注重基础 考查全面 稳中求变 凸显素养——2018年高考数学试卷总体评析与教学启示

☉安徽省灵璧第一中学 郑 良

一、总体评价

2018年全国各地高考数学试卷共有8套13份（文、理科各算1份，浙江、上海文理科合卷，江苏文理科合卷，理科有卷Ⅱ（附加题）），分别是教育部考试中心统一命制的试题3套：全国卷Ⅰ（河南、河北、山西、江西、安徽、湖南、湖北、福建、广东、山东等省区），全国卷Ⅱ（陕西、重庆、辽宁、吉林、黑龙江、宁夏、甘肃、青海、新疆、内蒙古、海南等省区），全国卷Ⅲ（四川、西藏、云南、贵州、广西等省区），自主命题5套（北京、天津、上海、浙江、江苏等省区）.总体来说，各套试卷保持一贯风格，稳步推进，适度发展创新，使学生心态平稳，较快地进入考试状态，发挥真实水平；布局合理，立足基础，从易到难，尽可能使每个学生都得到基本分，彰显人文关怀；形式创新，突出本质，通过思维层次的甄别，凸现学生能力，突出高考的测试与选拨功能；注重过程，强化推理，检测学生数学活动经验积累，辨识学生学习发展潜能；逻辑引领，强化思想方法，强调逻辑思维，发展理性精神；频现经典、兼顾冷点，体现了命题专家坚持改革与创新的尝试；关注应用，体现了数学“来源于生活，应用于生活”，让学生在学以致用中理解升华；渗透数学文化，注重学科综合，彰显数学学科的育人价值，促进素质全面发展，从整体角度、系统高度考查学生的综合素养，有利于发挥高考的导向作用.

二、试题特点与应用举例

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：学科核心素养是育人价值的集中体现，是学生通过学科学习而逐步形成的正确价值观念、必备品格和关键能力.数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.这些数学学科核心素养既相互独立，又相互交融，是一个有机的整体.通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的数学“四基”（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验），“四能”（发现问题的能力，提出问题的能力，分析问题的能力，解决问题的能力）.2018年高考是《普通高中数学课程标准（2017年版）》颁布后的首次高考，其命题走向备受关注.限于篇幅，本文不再对全国各地数学卷考点分布情况进行统计，仅就试题显著特点进行概述与部分试题例析与链接.

1.整体布局，立足基础

各份试卷布局合理，保持题型、题量与2017年不变，考点与考查形式总体稳定，只是在局部上略有调整.各地数学试卷整体上难度略有降低，均注重对“四基”与“四能”的考查.运算量减少，更注重数学思维质量.如复数运算（13份）、集合运算（12份，上海卷无）、向量性质与运算（12份，江苏无）、线性规划（10份，全国卷Ⅲ理、江苏卷、上海卷无）等基础知识与方法仍是知识考查的热点，但三视图（7份）、算法与程序框图（7份）等内容数量有所降低，体现了课程改革阶段性的过渡与衔接.

例1（上海卷第8题）在平面直角坐标系中，已知点A（-1，0），B（2，0），E，F是y轴上的两个动点，且则的最小值为______.

点评：本题常规解法是构建目标关于变量的函数，进而转化为函数的值域问题，但点E，F在y轴上的相对位置未定，需要分类讨论.解答抓住“点A，B在x轴上，点E，F在y轴上”的特性，根据“互相垂直的向量数量积为零”以退为进实施化归，最后利用向量的极化公式实施以静制动策略.该题平凡而不简单，求解过程的繁简程度不同，能较好地甄别出学生的理性思维水平.类似的试题还有天津卷理科第8题.它反映出当前教学的一种现象，即很多教师只专注学生有无思路而忽视学生思维进阶的培养与提升，学生更关心“常规方法”（不同于通性通法）的识记与运用而缺乏深入反思的习惯，导致学生用计算代替思考，思维层次不高，思辨能力停滞不前.

2.形式创新，突出本质

现实世界千姿百态，绚烂无比.形式不同的表象背后可能隐藏着始终如一的本质.高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学定义、法则、结论的发生、发展过程和本质.为更好地甄别学生的思维水平，引领学生回归教材，突出问题本质，各套试题均尝试对试题的形式进行加工创新，以规避学生的“对号入座”.

例2（上海卷第16题）设D是含数1的有限实数集，（fx）是定义在D上的函数，若（fx）的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，（f1）的可能取值只能是（ ）.

解析：由“（fx）的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合”联想到圆，考虑到圆不满足函数的定义，故将其局部调整，如图1所示，先在圆O（O为坐标原点）上取均匀分布的12个点A1，A2，…，A12，再将其按逆时针旋转一定的角度θ使点的位置不关于x轴对称，满足函数的定义，答案为B.

