高中数学“同类知识”的自主学习策略研究

☉江苏省西亭高级中学 黄素霞

圆锥曲线、立体几何、函数、数列中都包含很多的同类知识，教师如果能够站在较高的角度对这些同类知识进行教学往往能够培养学生终身自主学习的能力，本文结合学生自主学习能力的培养对椭圆教学浅谈自己的一点感悟.

椭圆、双曲线、抛物线是运用平面对圆锥面进行三种不同截法而产生的不同曲线.事实上，圆锥曲线是动点在不同约束条件下运动所形成的轨迹.本文结合椭圆教学所进行的思考是基于学生椭圆知识的掌握，更为重要的是帮助学生在椭圆的学习中掌握双曲线、抛物线以及一般曲线的方法，并因此达成“授人以鱼，不如授人以渔”的教学宗旨.

一、何谓定义

1.下定义的缘由与方法

当人们在科学研究中发现某个重要且值得研究的对象时往往会对其本质属性进行挖掘并给出其定义，否则就会产生目标不明确的混乱局面.

何谓定义呢？人们在确定认识对象或事物在一定综合分类系统中所运用的判断或命题式的语言逻辑形式就是我们通常所说的定义，定义可以说是某种事物在一定范畴内的界限与具体位置.人们对某一种事物的本质特征或概念内涵、外延所作出的确切表述是数学角度上关于定义的解释.由此可见，对不同对象进行研究时首先应做的便是对该对象下定义，定义一般具有作为判断与性质的双重性特征.

学生明确下定义的缘由与方法之后，自然也就更加明白学习新知识时对研究对象下定义的必要性与重要性，也对所学定义在解题以及新知识学习中的应用价值产生更深刻的理解.

2.定义的等价形式

椭圆定义：平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫椭圆，F1、F2两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫作椭圆的焦距.

例1已知△ABC中，B（-3，0）、C（3，0），且AB、BC、AC成等差数，则顶点A在什么样的曲线上运动呢？（椭圆）

例2如图1，与圆F1外切并与圆F2内切的圆的圆心C在什么样的曲线上运动？（椭圆）

虽说研究对象在一般情况下只有一个基本定义，但描述研究对象的相同属性之时因为角度的不同往往会产生定义条件下的多个等价形式，学生明白这一道理也就能够理解各种不同条件下都能得到相同椭圆的原因了，不仅如此，学生在后续圆锥曲线的学习中还会更加容易获得正确的理解与感悟，学生在自主学习中也会因此掌握研究平面曲线的方法并为解析几何的学习奠定基础.

那么，教师在椭圆的定义得到明确之后应该如何引导学生进行进一步的探究呢？

师：圆的定义是我们同学在初中阶段就学习过的，那么我们对圆的性质是怎样进行进一步研究的呢？

生：运用圆的方程.

师：为什么呢？

这一问题的提出事实上是解析几何本质问题的涉及：将几何问题进行以数定形、以形定数，也就是通常所说的几何问题数量化，并在此过程中实现完美的数形结合并最终获得研究真实图形的方法.

图1

二、研究对象的方程

师：圆的方程的建立大家是否还记得呢？

学生回答教师提出的这一问题，教师进行适当引导并最终得出建坐标系、设点、列等式、代坐标、化简这一建立圆的标准方程的步骤.

师：这一方法会不会一样适用于椭圆呢？

生：适合.

运用建立圆的方程的步骤将求椭圆方程的五大基本步骤自然引出，伴随这一过程的探索，教师对其中两个步骤可以进行着重说明.

（1）应该怎样建立适当的坐标系？

针对同一个椭圆选择不同的直角坐标系所推出的相应方程式往往是不一样的，一般表现在焦点分别在x轴、y轴的标准方程上.因此，此时坐标系的建立应尽量使方程的形式与运算简单，这是一种同样适合研究其他曲线、曲面及几何体的方法.

（2）如何列等式？

将椭圆上的动点所受的几何约束转化成代数形式是最为根本的环节，根据条件可得：

这是一种同样适合研究其他曲线、曲面及几何体的方法.

三、研究对象的图形

师：研究椭圆方程会有什么好处呢？

生：可以根据方程画出图像并进行其性质的研究.

师：很好.根据椭圆方程画出图形更加便于我们对其形态进行观察，进一步研究其性质也会变得更加容易，这是一种同样适合研究其他曲线、曲面及几何体的方法.

四、研究对象的性质

椭圆的几何性质应该怎样研究呢？（学生讨论）

（1）首先应该弄清楚曲线的哪些性质需要研究，图形的对称性、范围、离心率、顶点、渐近线等曲线上的动点所具备的主要共性是曲线需要研究的性质，需要特别注意的是不同对象的几何性质也是有所差别的.

（2）借“数”研“形”，这是研究解析几何、解决解析几何题目最为关键且根本的方法.比如获得曲线的直观图形时可以采取描点法；比如描点作图得到椭圆并对其几何性质进行观察；比如根据方程对其几何性质进行研究.一般来说，具体性质如下：

1.范围

同理可得|y|≤b.

由此可说明椭圆位于直线x±a与y±b所围成的矩形内.

2.对称性

如图2，根据图形可得：椭圆关于x轴、y轴、原点对称.

从方程上来看：

图2

（1）将x换成-x时方程不变，说明当点P（x，y）在椭圆上时，点P关于y轴的对称点P′（-x，y）也在椭圆上，因此椭圆的图像关于y轴对称；

（2）将y换成-y时方程不变，因此椭圆的图像关于x轴对称；

（3）将x换成-x并同时将y换成-y时方程不变，因此椭圆的图像关于原点成中心对称.

综上所述，椭圆的对称轴与对称中心分别是坐标轴和原点，其对称中心也叫作椭圆的中心.

3.顶点

4.离心率

离心率：椭圆的焦距和长轴长之间的比e=c叫作椭a圆的离心率.

说明：

（1）因为a＞c＞0，因此0＜e＜1.

（3）当且仅当a=b时，c=0，此时两焦点重合且图形变成为圆.

这是一种同样适合研究其他曲线、曲面及几何体的方法.

五、研究对象的运用

事实上，圆锥曲线等曲线在我们的实际生活中都有着极为重要的应用价值与理论研究价值.比如，油罐车的截面、卫星的轨迹等都是椭圆；抛物线的性质、双曲线的定位点等可以运用在探照灯的设计与运用上等.由此可见，曲线研究基础上的应用是我们学习曲线的真正意义之所在.

总之，使学生掌握椭圆的知识是椭圆教学的一个重要目标，但除此以外，教师还应使学生能够掌握其他曲线、曲面及几何体的研究方法，并使其能够进行所学知识的运用，这对于学生来讲才是更为重要的，学生在学习过程中形成的自主学习能力与应用能力往往能令其受益一生.