Lipkin-Meshkov-Glick模型中的能级劈裂与宇称振荡研究∗

喻益湘 宋凝芳 刘伍明

1)(北京航空航天大学仪器科学与光电工程学院,光电技术研究所,北京 100191)

2)(中国科学院物理研究所,北京凝聚态物理国家研究中心,北京 100190)

1 引 言

Lipkin-Meshkov-Glick(LMG)模型最初在核物理中被提出,用来描述核子的集体行为[1−3].近年来,这个模型也被用来描述具有无穷维量子自旋系统的统计物理[4]、腔量子电动力学系统[5]等.1999年,Pan和Draayer[6]用基于Bethe ansatz的无穷维代数方法证明了这个模型是可积的,并找到了其在某些极限下的解析解.另外,LMG模型在热力学极限下的能谱也具有丰富的结构[7,8].这些研究对了解和应用LMG模型是非常重要的,但是Bethe ansatz方法给出的结果对于计算很多物理量比如关联函数是没有用的,另外它们都是基于热力学极限下的多体理论,而有限尺寸效应在能谱中会呈现出多体系统没有的特征.最近文献[9]则对没有自旋交换相互作用时的有限尺寸LMG模型做了一些解析工作,其中给出了粒子数为2,3,4时的能级表达式.

本文研究了包含N个费米子的有限尺寸的LMG模型,为了获得它的解,首先将其映射到角动量空间,变成一个约化的LMG模型,其维度从2N变成2J+1.在总自旋守恒的U(1)极限下可以轻易地将哈密顿量对角化,其能谱呈网状结构;在Z2极限下,能级解析解较复杂,本文采用了量子微扰理论来研究在零塞曼场附近形成束缚态的子能级之间的劈裂行为;而对于更一般的情况,各束缚态将会发生宇称振荡行为,本文也给出了宇称交叉点的临界塞曼场.同时本文还使用精确对角化获得了能谱的数值结果,与解析结果形成对照.本文还通过调节相互作用参数呈现了系统从U(1)到Z2的渡越.

2 LMG模型

LMG模型描述的是N个费米子的系统,它们分布在两个N重简并的能级上,两能级之间的能量差为h(下文会看到,这个能量差有塞曼磁场的意义).可以用赝自旋来描述这两个能级,分别记为↑和↓,而用i来标记N重简并中的第i个简并态,其中i=1,2,···,N.考虑两类二体相互作用,一个是两个能级之间成对的不改变各自简并态的序号的散射,即一对下(上)能级的粒子散射成一对上(下)能级的粒子,或者以自旋的语言来描述,即一对自旋↓(↑)的费米子散射成一对自旋↑(↓)的费米子,所以这一项引起自旋z分量不守恒,用V来标记其强度;另一个是自旋交换相互作用,是角动量守恒的,用W来标记其作用强度.这样,整个系统的哈密顿量表达为

它们满足角动量的对易关系[Jz,J±]=±J±,[J+,J−]=2Jz.(1)式可以重新写成

选取J2与Jz的共同本征态为基矢,

其中,m=−J,−J+1,···,J;Jz是角动量的z方向分量.可以看到宇称算符

是个守恒量,即哈密顿量(3)有一个Z2对称性.当V=0时,(3)式有一个U(1)对称性,即在变换下,哈密顿量保持不变.接下来,本文将详细分析哈密顿量(3)的能谱结构和物理特征.

3 结果与讨论

首先,来看两个极限的情形.

一个是U(1)极限,V=0,哈密顿量在基矢|m⟩J下是对角化的,本征能量为

能级结构如图1所示,可以看到N+1个能级相互交织成网状,交点很容易算出,比如基态就是被Em与Em+1相交的N个交点隔开,所以容易得到交点处有

图1 U(1)极限下,LMG模型的能级分布图(这里,基态的能量已经从能谱中扣除了,所以基态能量对应于零,颜色从红色到紫色的线条依次对应于m从J变到−J,这里取N=2J=20)Fig.1.Energy-level structures of LMG model in the U(1)limit.Here,the ground-state energy has been subtracted from all levels.Different colors of levels denotes different values of m,where red is for m=J,violet is for m=J and so on,where N=2J=20.

随着塞曼场由负逐渐变到正,基态也会经历N次能级交叉,基态各段对应的m也会从J变到−J.更高能级的交叉点也同样满足(7)式,只是交点数量逐渐减少.

另一个极限称为Z2极限,对应于W=V的情形,系统的哈密顿量变成

显然Jz不再是一个守恒量,即系统没有U(1)对称性,只有一个Z2对称性,此情形下能级结构如图2所示.可以看到在h=0附近,各能级都是由一个奇宇称和一个偶宇称的态形成的二重简并束缚态.这里需要分成两种情况,对于N为奇数,经过零点时宇称会发生交叉,比如在h>0和h<0两端,系统的基态有不同的宇称,这是很好理解的,只需看|h|≫W时,系统在两端对应的基态分别是m=−J和J,而这两个态是具有不同宇称的,所以相应的两个子能级一定会发生交叉;而对于偶数N,对应的两端的基态m=−J和J具有相同的宇称,所以两子能级不交叉.