图1

点评：本题考查函数的定义、函数的图像及其旋转变换，考查推理能力和数形结合思想，体现了数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养.本题呈现基点低缓，内蕴丰富，嵌套合理，设计巧妙等特点，需要考生深刻理解函数概念，具备一定的审题、联想能力，模型加工的能力.题面有别于常见的函数图像平移、翻转、旋转的整数倍，导致学生考晕一批，迷倒一片.审题要抓题眼，由“……与原图像重合”联想到周期函数，“D是有限实数集”想到图像是几个孤立的点，“f（x）是函数”表明其图像不关于x轴对称（不能出现一对多的情况），通过分解与整合，实现模型从理想到现实的加工，体现了思维的变通能力，反映了思维的深刻性与灵活性.

3.注重过程，强化推理

当前课堂教学存在着“掐头去尾烧中间”的功利化教学.评价既要关注学生学习的结果，更要重视学生学习的过程.部分试题设计精妙，关注对“新定义”的学习理解，强化过程的体验与感悟，深化感性到理性的思辨，注重对问题的合情推理与规范表达.

例3 （江苏卷第23题）设n∈N*，对1，2，…，n的一个排列i1i2…in，如果当s＜t时，有is＞it，则称（is，i）t是排列i1i2…in的一个逆序，排列i1i2…in的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序（2，1），（3，1），则排列231的逆序数为2.记fn（k）为1，2，…，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数.

（1）求f3（2），f4（2）的值；

（2）求fn（2）（n≥5）的表达式（用n表示）.

解析：（1）记τ（abc）为排列abc的逆序数，对1，2，3的所有排列，有τ（123）=0，τ（132）=1，τ（213）=1，τ（231）=2，τ（312）=2，τ（321）=3，则f3（0）=1，f3（1）=f3（2）=2.

对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此，f4（2）=f3（2）+f3（1）+f3（0）=5.

（2）对一般的n（n≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，所以fn（0）=1.

逆序数为1的排列只能是将排列1，2…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以fn（1）=n-1.

为计算fn+1（2），当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此，fn+1（2）=fn（2）+fn（1）+fn（0）=fn（2）+n.

当n≥5时，f（n2）=［f（n2）-fn-（12）］+［fn-（12）-fn-（22）］+…+［f（52）-f（42）］+f（42）=（n-1）+（n-2）+…+4+f（42）

点评：推理是数学的生命线，无处不在.本题为新定义（逆序（数））问题，读懂定义，类比排列（数），容易得到f3（2），如何由f3（2）通过联系得到f4（2），借助定义利用一一对应自然生成.从特殊情况能归纳（或演绎出）一般性结论吗？要保证结论的可靠性，必须把握问题本质.本题关注本质、注重思维过程，台阶平缓，层层铺垫，彰显命题者的人文关怀.类似的试题还有浙江卷第8题等.

4.逻辑引领，思想（方法）跟进

数学教学要关注数学逻辑体系、内容主线、知识之间的关联，重视数学实践和数学文化.通过高中数学课程的学习，学生能掌握逻辑推理的基本形式，学会有逻辑地思考问题；能够在比较复杂的情境中把握事物之间的关联，把握事物发展的脉络；形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神，增强交流能力.数学思想是对数学对象的本质认识，是对具体的数学概念、命题、规律、方法等的认识过程中提炼概括的基本观点和根本想法，对数学活动具有普遍的指导意义，是数学活动的指导思想；数学方法是指数学活动中所采用的途径、方式、手段、策略等.通常，在强调数学活动的指导思想时称为数学思想，在强调具体操作过程时则称数学方法.

例4（全国卷Ⅱ理科第19题，文科第20题）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8.

（1）求AB的方程；

（2）求过点A，B且与y=x-1的准线相切的圆的方程.

解析：（1）直线l的方程为y=x-1.

（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），故AB的垂直平分线方程为y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则因此所求圆的方程为（x-3）2+（y-2）2=16或（x-11）2+（y+6）2=144.

点评：第（1）问为圆锥曲线的弦长问题，常见解法有：①根据交点与两点间距离公式，适用所有曲线；②利用弦长公式是直线y=kx+m与圆锥曲线的交点），将弦长从直线角度表征；③利用曲线特性，根据曲线的固有属性求解特殊位置的弦长，如过抛物线焦点的弦长可用（p为抛物线的焦准距，α为焦点弦所在直线的倾斜角）.还可以根据需要从极坐标或直线的参数方程等角度切入，适合的才是最好的，多问之间的关联与依存关系必须关注，尽可能实现一劳永逸.对于第（2）问，可能有些学生牢记结论（以抛物线的焦点弦为直径的圆和准线相切）而忽视结论的前提导致漏解.解题要重视分析问题的逻辑关系，不能用充分条件或必要条件代替充要条件.

