轨道不平顺检测中任意阶移变补偿滤波研究

熊仕勇，陈春俊，刘新厂，同晓雅

（西南交通大学 机械工程学院，四川 成都 610031）

1 引言

数字滤波技术在轨道不平顺检测信号处理中的应用极为重要，为了实时精确地获得轨道不平顺几何状态，铁路发达国家已研制出了属于自己的轨检系统，虽然他们所设计的系统检测原理各不相同，但对信号的采样方式均采用等间隔的空间采样，并都设计出了具有不同类型的数字滤波器来消除速度因子对检测结果的影响[3]。

我国的轨检系统大多采用了惯性基准法，该系统广泛采用模拟、数字混合滤波技术对信号进行处、理，来自于传感器的模拟信号先通过模拟抗混叠滤波器，然后经过采样、量化进入计算机，随后进行数字滤波处理，由于该系统采用空间等间隔采样，所以模拟抗混叠滤波器的空间域幅频特性会随着速度的变化而移变，而数字移变补偿滤波器的设计主要是与模拟抗混叠滤波器形成级联关系，使得整个系统在空间域内具有不变的频率特性，从而消除速度因子的影响[1]。荷兰的BMS轨道检测系统也采用了惯性基准测量原理，为了能高速无畸变检测，其设计出了一个4阶巴特沃斯高通滤波器，在BMS系统中利用双线性变换法将时域低通数字滤波转换为具有频率选择能力的空间域高通滤波器。英国的高速检测系统也是利用惯性基准法，其设计出了一个5阶的高通滤波器。其设计过程是在时域设计，在模拟域通过频率变换完成空间域滤波器设计[1]。

文献[1]中设计出了对应数字滤波器来消除这种因速度引起的信号衰减特性，但是它对数字滤波器的设计过程相当繁琐，想设计出一个高阶补偿滤波器就很困难，文献[3]中所设计的2阶移变补偿滤波器也是消除因速度引起的信号衰减特性，文中计算过程也是很繁琐，从计算过程来看不够理想精确，同样，难以用该方法设计出一个高阶的补偿滤波器。综合目前轨道不平顺检测中数字滤波器的设计应用，文中在分析了轨检系统中移变补偿滤波器的理论及设计方法基础上，简单分析了列车运行速度影响检测结果的作用机理[2]，并针对高阶移变补偿滤波器设计，给出了任意阶移变补偿滤波器的设计方法，推导出了任意阶移变补偿滤波器传递函数的系数计算公式。最后通过实际轨道检测试验，验证了补偿滤波算法及计算公式的正确性，取得了满意的效果。

2 模拟滤波器移变分析

2.1 原始信号的模拟预处理

我国的轨检车广泛应用了模拟、数字混合滤波技术。在原始信号的采集过程中，由于轨道不平顺信号的频带范围宽，信号传输过程外界因素干扰等，所以在离散化前必须进行模拟低通抗混叠滤波。我国研制的GJ-4型轨检车的高低不平顺检测系统中，车体左右垂向加速度通道采用了二阶巴特沃斯低通模拟滤波器，其传递函数形式为：

式中：a—常数。

该滤波器在时间域上是具有固定截止频率的低通滤波器，将其应用于等间隔的空间采样必然导致其在空间域上的带宽不恒定，下面分析其在空间域的带宽移变机理。

2.2 模拟滤波器移变机理

由时域频率Ω与空域频率Ψ之间的关系Ω=2πΨv可知（1）式模拟滤波器的空域传递函数，式中：v—列车行驶速度（m·s-1）：

当列车速度为 20km·h-1、40km·h-1、120km·h-1时，其空间域的幅频特性，如图1所示。横坐标是空间频率m-1。

图1 F（s）的空域频谱特性Fig.1 Spatial Spectrum Characteristics of F（s）

从图1可以看出随着轨检车速度的变化，模拟滤波器的空域频率特性不能保持恒定的带宽，当车速为20km·h-1时，可知该模拟滤波器的空间域3分贝衰减截止频率为0.32m-1，当车速为120km·h-1时，可知该模拟滤波器的空间域3分贝衰减截止频率为0.09m-1，可见，随着轨检车运行速度的不断提高，在时域具有固定截止频率的模拟抗混叠滤波器在空间域对信号具有移变衰减特性，这种衰减特性严重影响检测结果，下面所设计的移变补偿滤波器正是为了补偿其移变特性，使得模拟数字混合系统传递函数在空间域具有恒定带宽和不变的幅频特性，并针对目前对数字滤波器的设计过程繁琐，难以设计出一个高阶的补偿滤波器问题，将得到一个任意阶次的补偿滤波器传递函数计算公式，通过该公式可以很快的计算出需要任意阶次的数字补偿滤波器。

3 任意阶移变补偿滤波器设计

上一节分析了模拟抗混叠滤波器的移变机理，知道了其在空间域的幅频特性是随着列车速度的变化而变化，那么移变补偿滤波器也要求在空间域的频率特性是移变的。采用单一参数控制的方法实现这种可变截止频率的数字滤波器，由于模拟滤波器的移变因子是列车的行驶速度，那么相应的移变补偿滤波器的参数也是仅随列车速度的变化而移变的。

设时域抗混叠模拟滤波器的传递函数为B（s），则其时域率特性为B（jΩ）；假设数字移变补偿滤器的传递函数为D（z），则其空域频率特性为D（ejω），由于数字角频率ω=ΩTi（式中：Ti—相邻采样点间的时间间隔），根据时域频率Ω与空域频率Ψ之间的关系Ω=2πΨv式可得ω=2πΨvTi=2πΨLs。式中：Ls—空间相邻采样点的采样间隔，这里取0.25m。由此可得数字滤波器设计目标式为：