那么,构成一个束缚态能级的两个不同宇称的子能级之间的劈裂是怎样在h=0处,趋近于零的呢? 要回答这个问题,需要对于h≪W做微扰理论.显然,h=0时,哈密顿量的本征能量很容易得到,它们就是mx=±J,±(J+1),···对应的个能级,这里⌈···⌉表示向+∞取整,对于偶数N,最上面的能级是没有简并的,而其余的能级都是二重简并的.做微扰计算时,要将形成束缚态的两个无微扰子能级通过微扰项hJz联结起来才能给出能隙的贡献,所以只有考虑到2|mx|阶的微扰才能得到一个不为零的修正,也就是说,两子能级之间的间隔具有h2mx的行为,这也解释了奇数N时发生能级交叉的原因,由于2mx是奇数,对于h>0和h<0两边能隙具有不同的符号,而偶数N则有相同符号.

接下来计算Z2极限时的能级劈裂.以基态为例,形成束缚态的两个无微扰子能级是|J⟩J与|−J⟩J(为书写方便以下略去了下标x,但要注意这不是Jz的本征态),微扰项是H′=hJz,显然零阶的修正是零,而二阶和其他高阶的修正项对于两个能级都是一样的,不能打开能隙,直到2J阶的修正才有非零的非对角项出现,这个非对角修正的计算如下:

图2 Z2极限下,系统能级分布图(红色代表偶宇称能级,蓝色代表奇宇称) (a)N=20;(b)N=19;可以看到由于奇偶不同,它们呈现明显差别,(a)的各束缚态的子能级不交叉,而(b)则会发生宇称交叉,如(b)的基态在h<0具有偶宇称,而在h>0具有奇宇称Fig.2.Energy-level structures of LMG model in the Z2limit.Here,the ground-state energy has been subtracted from all levels.Red lines denote levels with even parity,while blue lines denote levels with odd parity:(a)For N=20,two levels with opposite parities in each bound state get touched without crossing at h=0;(b)for N=19,two levels with opposite parity in a bound state cross each other at h=0,e.g.the parity of ground state is even at h<0 and odd at h>0.

同样另一个非对角项也是一样,所以对角化后

分别对两个子能级提升和降低, 所以能隙大小为

对于激发能级,也可以做类似的微扰计算,不再赘述.

离开上述两个极限,对于一般的情况W与V不相等,结果又是如何？系统仍然只有Z2对称性,它不同于U(1)的情况,相同宇称之间的交叉不再发生,给定一个任意小的V都能使相同宇称之间的能级交叉打开能隙,而不同宇称之间的交叉继续存在,但是交点位置会随着V的不同而移动.如果重新来观察基态,就会发现随着塞曼场的连续变化,基态会在奇偶宇称之间来回振荡,这个现象在另一个系统——光学腔Dicke模型中也有发现[10],所以说明它是普遍存在的.图3给出了不同的V对应的能级图,可以看到系统是如何从U(1)极限逐步地过渡到Z2极限的.随着V由零逐渐增大到W,各个束缚态的能隙不断减小,而子能级之间的交叉点不断向零点靠近,而有几个交叉点就对应于Z2极限下,能隙是h的几阶无穷小.通过计算发现在v=W时,奇偶能级之间的交点仍然可以解析地得到

这与U(1)极限的交点位置也是一致的.

图3 V取不同值时的能级图 (a)N=20,V=0.1W;(b)N=20,V=0.5W;(c)N=20,V=0.9W;(d)N=19,V=0.5WFig.3.Energy-level structures for different values of V:(a)N=20,V=0.1W;(b)N=20,V=0.5W;(c)N=20,V=0.9W;(d)N=19,V=0.5W.

4 结 论

LMG模型在包含核物理在内的多个领域都有广泛的研究价值.模型看似相对简单,实际上蕴含着许多深刻的物理,自提出以来,不断有新的研究结果出现.比如,清华大学的Huang等最近利用大N展开的方法研究了有限尺寸的LMG模型的自发对称性破缺动力学行为[11],发现该系统与Wilczek提出的破缺时间平移对称性的时间晶体[12,13]的概念极其相似,激发态的寿命是格点数的三次方形式.本文从能级结构的分析入手,发现了U(1)极限、Z2极限,以及介于它们之间更一般情况下的物理特征,在解析和数值两个方面呈现出了系统的能级劈裂行为,以及宇称振荡现象.尤其是宇称振荡,我们之前已经在一个原子与光子纠缠的模型中发现了这一现象[10],该模型中驱动这种宇称振荡的不是塞曼场,而是原子与光子之间的耦合强度,而本文在一个完全不同的模型中再次出现宇称振荡效应,可能也暗示了它们之间存在某种联系.除了以上两个系统,我们发现早在十几年前,在一个描述分子磁体的双轴自旋系统中[14−16],研究者就已经发现了类似的宇称随外场振荡的效应,他们采用的是费曼路径积分的方法得到相关结果,与本文的数值和微扰论的结果一致.因此,我们认为宇称振荡现象是普遍存在的,未来如果在更多系统中发现这一现象,应该能总结出其一般规律.目前,已经有一些实验方案被提出,用来模拟LMG模型,比如用光学腔量子电动力学的方法来模拟有耗散的LMG模型[5,17],又如用金刚石中的NV色心来模拟LMG模型中的自旋[18],并使用微波来调控自旋之间的相互作用,以及用光学腔中的玻色-爱因斯坦凝聚体诱导LMG模型[19].但是该模型仍然没有真正在实验室实现.LMG模型之所以被研究半个世纪还热度不减,正因为其中还有许多未被探索的物理,而已经发现的效应对其他方向的研究也具有启发意义.