基于整体单元化设计理念下的“函数单调性”教学

☉江苏省南京民办实验学校 肖启平

单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数等具体函数模型的基础，它起着承上启下的作用.不仅如此，对学生而言，函数的单调性这节内容具有三个“第一次”的独特属性：它是学生第一次系统地研究函数的性质、第一次进行严谨完整的代数论证、第一次认识“任意”.因此，无论在基本知识层面、研究方法层面还是认识策略层面，函数的单调性都承载着重要的使命.由此可见，这节课对教学提出更高的要求，传统的那种“就课论课”、“只见树木不见森林”的教学设计方式恐怕很难实现凸显函数单调性的核心地位，使学生真正地理解单调性数学本质的教学目标.

一、整体化教学分析

众所周知，数学知识间相互联系，具有很强的整体性与连续性.教师在进行教学分析时不能简单地停留在对某节课教材文本的解读上，而是要站在知识系统的高度，开展“整体化”教学分析.具体而言就是站在章节、模块，甚至是数学课程的高度去认识教学内容，全面地整合教材，连贯地理解目标，突出学科知识的系统性和教学的方向性，从而形成“有生命的、有灵魂的整体的知识”.我们运用“整体化”教学分析就能破解传统函数单调性教学设计的瓶颈.

（一）教材层面

知识层面 思想方法教材对于函数单调性的研究可以分为两个阶段：第一阶段，用运算的性质研究单调性，知其变化趋势；第二阶段，用导数的性质研究单调性，知其变化快慢.本节内容的学习刚好处于第一个阶段，因此，不能急于求成，要关注知识的自然生成.本节课既是数学概念课，也是一节具有重要意义的数学方法课，揭示了研究函数性质的“基本套路”，即先借助图像进行直观感知，然后通过抽象归纳实现定义提炼的过程.在整个过程中，学生经历了从图形语言到自然语言，再到符号语言描述的思维过程.不仅如此，为了实现概念的自然建构，对数学认知策略的教学也是本节课的重要任务之一.

（二）学生层面

已有经验 思维短板①能够区分一次函数图像与二次函数图像的几何特征，知道图像“上升（下降）”与“函数值增大（减小）”的关系；②会利用作差法比较两个数字的大小关系；③经历了函数定义的生成过程，积累了一定地抽象概括的经验.①抽象性水平还比较有限，面对函数单调性形式化定义的理解存在困难；②初中数学概念都是以静态表述为主，对于单调性这样动态概念的表述缺乏经验；③缺乏“无限”与“有限”的转化经验，对“任意”的理解存在障碍.

通过上述分析，本节课的教学要加强几何直观、注重数形结合，具体教学设计思路如图1所示.

图1

上述教学设计思路也是研究函数其他性质的基本套路，所以本课时的教学不单是知识的教学，还是以知识的学习为载体，来培养学生研究能力的过程.

二、单元化教学设计

通过“整体化”教学分析，教材的重点与难点得到进一步明确，教学的素材得到了统筹重组和优化，围绕着上述的思路我们就可以对本节课进行整体“单元化”的教学设计，具体操作如下.

（一）唤醒旧知，明确主题

问题串1：（1）已知函数f（x）=2x+1，试比较f（1）、f（2）的大小；

（2）已知函数f（x）=kx+1，试比较f（1）、f（2）的大小；

（3）已知函数f（x）=kx+1，如果f（1）>f（2），试比较f（3）、f（4）的大小.

意图：唤醒学生对于函数图像的上升与下降与函数值变化规律之间联系的认知，感受函数值变化的复杂性，体会研究函数性质的必要性，为引出“单调性”的研究主题作铺垫.

问题串2：（1）请结合图像，描述一次函数图像的变化趋势与函数值之间的关系.

（2）请结合图像，描述二次函数图像的变化趋势与函数值之间的关系.

意图：建立形与数之间的联系，让学生经历从图形直观感知到自然语言感性描述的思维过程.

（二）数学抽象，生成概念

引导学生直观理解“单调性”的概念：从字面上看“单调”就是简单的意思，汉语大词典对“单调”的解释是：简单、重复而没有变化.哼出一段音乐调子：7，6，5，4，3，2，1，再换成6，5，3，3，5，6，5，3，前者给我们单调递减的感觉，后者则是在变化的.仔细分析后者，我们也会发现前面三个数字是单调递减，中间三个数字又单调递增，后面的又单调递减.因此，研究单调性还要关注“范围”.

