在数学教学中如何渗透“推理”——“面积的探索”教学实录与评析

◇执教/张 丹 评析/唐慧荣

一回顾旧知，激发探究意识

1.回顾长方形的面积计算。

师：今天我们讨论一个话题，是关于面积的。（拿出一个长方形卡纸）这个长方形的面积指的是哪里的大小？

（学生指出长方形的面积，教师将长方形卡纸贴在黑板上）

师：怎么求长方形的面积呢？

生1：长×宽。

师：为什么是长×宽呢？还记得我们是怎么算出这个长方形面积的吗？

（生思考，教师拿出一个小正方形放在长方形里面）

生2：在这个长方形中摆满小正方形，看看有几个小正方形。

生3：只要看沿着宽的一边摆有几个小正方形，沿着长的一边摆有几个小正方形就可以了。

师：在这个长方形中摆满小正方形，沿着长的这边摆了几个？（生：6个）沿着宽的这边摆了几个？（生：4个）想象一下，如果全部铺满的话，它的面积就是——（如图1）

图1

生4：6×4 个小正方形。

2.提出问题，激发探究意识。

师：这节课我们继续来探索面积。如果接着长方形的面积来继续探索，我们可以探索什么呢？

生1：1平方千米能放几本书？

生2：一看到图形怎么就能马上知道它的面积？

生3:还可以探索其他图形的面积。

【评析】回顾长方形面积计算公式的推导过程，一方面唤起学生对面积概念的已有认知，另一方面也让学生感悟长方形的面积计算是把它转化成很多个单位小正方形平铺而得到的。“接着长方形的面积来继续探索，我们可以探索什么呢？”这个问题驱动了整节课的探究任务。

二引导探究，感悟推理方法

1.提出问题。

师：第一个探索的任务由我提出。（出示图2）这是一个三角形，有点特殊，是带有一个直角的三角形，我们可以称作直角三角形，一条直角边为6，另一条直角边为4，它的面积该怎么计算？把你的想法写在学习单上。

图2

2.学生操作思考。

3.反馈交流。

师：谁愿意上来分享你的想法？

生1：直角三角形的面积是 4×6÷2=12，因为两个这样的直角三角形可以拼成一个长6、宽4的长方形，所以这个直角三角形的面积就是长方形面积的一半。

生2:还可以反过来想，把这个长方形分成两个一模一样的直角三角形，一个直角三角形的面积就是长方形的一半。

4.提出猜想。

师：是不是所有直角三角形的面积都是两条直角边的长度相乘再除以2呢？

5.小组讨论。

寻找各种直角三角形的例子，计算它们的面积，并进行组内交流。

6.说理验证。

师：同意刚才那位同学提出的观点的请举手。不同意的请举手。

生1:我们同意这个观点，我们举了很多直角三角形的例子，发现它们的面积都是两条直角边相乘再除以2。

生2：我们小组也同意，随便画一个直角三角形，发现都是长方形的一半。

生3：我们不同意这个观点，如果三角形比长方形的一半小呢？

（学生上来画，如图3）

图3

生4：两个这样的小三角形也能拼成一个小一点的长方形，也可以用长方形的面积除以2来计算。

生5：我们测量的是直角三角形的面积。如果这个小的直角三角形的两条直角边都是1，它的面积还是可以用1×1÷2来计算。

师：任何一个直角三角形的面积都是它所对应的长方形的面积的一半，这样说可能更准确一些。现在你同意刚才的猜想吗？

生3:同意了。

【评析】对直角三角形面积的探索是在老师引导下进行的。教学中先计算长6、宽4的直角三角形面积，发现它的面积是两条直角边的长度相乘再除以2。再提出猜想，是否所有的直角三角形面积都是两条直角边的长度相乘再除以2？小组合作举例验证，再组织学生说理进行检验修正。通过这个初步探究过程让学生感悟推理的方法，为后面的自主探究奠定方法基础。

三自主探究，经历推理过程

1.小组商定探究的图形。

师：由这个长方形出发，你还想探索哪些图形的面积？

生1：等腰三角形。

生2：平行四边形。

生3：圆形。

师：小组商量好要研究什么图形，老师为你们提供相应的图形。信封里有很多长6、宽4的长方形，可以借助这些长方形来研究这个图形的面积。

【评析】提出问题是进行数学推理的第一步，教学中教师注重学生问题意识的培养。“由这个长方形出发，你还想探索哪些图形的面积？”这样的提问引发学生思考，形成自己的研究问题。促使学生借助已知的长方形面积计算方法来展开对这些未知的图形面积的研究。

2.小组合作探究。

3.反馈交流。

（1）等腰三角形。

生1：我们小组研究的图形是等腰三角形，可以把长方形分成4个完全相同的直角三角形，等腰三角形由两个直角三角形组成，就是整个长方形的一半。所以这个等腰三角形的面积也可以用4×6÷2=12 来计算。（如图 4）

图4

生2:我们猜想是不是所有的三角形都可以用4×6÷2=12来计算，不过还没验证。

师：你们的想法非常好，课后有时间可以继续探索。

（2）平行四边形。

生：我们小组研究的是平行四边形。（如图5）把右边这个直角三角形移到左边就变成长方形了，这个平行四边形的面积和这个长方形的面积是一样的。

图5

师：真厉害，你们能把平行四边形转化成长方形来计算。

（3）梯形。

生1：我们小组研究的图形是梯形（如图6），外面两个直角三角形合起来刚好是一个小长方形，把大长方形的面积减去小长方形的面积就是梯形的面积了。

图6

生2:这两个直角三角形不一定是一样的。

师：看来这两个直角三角形要一样才可以用这个办法。

（4）圆。

生1:我们小组研究的图形是圆，在圆里面画一个正方形，再把剩下的部分拼成一个小圆，然后在这个小圆里再画一个正方形，然后剩下的图形再拼成一个更小的圆，再画正方形……这样就会越来越接近圆的面积了。（如图7）

图7

生2:剩下的图形拼起来不是一个圆。

师：但是这个同学的想法对我们很有启发，古代数学家刘徽就是把圆分割成正多边形来计算的，正多边形的边数越多就越接近圆。

【评析】这个环节教师放手让学生探究，前面直角三角形的探究方法激发学生进行方法、结论的联想。教学中让小组商定探究的图形后，给予充分的时间让学生操作、猜想、表达。等腰三角形的面积，平行四边形的面积，甚至是梯形、圆的面积，虽然推理并不严谨或准确，但是学生推理思维的大门被打开了。

四课后探究，发展推理能力

师：如果让你回去继续探索，你还想探索哪个图形？

生1：圆形。

生2：六边形。

生3：五角星形。

生4：椭圆形。

师：带着这样的思考，选择你感兴趣的图形课后再去研究吧。

【评析】一节课的时间非常短暂，学生们探索了几个图形，甚至是部分图形都还只探究了一半。“如果让你回去继续探索，你还想探索哪个图形？”带着这样的问题，让学生课后探究，进一步发展学生的数学推理能力。