5.重视变形，深化综合

“掌握数学就是意味着善于解题.”解题需要一些数学“技巧”，它是一种高层次思维、高智力水平的策略.变形是数学解题的基石，变形能力的强弱直接制约着解题能力的高低.提高数学变形能力主要从知识结构、方法技巧、思维能力等层面入手进行强化与提高.高考试题重视知识交汇，它需要学生对题目的条件进行独立、深入的分析，然后对条件的解读进行整合、调整与优化.

例5（全国卷Ⅰ文科第21题）已知函数（fx）=aex-lnx-1.

（1）设x=2是（fx）的极值点.求a，并求（fx）的单调区间；

解析：（1）略.

设g（x）=ex-1-lnx-1，则

当0＜x＜1时，g（′x）＜0；当x＞1时，g（′x）＞0.所以x=1是g（x）的最小值点.故当x＞0时，g（x）≥g（1）=0.因此，当a≥时，（fx）≥0.

证法3：（fx）=aex-lnx-1，f（′x）=aex-是x∈（0，+∞）上的增函数，令f（′x）=0，得xex=∈（0，e］，而y=xex在（0，+∞）上单调递增，则存在x0∈（0，1］使得x0ex0=，即函数y=（fx）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，所以当x=x0时，（fx）取得最小值（极小值），故（fx）≥（fx0）=aex0-lnx0-1=-lnx-1.0

点评：本题第（2）问为含有参数的不等式恒成立问题，往往涉及对参数分类讨论.注意到（仅出现一次的）参数a的系数为正数ex，证法1利用一般与特殊的关系通过放缩消去参数a；证法2保留参数a，利用ex-1≥x进行放缩，在放缩的过程中一定要注意控制放缩的幅度，宜先大步后小步，合理调适，如利用ex≥x+1对f（x）放缩就会出现“放过”的情况；证法3直接对函数f（x）求导，利用“设而不求”确定函数f（x）的最小值表达式并转换形式，进而构造函数进行传递过渡.类似的试题还有全国卷Ⅲ文科第21题等.

6.频现经典，关注应用

很多问题具有典范性，示范性，能体现学科（知识、思想方法）的精髓，百考不厌，常考常新.如函数的零点问题，全国卷Ⅱ文理科第21题第（2）问、全国卷Ⅲ理科第21题第（2）问、浙江卷第22题第（2）问、天津卷文理科第20题第（3）问等都是通过零点定理进行判定，考查学生对函数性质的全面理解与综合运用.数学源于生活，应用于生活.高考中常将与大众生活息息相关的问题适度抽象、改造，以概率与统计试题等形式出现，试题平和，背景公平，在学生心情相对轻松的状态下实现对学生数学素养的考查.

例6（全国卷Ⅰ理科第12题）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）.

解析：平面α与同一顶点出发的三条棱BA，BC，BB1所成的角相等，平面AB1C符合题意，进而所有与平面AB1C平行的平面均符合题意.

图2

由对称性，知过正方体的中心的截面面积最大，此时截面为正六边形EFGHIJ，边长为，如图2所示，故其面积为.答案为A.为120°的六边形.当截面为六边形EFGHIJ时，设其面积为S，设则则当时，S取得最大值为，而截面三角形的最大面积为故截面面积的最大值为

点评：截面问题充分考查学生的空间想象能力，它是考查学生综合运用立体几何中的判定定理与性质定理的良好载体.最值是边界的函数值，选项A中的数值最大，学生抓住特殊状态（多数学生如是操作）直接验证即可.若增加一个更大的数值进行干扰，相信能够更好地考查学生的逻辑推理素养，区分度更高.学生（建立空间直角坐标系）能判断出平面α与正方体的对角线垂直，不妨设平面α垂直于BD1，则截面为等边三角形或各个角均换个角度看，记正方体的外接球的球心为O，则BD1是球O的一条直径，则平面α截此正方体所得截面为垂直于BD1的球大（小）圆内接正三角形或各个角均为120°的六边形.显然当截面过点O时（此时截面所在的圆为球大圆），截面的面积最大.

上海卷第19题（通勤时间）、江苏卷第17题（年总产值最大）为函数的具体应用，而全国卷Ⅰ文科第18题理科第20题（产品检验）、全国卷Ⅱ文理科第18题（环境基础设施投资）、全国Ⅲ卷文理科第18题（技术创新）、北京卷文理科第17题（电影好评）则是概率与统计的应用，都具有很强的现实意义.其中全国卷Ⅱ文理科第18题第（2）问、全国卷Ⅲ文理科第18题第（1）问都可估算，答题的切入点具有开放性.

