形（图略），5表示正方形的边长，4表示正方形边长的数量，5×4这个算式表示正方形的周长。

生：我把5看成长方形的长，4看成了长方形的宽（图略），5×4表示这个长方形中包含着20个同样大小的正方形，20也是这个长方形的面积。

生：我画的是正五边形（图略），4表示边长，5表示五边形的边数，5×4表示正五边形的周长。

（其他同学听到这位同学的讲解，情不自禁地鼓起掌来，赞赏他从四边形想到五边形）

师：能否对上述图形进行分类？

生：可以分为两类，一类是表示周长，算式可以表示正方形和正五边形的周长，另一类是表示图形的面积。

生：我也是分为两类，一类画出的图形和四边形有关，另一类和五边形有关。

师：对于这三个图形，采用不同的标准进行分类结果是不同的。对于同一个算式从不同角度思考画出的图形也是不同的。

（师出示算式：6×2+5×2。生独立思考，画图后展示）

生：6×2+5×2 表示长方形的周长（图略），6和5分别是长方形的长和宽，2表示长方形长和宽的数量。

生：还可以换一个角度思考（如图 2），6×2表示的是长为6、宽为2的长方形的面积，5×2表示的是长为5、宽为2的长方形的面积，6×2+5×2表示用这两个长方形组合成的一个图形的面积。

图2

师：这两个图形最大的区别是什么？

生：最大不同就是算式中2表示的意义不同，如果把2看成是长方形长和宽的数量，那么这个算式表示长方形的周长；如果2表示长方形的宽，那么6×2+5×2就表示组合图形的面积。

上述教学改变了以前看图列式的呈现方式，采用由式思图的形式，由于大家的思考角度不同，对同一个算式进行画图表征，画出的图形也是不同的。有的数据能在图形中标注，有的则隐藏在图形中；有的是从周长的角度进行思考，有的是从面积的角度展开想象；有的关注的是单个图形，有的联想到组合图形；有的算式只能表征一个图形，有的则对应多个。学生在画图中感受到了算式的简约和对应图形的丰富。整个由式思图的活动，激活了学生的思维，学生画出的图形甚至超出教师的想象，课堂呈现出别样的精彩。

三 求变：深度思考，触摸本质

复习课的习题训练一定要有所变化，可以增加条件训练学生搜集信息、筛选信息、分析信息的能力；可以减少条件或者对显性条件进行隐蔽化处理，启发学生观察思考，主动寻找条件之间的关系；也可以把习题变静为动，采用多种方式呈现习题的变化。变式训练往往更聚焦数学的本质，引发学生的深度思考，让学习真正发生。

【教学片段三】

师：能求出这个长方形（如图3的“原图”）的周长吗？（以下图形单位均为“厘米”）

（学生顺利求出来）

师：如果从这个图形中挖掉一块（如图3），现在的周长是多少？

生：把阴影部分各条边的长度加起来，10+6+3+2+4+2+3+6＝36（cm）。

生：把各条边逐个相加比较麻烦，可以把4厘米这条边向上平移（图略），可以看出，现在图形周长比原来长方形的周长多两个2cm，周长为32+2+2＝36（cm）。

师：借助平移求不规则图形的周长确实方便，也能清楚发现变化后图形的周长与原来图形的周长之间的关系。我们现在把图形变一变[见图3，从变化（1）逐渐变化为（2）、（3）、（4）、（5）]。请同学们求出变化（1）到变化（5）的周长，然后和原图相比较，有什么发现？想想为什么。

图3

生：通过平移，可以发现变化（1）、（2）、（3）的周长相等，都是在原长方形的周长上增加两个2厘米，周长都是36cm。变化（4）的周长和原长方形周长相等，都是32cm，变化（5）的周长比原长方形的周长增加两个 4cm，周长为32+4+4＝40（cm）。

生：都是从原长方形中挖去相同的长方形，变化之后图形周长可能增加，也可能不变。如果从顶点挖去图形，周长不变；如果在每条边的中间挖去长方形，利用平移的办法，剩下图形的周长比原图的周长多两条挖去图形的长或者宽。

师：观察得很仔细，思考得很全面，如果从面积的角度思考呢？

生：无论怎样变化，变化（1）-（5）的形状虽然不同，但阴影部分的面积是相等的，都是从原来长方形的面积中减去小长方形的面积，算式是10×6-4×2=52（cm2）。

师：能从变化中找到不变，很好！还有别的发现吗？并举例说明。

生：周长相等的图形面积不一定相等。例如原图和变化（4）的图形。

生：面积相等的图形，周长可能相等，如变化（1）、（2）、（3）。

生：面积相等的图形周长也可能不相等。如变化（4）和（5）。

生：周长大的图形面积不一定大，如变化（5）和原图。

师：这几位同学很善于观察、对比、思考，发现许多很有价值的结论。如果同学们在今后的学习中多观察、多对比、多思考，一定会有更多的发现。

对一道题（原图）进行不断的变化，引发了学生的深度思考，学生发现无论怎样变化，变化后图形的面积都是相同的，都是用“原图形的面积减去小长方形的面积”这个数学模型进行计算，在变中找到了不变。也发现变化之后图形的周长有可能是不同的，在不同位置挖去同一个图形后，剩下图形的周长不一定相同，甚至还出现面积减少但周长增加的情况。通过学生的观察、对比、思考得到“周长相等的图形面积不一定相等”“面积相等的图形周长也可能不相等”“周长大的图形面积不一定大”等许多具有思辨色彩的结论，深化学生对图形周长和面积的认识，也增加了数学课堂的厚度。

四 求延：拓展延伸，展开想象

复习课不能在原地打转，只拘囿学生已有的知识，还要站在高处，根据学生的学习基础和学习能力进行适度拓展，不仅立足于“当下”，还要着眼于“未来”，利用知识的延展性，激起学生探究新知的学习热情。

【教学片段四】

师：刚才大家通过对一道算式从不同的角度进行乐此不疲地思考，找到了不同的图形。如果再给你一道算式6×5×3，你能想到什么？

（学生思考）

生：我想到的是3个长为6，宽为5的长方形拼成的一个组合图形的面积（如图4）。

图4

生：我想到的是6个长为5、宽为3的长方形拼成的一个组合图形的面积，还可能是5个长为6、宽为3的长方形拼成的一个组合图形的面积。

生：受魔方的启发，我想到了一幅立体图形（如图 5），长为 6、宽为 5，前后摆了 3 层。这个立体图形共有90小块。

图5

师：同学们真富有想象力，同一道算式，不仅想到平面图形的组合，更难得的是还想到了立体图形。

利用学生生活经验和已经积累的思考活动经验，借助想象，引发学生的思维从一维（线）拓展到二维（面），然后延伸到三维（体），发展学生的空间观念。课虽已止，但思未尽，数学本身的魅力引发学生学习数学的热情和探究欲望。适度的拓展延伸，增加课堂教学的深度。