能量均分定理的一种证明
2018-10-13周薇李德华
周薇 李德华
摘要：本文用系综理论证明了能量均分定理，说明能量均分定理對于互作用粒子系统也是正确的。进一步澄清了能量均分定理中自由度的含义。
关键词：能量均分定理；自由度；系综理论；哈密顿量
中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）42-0195-02
在大学物理或热学课程中，能量均分定理是一项非常重要的教学内容，且有广泛的应用，因此，对能量均分定理的正确阐释和严格证明有着十分重要的意义。
一、常见的两种表述及证明方法
一般教材和文献中有两种常见的表述[1]，其一：在温度为T的平衡状态下，分子的每一个自由度都具有kT的平均能量（也有表述为平均动能）。另一种表述为：处在温度为T的平衡态的经典系统，粒子能量中每一个平方项的平均值均为kT。对比这两种表述很容易产生一个误解，即粒子能量中每一个平方项对应一个自由度，而经典力学中的自由度定义为确定一个物体的位置所需的独立坐标数，这个数目一般与粒子能量平方项数并不一致。这个问题往往成为理解能量均分定理的困扰。
现有的教材及文献[2-4]中对能量均分定理的证明，多采用针对近独立粒子系统的玻尔兹曼统计理论， 然而能量均分定理对于有相互作用的粒子系统亦是成立的，因此更严格更广泛的证明应该采用适用于粒子之间存在相互作用的系综理论来进行。
二、系综理论证明能量均分定理
设N个自由度为r的互作用粒子组成的系统的哈密顿量为H（q，p），如果把所有的相空间坐标q，p用x替代，x应包括所有动量与坐标（i=1，2…，2rN）。下面先计算x的平均值，其中x和x为任意两个坐标或动量
=xρ（x）dx （1）
这里没有考虑全同粒子的不可分辨性，但不影响证明结果。采用微正则系综，则
ρ（x）= E≤H（x）≤E+ΔE 0 H（x）≤E， H（x）≥E+ΔE （2）
式（2）中Ω是厚度为ΔE的能量层内的状态总数。将式（2）代入式（1），并考虑到E是定值，=0，所以
=xdx
=xdx
=ΔExdx （3）
=ΔEx（H-E）？摇dx
-（H-E）dx
式（3）中最后一步用了分部积分，其中第一项对除了x的2Nr-1个变量积分。x取极值，相应的点在能量曲面上，因此H=E，第一项为零。令λ=，则
=-ΔE（H-E）dx （4）
利用数学公式
Fα，xdx=dx
+Fα，gα？摇？摇-Fα，fα？摇？摇
可以得到
=-ΔE（-1）dx
=λΣ （5）
式（5）中Σ是能量曲面内的状态总数，那么厚度为ΔE的能量层内的状态数Ω=ΔE，所以
=λ=
再利用玻尔兹曼关系S=klnΣ，可得
=k=λkT （6）
式中λ=只有当i=j时等于1，其余为零。
下面的讨论用到哈密顿正则方程
=-，= （7）
若x为坐标q，则
=-=-=kT （8）
若x为坐标p，则
==kT （9）
式（9）中p正是某一运动方向的动能的两倍（比如mυ），对于三维运动粒子平均动能为
=kT （10）
现在来分析式（8）的意义，对于三维运动粒子，此式可以改写为
-=3kT （11）
假设系统内粒子的相互作用势能ε∝r，将力表达为势能梯度，则得到
-===α=3kT （12）
若α=2，即对于平方形式的势能有
=kT （13）
式（10）和式（13）说明平均动能和平均势能具有相同的大小，且对每一方向都有kT。
哈密顿量如果只包括平方项可以表示为
H=ap+bq （14）
利用全微分可得
dH=（2aipidpi+2biqidqi）
=dp+dq
可以看出
=2aipi，=2biqi （15）
将式（15）代入式（14）得
H=p+q （16）
所以
==fkT （17）
式中f表示哈密顿量中平方项的数目，如式（16）中f=2Nr。这说明哈密顿量中每一个平方项的平均能量为kT。
用正则系综理论同样可以证明上述结论。
三、总结
在系综理论中，不存在独立粒子，由N个坐标为 r的粒子组成的系统，其运动状态由Nr个广义坐标和Nr个广义动量确定，决定一系统的运动状态所需的独立变数为2Nr，如果把这个广义坐标和广义动量的总数称为自由度数，这样定义的自由度的数量与独立的平方项数量是一致的。这在一定程度上澄清了能量均分定理两种表述的关系，明确了自由度的各种含义。当然文中所指能量均分定理只针对动能和势能均为平方项能量的特殊情况。对于非平方相，需要用广义能量均分定理来求解。
参考文献：
[1]徐劳立.关于能量均分定理的讨论[J].物理与工程，2005，15（6）：61-62.
[2]汪志诚.热力学·统计物理[M].第二版.北京：高等教育出版社，1993：244-246.
[3]朱曙华.关于能量均分[J].湖南理工学院学报（自然科学版），2003，16（2）：37-40.
[4]翁甲强.能量均分定理证明的探讨[J].广西师范大学学报（自然科学版），1998，16（3）：6-9.
