“积的变化规律”应用举例

石晟霖

“探索规律”是数与代数领域主要的教学内容之一，人教版小学《数学》四年级上册安排了“积的变化规律”：“两个数相乘，一个因数不变，另一个因数乘或除以几（0除外），积也乘（或除以）几。”

“积的变化规律”应用以填空题判断题选择题为主，三种题型可以互相变换下面列举几例，供大家参考

一、用积的变化规律填空中的应用

学生已学过三位数乘两位数的笔算，掌握三位数乘两位数的笔算算理和一般方法，灵活运用积的变化规律进行快捷计算是教学难点，因此，可能遇到下面的题目

例1根据15×24=360，直接写出下面各题的积。

15×72=（ ） 15×（24÷10）=（ ）

[分析]根据“积的变化规律”：“两个数相乘，一个因数不变，另一个因数乘或除以几（0除外），积也乘（或除以）几。”15×72与15×24相比较，15不变，72是24乘3得到的，因此积360也要乘3得1080； 15×（24÷10）与15×24相比，15不变，24这个因数除以10，积也要除以10，所以 15×（24÷10）=36

[练习]根据37037×3=111111，直接写出下面各题的积。

37037×6= 37037×9= 37037×15=

二、在周长公式中的应用

学生已学习过长方形、正方形周长公式：长方形周长=（长+宽）×2，正方形周长=边长×4。其中，长方形周长、正方形周长就是积，长与宽的和、边长、2、4都是因数，而且2和4是不变的因数。因此，会遇到下面的题目。

例1填空：正方形的边长扩大3倍，它的周长 。

[分析]因为“正方形周长=边长×4”，边长和4都是因数，正方形的周长是积，所以，根据“积的变化规律”，一个因数（4）不变，另一个因数（边长）扩大3倍，积（周长）就扩大3倍。答案是：扩大3倍。

[练习]请应用“积的变化规律”，试着解下面三道填空题：

1.正方形的边长缩小10倍，它的周长。

2.正方形的边长，它的周长扩大13倍。

3.正方形的边长，它的周长缩小15倍。

例2选择：长方形的长与宽同时（ ），周长扩大4倍。

A.缩小2倍B. 扩大2倍C. 缩小2倍D. 扩大4倍

[分析]因为“长方形周长=（长+宽）×2”， 长与宽的和与2都是因数，长方形的周长是积，所以，根据“积的变化规律”，一个因数（2）不变，另一个因数（长+宽）扩大4倍，积（周长）就扩大4倍。答案是：D.扩大4倍。想一想：长与宽同时扩大4倍，为什么就是长与宽的和扩大4倍？

[练习]请应用“积的变化规律”，试着解下面三道选择题：

1.长方形的长与宽同时（ ），周长缩小4倍。

A.缩小2倍B. 扩大2倍C. 缩小4倍D. 扩大4倍

2.长方形的长与宽同时缩小2倍，周长（ ）。

A.缩小2倍B. 扩大2倍C. 缩小4倍D. 扩大4倍

3.长方形的长与宽同时扩大2倍，周长（ ）。

A.缩小2倍B. 扩大2倍

C.缩小4倍D. 扩大4倍

二、在数量关系中的应用

在学习“积的变化规律”后，下一课时紧接着学习了“两种常见的数量关系”：单价×数量=总价、速度×时间=路程。在常见的数量关系式中，单价和数量、速度和时间是因数，总价、路程都是积。因此，可能會遇到下面的题目。

例1应用题：苹果5元3千克，香蕉10元2千克；妈妈打算买6千克苹果和4千克香蕉，应付多少钱？

[分析]苹果和香蕉的单价不变，买的数量发生了变化。苹果的数量由3千克增加到6千克，扩大了2倍。一个因素单价不变，另一个因素数量扩大2倍，它们的积--总价，也要扩大2倍，也就是5×2=10；香蕉的数量由2千克增加到6千克，扩大了3倍。一个因素单价不变，另一个因素数量扩大3倍，它们的积--总价，也要扩大3倍，也就是10×2=20.

答案是；5×（6÷3）=10（元） 10×（4÷3）=20（元） 10+20=30（元）

[练习]请应用“积不变的规律”，试着解下面这道选择题：

李老师带钱去买排球，可以买10个，如果买单价是排球一半的网球，可以买（ ）副。

A. 5 B. 10 C. 20

例2选择：一辆汽车从甲地开往乙地，如果速度扩大2倍，时间

（ ）

A. 扩大2倍 B. 不变 C. 缩小2倍

[分析]假设原来速度是每小时50千米，从甲地开往乙地需要4小时，甲地到乙地的路程就是200千米。现在速度扩大2倍就是每小时100千米，从甲地开往乙地需要2小时。时间从原来的4小时变成2小时，缩小了2倍。所以答案就是：C. 缩小了2倍。这实际上是应用了“积不变的规律”——“在乘法中，一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变。”

三、在面积公式中的应用

在学习“积的变化规律”时，已学过两种平面图形的面积公式：正方形面积=边长×边长，长方形面积=长×宽。在面积公式中，边长、长与宽都是因数，图形的面积是积。因此，可能会遇到下面的题目。

例1应用题：下面这块长方形绿地的宽要增加到24米，长不变。扩大后的绿地面积是多少？

[分析] 长方形的宽由8米增加到24米，扩大3倍，长不变，一个因素长不变，另一个因素宽扩大3倍，它们的积长方形的面积也要扩大3倍。这实际上是应用了“积不变的规律”。 答案是；560×（24÷8）=1680（平方米）

[练习]请试着解下面的选择题：

1. 长方形的长与宽同时扩大2倍，它的面积（ ）。

A.扩大2倍B.不变C.扩大4倍

2.长方形的长缩小4倍，宽扩大2倍，它的面积（ ）。

A.扩大2倍B.不变C.缩小2倍