单悬臂刚架梁临界荷载的一种优化算法

冯 环，尤 超

（滁州职业技术学院土木工程系，安徽滁州239000）

在实际工程中，悬臂梁是工程实践中常用的一种结构，常常受分布荷载、集中荷载、扭矩等外力的作用，在使用过程中，梁的任何一处都有可能产生较大的应力与应变［1-2］，从而使悬臂梁的结构发生破坏。本文选取单悬臂刚架梁变形后的平衡状态为研究对象，采用悬臂刚架梁终态的变形进行受力分析，最后确定单悬臂刚架梁的优化计算问题［3-4］，并编制相应优化程序求解其变形和转角［5-6］。

1 确定单悬臂刚架梁的力学模型和目标函数

单悬臂刚架梁的横杆AB长L，竖杆BC长H，横截面相同且均为矩形，高2 h，宽b，弹性弯曲刚度均为EI，刚架的自由端A受集中力Px、Py作用，其受力图如图1所示，以B点为原点，建立XBY直角坐标系。

（1）变形前，单悬臂刚架梁固定端C的受力为

（2）变形后，单悬臂刚架梁固定端C′的受力为

（3）变形后，单悬臂刚架梁第k个子段的内力，当第k个子段在竖杆BC部分时

当第k个子段在横杆AB部分时

（4）单悬臂刚架梁各子段在整体坐标系下的整体坐标递推关系如图2所示。

当第k个子段在竖杆BC部分时，整体坐标递推关系式为

式中每个量均为设计变量的函数。竖杆BC和横杆AB在连接点B处的转角相差90°，则在横杆AB部分的子段分析时，整体坐标系下的初始角为竖杆BC部分得到的转角减去90°。

图1 单悬臂刚架梁变形前后的平衡状态图

图2 单悬臂刚架梁第k个子段在局部坐标系下的变形分析图

2 单悬臂刚架梁的结构优化问题与目标函数的实现

基于上面的分析推导，构建以B′点和A′点未知坐标为设计变量F（z）的具体表达式

从而确立无约束条件下的单悬臂刚架梁变形分析的最优化问题为

3 程序编制

文中程序采用Visual Basic语言完成，单悬臂钢架梁问题计算程序的程序模块构成：主程序，一维搜索子程序段，Powell无约束优化程序段，目标函数子程序段。

4 单悬臂刚架梁的算例分析

单悬臂刚架梁的结构参数采用文献［1］所提供的无量纲量。刚架梁的截面均为正方形，截面宽100，横杆长度L=1，竖杆长度H=1，弹性模量E=108，惯性矩

算例1：单悬臂刚架梁发生变形时，用本文提出的优化算法和文献［1］的解析法分别进行计算，并将数值计算结果、解析解及相对误差列于表1中。

表1 本文算法计算出的单悬臂刚架梁变形结果和文献［1］的解析解及相对误差

从表1可以看出，单悬臂刚架梁发生变形时，用本文算法计算得到的数值结果和用解析法［1］得到的解析解十分近似。其相对误差结果说明采用本文提出的优化算法计算精确度较高。

算例2：当单悬臂刚架梁自由端受作用时，用本文计算分析的优化算法进行变形计算，并将数值计算结果列于表2中。

表2 本文优化算法计算出受作用的单悬臂刚架梁位移和转角

图3为有不同Py作用时，用本文计算分析的优化算法而得到的单悬臂刚架梁变形后应用程序计算获得的变形曲线图。

图3 有不同Py作用时，本文算法确定的单悬臂刚架梁变形图

从表3可以看出，单悬臂刚架梁发生变形时，用本文算法计算得到的数值结果和用文献［1］得到的解析解十分近似。

表3 本文算法计算出的单悬臂刚架梁变形结果和文献［1］的解析解及相对误差

算例3：当单悬臂刚架梁自由端同时受Px、Py作用时，用本文计算分析的优化算法进行变形计算，并将数值计算结果列于表4中。

表4 本文优化算法计算出受Px、Py作用的单悬臂刚架梁位移和转角

图4为有不同Px、Py作用时，用本文分析优化算法得到的单悬臂刚架梁变形后应用程序计算获得的变形曲线图。

图4 有不同Px、Py作用时，本文算法确定的单悬臂刚架梁变形图

从表5可以看出，单悬臂刚架梁发生变形时，用本文算法计算得到的数值结果和用解析法［1］得到的解析解十分近似。

表5 本文算法计算出的单悬臂刚架梁变形结果和文献［1］的解析解

通过算例2与算例3所列的计算结果与解析解对比及所绘的变形图，可以看出，单悬臂钢架梁在外荷载的作用下，结构的位移和转角均发生了变化，并且随着外荷载的递增，结构的位移和转角也随之变大，从计算结果相对误差对比中，可以看到采用本文优化计算方法与用解析法［1］得到的解析解十分近似，进一步证明了采用本文优化计算方法的有效性。

5 结语

针对工程中单悬臂钢架梁的求解问题，基于材料力学、最优化原理和非线性方程数值算法，建立目标函数，以一种精确有效的求解算法，编制结构优化求解和计算程序，分析了具体问题的算例，通过比较表明了本研究方法的可行性，为复杂工程结构问题的分析提供了一种求解的新思路。