根据设计目标，下面介绍设计任意阶数字移变补偿滤波器。设任意阶抗混叠模拟滤波器的传递函数为：

根据实时性要求，采样量化与舍入误差等因素的影响，确定用来补偿Bn（s）移变特性的数字滤波器的形式为N阶的FIR滤波器：

根据式（3）的设计目标及模拟域频率与数字域频率的映射关系z=esT=esLS/v有：

令 s=0，s1，s2，…，sn-1，sn为式（4）的 n 个极点。为了求解式（6），令 s=0，s1，s2，…，sn-1，sn利用零极点相消可得（n+1）个方程，其矩阵形式为：

式（7）可写为AB=C，则B=A-1C，利用数学归纳法解得：

例如当n=4，k=2时：

利用（8）式，可计算出（1）式中二阶巴特沃斯低通模拟滤波器所对应的数字移变补偿滤波器，其传递函数系数为：

式中：T=LS/v，s1，s2—（1）式极点。

由于滤波器系数含有超越函数，这不利于轨检系统的实时检测，对（9）式中的超越函数用泰勒展开舍掉高阶小项可得2阶移变补偿滤波器的传递函数为：

其空间域的幅频特性，如图2所示。从图2中可以看出其幅频特性是随着列车速度的变化而移变的。F（s）和D（z）级联后在车速为20km/h-1、40km/h-1、120km/h-1时的空域频率特性，如图3所示。可以看出，这时的频率特性与速度无关，整个系统具有固定的带宽，不受速度因子的影响。

图2 D（z）的空域频率特性Fig.2 Spatial Frequency Characteristics of D（z）

图 3 F（s）与 D（z）级联空域频率特性Fig.3 Spatial Frequency Characteristics of F（s） and D（z） Cascades

4 检测原理

先简单介绍轨道高低不平顺检测原理，安装在车体轴箱上的检测梁与用于高低不平顺检测的传感器在其内部安装位置，如图4所示。

图4 检测梁及传感器安装位置Fig.4 Detection of Beam and Sensor Mounting Position

其检测原理由图5可知，轨道高低不平顺由两部分组成：第一部分是安装在轨检车上的测量梁在惯性测量单元坐标系中的位移h1，由测量梁左右两端的垂向加速度计积分求解得到；另外一部分为检测梁移动后与轨道平面之间的距离h2，h2可通过安装在轨检梁上面的激光位移传感器求解得到，如图4所示。则轨道高低不平顺可以表示为h=h1-h2。

图5 轨道高低不平顺检测原理Fig.5 Detection Principle of Track Irregularity

5 试验验证

把模拟、数字混合滤波技术应用于轨道高低不平顺检测，利用我国自主研制的轨检车系统对实际轨道线路进行了动态检测得到了不同检测速度下的原始左（右）垂向加速度信号，该信号是通过了一个具有固定截止频率的二阶模拟抗混叠低通滤波器处理后得到的，由前文分析可知，数字移变补偿滤波器正是针对这个模拟抗混叠滤波器设计的，完成对信号衰减畸变特性的补偿。首先对不同速度下所采集到的原始垂向加速度信号进行了功率谱分析得到信号空域功率谱图，如图6所示。横坐标表示空间频率m-1。

图6 信号空域功率谱图Fig.6 Spatial Power Spectrum of Signals

从图6可以看到，不同速度下的加速度信号在空间域内的频谱发生了移变和衰减。列车速度为40km·h-1时，得到信号的功率谱密度图，信号空间频率主要分布在（0.05～0.5）m-1，对应波长在（2～20）m；当列车速度为时，得到信号的功率谱密度图，从图中可以看到信号波段在（1～100）m的有用信号衰减严重。可知随着检测速度的不断提高，对有用信号衰减越大。利用所推导的移变补偿滤波器传递函数系数计算公式算出了所对应的二阶数字移变补偿滤波器传递函数形式，并分别对不同检测速度下原始加速度信号进行了补偿滤波，得到功率谱图，如图6所示。从图7中可以看出，轨检车检测速度分别为40km/h-1、60km/h-1、90km/h-1时，所检测到的加速度信号的功率谱密度图具有一致的带宽，该数字滤波器补偿了信号在（0.01～1）m-1频段也即波长为（1～100）m 的移变衰减，信号空间频率特性不受速度因子的影响，使得所采集到的原始信号在空间域内具有恒定的带宽。从而验证了该补偿方法具有很好的补偿效果。同时也验证了任意阶移变补偿滤波器传递函数系数计算公式的正确性。

图7 补偿后信号空域功率谱图Fig.7 Spatial Power Spectrum of the Signal After Compensation

6 结束语

数字滤波具有高精度、可靠、易实现、灵活可变的特点，把模拟、数字混合滤波技术应用于轨道不平顺检测是未来轨检车研制的必然趋势。在分析了模拟滤波在空间域的移变机理的基础上，详细讲述了任意阶移变补偿滤波器的设计方法，并推导出任意阶移变补偿滤波器传递函数系数的计算公式，解决了高阶移变滤波器设计困难的问题。未来，将有大量的补偿滤波器运用于轨道检测中，通过推导的公式能够快速计算出任意所需阶次的移变补偿滤波器。最后通过实际线路试验验证了模拟、数字混合滤波技术的正确性，它可以完全消除速度因子对检测结果的影响。

未来，将有大量的轨道需要维护与检修，而随着列车运行速度的不断提高，对轨道的几何参数要求越来越严格标准化，这对轨检系统提出了更加急切的需求与严格的要求。这种混合滤波技术在未来也会得到更广泛的应用。