立足模拟题本质 探寻多角度解法

☉江苏省扬中市第二高级中学 朱卫红

美国著名数学家哈尔莫斯曾说过：问题是数学的心脏.对学生来说，各类考试题无疑是最熟悉的一个“问题”.解三角形主要通过对任意三角形边角关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能利用它们解决一些简单三角形度量问题及一些与测量和计算有关的实际问题.该部分是每年高考中的基本考点之一，大都运算量大、公式应用多，这就要求我们不仅具有较高的运算水平、较强的运算能力和较大的记忆能力，还应善于审题，采用相应的策略，优化过程.特别对于解三角形中的最值以及与之对应的相关问题，备受命题者青睐，更是各类考试中的热点题型.下面结合一道三角形面积的最值问题加以多解剖析.

例题（2018年江苏省某市高考二模·16）等腰△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，BD=1，则△ABC的面积的最大值是____.

分析：解三角形问题往往要以通过解三角形思维（包括正弦定理、余弦定理等）、向量法思维、几何法思维、坐标法思维等不同的角度切入，抓住解三角形法、向量法、几何法、坐标法，这是解决此类问题的常见“四招”.从哪些角度切入，如何正确破解此类问题，是处理此类问题的重点所在.

解法1：在△ABD中，由余弦定理可得：

解法2：设AB=AC=2x，则AD=DC=x.

在△ADB中，由余弦定理可得4x2=1+x2-2×1×x×cos∠ADB；

在△BDC中，由余弦定理可得a2=1+x2-2×1×x×cos∠BDC.

两式相加可得4x2+a2=2+2x2，即2x2+a2=2.

解法3：在△ABD中，由余弦定理可得：

解法4：设BC边的中点为E，AE与BD交于点G，则G为△ABC的重心.

解法5：设AB=AC=2x，则AD=DC=x，那么△ABC的半周长

由三角形的中线长公式可得4BD2=2AB2+2BC2-AC2=8x2+2a2-4x2=4，即2x2+a2=2.

由海伦公式可得△ABC的面积：

解法6：设BC边的中点为E，AE与BD交于点G，则G为△ABC的重心，则有

解法7：设BC边的中点为O，AE与BD交于点G，则G为△ABC的重心，过D作DE⊥BC交于点E，设∠DBC=α，

解法8：设BC边的中点为O，以O为坐标原点，BC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设B（-m，0），C（m，0），A（0，n），m>0，n>0.

解法9：以BD的中点O为坐标原点，BD所在直线为x轴，BD的垂直平分线所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则

解法10：以D为坐标原点，DB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B（0，1），设A（-m，-n），C（m，n），m>0，n>0.

由于AB=AC，可得m2+（n+1）2=4m2+4n2.

通过从多个不同角度来处理，巧妙地把该题的底蕴充分挖掘出来，多角度出发，多方面求解，真正体现对数学知识的融会贯通，充分展现知识的交汇与综合，达到提升能力，拓展应用的目的.如何提升学生的解题能力，是每位老师思考的重要课题.经过理论和教学实践证明，一题多解是提高解题能力的有效途径.在呈现不同解法的同时，暴露思维过程，得以拓展与提升.进而真正达到在学中“悟”，在“悟”中不断提升解题技能.正如我国著名数学家苏步青先生说过：“学习数学要多做习题，边做边思索，先知其然，然后知其所以然.”