意图：联系生活实例，让学生对单调性的概念有一个直观的认识，同时为后面单调区间的概念作铺垫.

问题1：已知函数f（x）=x2+ax+1，如果f（1）＞f（2），试比较f（3）、f（4）的大小.

思考：（1）能否比较f（3）与f（4）的大小？

（2）如果要比较，需要知道什么？

（3）如何判断函数单调性？

问题2：如果能够画出函数图像就能够从图像上观察得到单调性，但如果函数图像无法画出那怎么办？

意图：引发学生的认知冲突，为单调性形式化定义的提炼作铺垫.

问题3：如何说明“函数值随自变量的增加而增加（减少）”，请举出例子？

问题4：如何用数学符号表示“函数值随自变量的增加而增加（减少）”？

意图：对于上述两个问题的思考，一般分四步走.

第一步，如果当x增大时，y随x的增大而增大，那么当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2）成立.反之是否成立呢？由此引出问题：在定义域的某个子区间内取两个确定的值能否推断出函数在该区间内是增函数，并举出反例.

第二步，如果在该子区间内取无数个自变量的值是否可以？学生基本上认为这样做是可以的.此时教师指出：虽然有无数个值，取其中两个紧邻的值，如a，b，在数轴上将这两个数对应的点为端点的线段用放大镜放大，那么这两个值就相当于第一步中的x1和x2，所以仍然不足以得出结论.至此，学生思维的积极性被调动起来了.

第三步，综合前面两步，只有该区间内“所有”的自变量都验证后才能得出结论.

第四步，教师指出需要找“代表”，让学生继续思考怎么表述，学生陷入困境.此时应该由教师引导学生把“所有”转化为“任意”.

整个教学经历了这样的建构过程：“两个——三个——无数个——所有——两个代表——任意.”

（三）拓展思维，内化概念

问题1：对于一次函数、二次函数，如何迅速判断其单调性？

意图：一方面强调数形结合的重要性，另一方面通过探究，归纳两个最熟悉的判断函数单调性的方法.

问题2：反比例函数在定义域内是单调的吗？

意图：通过观察图像，很多学生会误以为反比例函数图像的两支分别单调因此总体也单调，这需要教师利用特殊值代入与利用定义进行严格论证纠正学生的错误认知，从而进一步明确单调的判定不能脱离具体的“区间”.同时，教师可以借助形象生动的语言对上述三个函数的单调性特征进行描述：一次函数在定义域内单调——“统一战线”，二次函数在定义内有两种单调性——“一国两制”，反比例函数尽管图像两支的单调性一致，但它们各自为营——“军阀割据”.

三、教学反思

在数学研究中，建立一个数学概念的意义就是揭示它的本质特征，即共同属性或不变属性.对各种函数模型而言，就是研究它们所描述的运动关系的变化规律，也就是这些运动关系在变化之中的共同属性或不变属性，即“变中不变”的性质.上述教学设计的优点是从单元教学的整体目标出发，统揽全局，将教学活动的每一步、每一个环节都放到教学活动的大系统中考量，突出教学内容的主线及知识间的关联性，而不是片面地突出或者强调某一点.学生不仅获得函数单调性的抽象定义，同时也掌握研究函数性质的一般“套路”.更为重要的是认识到了“任意”的真正内涵，学会了从“无限”向“有限”转化的数学思想，实现了数学知识的融会贯通.

课程标准明确指出：“不要因为高中数学课程内容划分成了若干模块，而忽视相关内容的联系.”数学教材是使学生达到数学课程标准所规定的目标要求的内容载体，是将数学课程概念和数学课程内容按照一定的逻辑体系和一定的呈现形态加以展开和具体化的、系统化的材料.整体单元化设计的就是普遍联系哲学观点在数学教学中的具体应用，它的价值在于从更高观点对数学教学中的各要素进行系统的综合考量.它要求教师破除“教教材”、“就课论课”的思维惯性，立足学生的认知规律，通过重组优化教学内容从而达到整体建构知识网络的目标.