三、教学启示

文［2］认为：新授课与复习课等教学要夯实基础，构建知识网络体系；感悟数学思想，理解数学方法；适度形式化，注重挖掘本质；培养创新意识，突破知识交汇等，并着重强调四点：强化阅读理解能力培养，教师自觉深入学习反思，重视概念理解推进教学，加强自主探究能力训练.这里再作以下补充.

1.研究纲领文件，发展教材功能

高考考什么？怎么考？多少师生在考试前惴惴不安，考试后扑朔迷离.遭遇无数次失败后暮然回首，才发现“题在书外，根在书中”.《普通高中数学课程标准》（简称《课程标准》）指导着普通高中课程改革的实践，坚持正确的改革方向和先进的教育理念，搭建适合时代发展的普通高中课程体系等.教材的编写必须以《课程标准》为依据，它是《课程标准》理念的再组织、再创造与具体化.教材是师生教与学的载体，无论怎样挖掘都不为过.《普通高等学校招生全国统一考试大纲》（简称《高考大纲》）是高考命题的纲领性文件，《普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明》（简称《考试说明》）则对《高考大纲》进行细化说明与解读并提供样例.《高考理（文）科试题分析》（简称《试题分析》）则对上一年高考题进行整体评价与试题分析（考查目标、命制过程、解题思路、试题评价）.通过阅读《课程标准》、《高考大纲》、《考试说明》、《试题分析》，明晰教学方向，通过解读教材理解学生优化教学设计，让学生积累数学活动经验，提高数学建模能力，落实“四基”发展“四能”.要给学生一碗水，教师要有源源不断的活水.限于篇幅，教材和配套的教师用书安排的内容及补给非常有限，教师要查阅专业书籍做到对相关内容系统理解，教学时才能做到知己知彼，处理问题方能游刃有余.

现实教学中，不少教师不看（甚至没有）以上纲领性文件，导致教学缺少针对性，如很多内容该删不删致使教学容量过大、课时严重不足等.教师仅仅把教材作为新授课概念和例题呈现的工具，对其中的习题、阅读材料和课题研究等材料则是不闻不问，高考复习时更是将其束之高阁，教学效果不言而喻.如2018年与2017年的全国卷《高考大纲》基本相同，与前几年的《高考大纲》变化不大，总体上一脉相承，保持稳定，但2018年高考应用题计算量不大，更注重数学原理的考查.

2.强化高考研究，开展开放教学

高考是高中数学教学无法回避且无需回避的现实，高考是教学的起点，但不是终点.笔者归纳整理了近几年全国各地高考试题，发现教材中每个知识均被不同程度的考查，这也表明教学要脚踏实地将教材内容逐一落实，任何猜题押题等侥幸心理都是不科学的.通过（横向、纵向等方式）研究梳理高考，会让思维愈发清晰，眼界更加开阔.如弄清各知识点在教材中的地位，它与其他知识交汇的常见方式等，从中发现试题从教材到高考的演变历程及发展方向.通过高考窥探不足，加强教学研究，在应对高考（学生在高考中得到较高的分数）的同时，发展学生的核心素养，做好基础数学与高等数学的衔接等，切实为学生的终身发展谋效益.

“数学的本质在于它的自由”.高考中已加强开放性问题的考查，开放式教学应是教学发展的趋势.开放式教学绝不仅仅是形式的开放，更是思维等全面的开放.课堂教学要根据学情敛散有度，力争实现“言有尽而意无穷”，作为课外学习探究的生长点.

3.关注数学应用，构建数学模型

数学来源于社会现实又服务于社会实践.近年来各地高考试题，依照新课标的精神，注重联系生活实际及其社会生活中的重大问题，引导学生关注生活，体现了人文教育.高考中对数学应用问题的考查，在一定程度上反映了学生对数学概念和规律的本质理解，更反映出学生运用数学方法定量客观理性分析问题的思维习惯，这些正是一个现代公民应该必备的基本数学素养.学习过程中加强数学与生活的沟通，必将促进两者齐头并进，共同发展.当前教学中，数学的实际应用（实际应用为数学应用的一部分）与生活脱节，不仅给学生以“数学无用”的印象，还导致学生缺乏发现数学规律和问题解决的机会，丧失了经历知识形成的过程.

“数学模型搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重要形式.数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力.”数学模型，就是根据特定的研究目的，采用形式化的数学语言，去抽象地、概括地表征所研究对象的主要特征与关系所形成的一种数学结构.数学建模是对现实问题进行抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.有了模型思想，学生在解决问题时，就能化繁为简，扣住问题的本质属性，排减一些非本质的东西来思考问题，为问题的解决提供了策略帮助.