中学统计素养的评估与启示——基于近5年浙江省中考题的分析

陈碧芬，Max Stephens，张维忠

(1.浙江师范大学 教师教育学院，浙江 金华 321004；2.墨尔本大学 教育学院，维多利亚 墨尔本 3010)

公民的统计素养的重要性，得到了越来越多的关注。我国义务教育阶段和高中阶段的数学课程均将“统计与概率”作为独立的内容领域，统计学也于2010年成为一级学科。这些都足见统计与概率的重要性。中考作为学生学习的重要评估载体，究竟考查了统计与概率的哪些内容？对学生提出了什么样的要求？对这些问题的探索不仅能反映中考“统计与概率”问题的现状，为积累命题的已有经验与改进命题提供线索，还能反映命题专家眼中关于“统计与概率中什么是重要的”这一问题的观点，为深化“统计与概率”领域的课程与教学改革提供启示。也正是基于上述目的，本研究对浙江省2013年至2017年12个地市的60份数学中考试卷中的“统计与概率”试题进行了分析与讨论。需要说明的是，浙江各市之间有联合统考的情况，即2个及2个以上地市的中考试题是同一份。这里是按市来统计的，即若两个市的试卷一样，统计时仍按2份试卷。

一、试题分析的理论框架

试题可以从考查的内容、认知要求等方面加以分析。中考作为初中阶段最为重要的评价方式之一，既要考查学生对课程标准所要求的数学学习内容的掌握情况，在考查内容上体现一定的覆盖面，又要体现一定的认知要求，以实现中考试题的区分度。另外，相较于其他学习领域，“统计与概率”与现实生活的关系更为紧密[1]，因此，将“统计与概率”的试题置于什么样的情境下加以考查也是非常重要的。

1.知识内容

试题的知识覆盖率，即试题中涉及的知识点数量占课标中的知识点数量的百分比，是检测试题内容效度的一个重要方面。内容效度不是一种量化的分析，主要是基于某种依据做出逻辑分析。试题知识内容应是考查内容的合理抽样，力求覆盖学科的重要基础知识。

由于中考试题是根据知识点与认知要求双向细目表选择或编制的，因此，本研究采用张维忠、陈虹兵的统计方法，即按最小的知识点进行统计，经他们统计发现：《课标(2011)》中初中学段“统计与概率”领域包括39个统计方面的知识点和7个概率方面的知识点。[2]根据同样的方法统计《课标(实验)》中此领域的知识点，发现其包括42个统计(抽样与数据分析)方面的知识点和7个概率方面的知识点。

2.认知水平

中科院院士、中国统计学会副会长陈希孺先生指出：“统计学是有关收集和分析带随机性误差的数据的科学和艺术。分析着重在数量化，而随机性的数量化，是通过概率表现出来，由此可以看出统计学与概率论的密切关系……大体上说，二者的关系是：概率论是统计学的理论和方法的依据，而统计学可视为概率论的一种应用。”[3]从基础教育的学习特点而言，统计学习是概率学习的载体与切入点，这也是许多基础教育研究者用“统计教育”一词来涵盖统计与概率两块内容的一个重要原因。Karatoprak等人认为，学校统计教育的结果包括三个不同的水平：统计识记、统计推理和统计思想。[4]因此，本研究将试题的认知水平也划分为上述三个层次，并参考Chance等人[5][6][7]的研究，具体包括如下内容：

水平1：统计识记。旨在考查学生对统计与概率基础知识与基本技能的掌握，包括对概念、术语、符号的理解，会计算描述集中趋势的量和刻画离散程度的量、事件发生的概率等，能够整理数据，用各种方式表征数据(如统计图或统计表)并能互相转化，会制作统计图表等。

水平2：统计推理。旨在考查学生是否能理解和解释统计过程，并能完全解释统计结果，包括在数据分析的基础上给出实际意义、说明结论的合理性或者做出推断。问题通常包括两个及两个以上统计概念之间的关系(如集中与离散)或者联系数据与概率之间的关系。这一类题已经有明确的推断工具，经过计算后，可得出结论。其最终目的并不在于计算，而是通过计算说明为什么是这个结论。

水平3：统计思想。旨在考查学生是否理解为什么及怎样做统计调查。具体包括：知道和理解整个调查过程(从问题提出到数据收集，再到数据分析及测试假设等)，理解如何使用模型来模拟随机现象，理解估计概率的数据是怎样产生的，知道如何、何时及为什么运用已有的推断工具，能够理解和利用问题情境，并能批判和评价调查过程或一个统计研究。

若一个题目(如解答题)是由两个及以上小题组成的，每个小题均作为一个独立的分析单元加以分析。

3.试题情境

Gal认为，大多数成人是统计信息的“消费者”而非“生产者”，报纸、杂志等公布的统计信息都会为了突出想要的结果而选择相应的收集数据、整理和处理数据及分析数据的方法。成人应能对各种情境中的统计信息、与数据相关的观点以及随机现象进行解释和批判性评价。[8]因此，有些信息必定会被“隐藏”起来，即情境中判断统计结果或统计推断的信息会不够充足或有干扰。对这种能力的要求在课标中亦有体现。如《课标(实验)》中提出，“能对数据的来源、处理数据的方法，以及由此得到的结果进行合理的质疑”；《课标(2011)》中提出，“了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法。”情境中信息的开放程度，对学生理解统计调查过程和统计结果等都会有影响。本研究根据情境的开放程度，将试题背景分为无情境、封闭性情境与开放性情境三种类型。无情境指的是脱离实际问题的单纯的数的研究，如给出一组数据，要求计算平均数等。封闭情境指的是有实际的问题情境，但所给的信息是解决问题所必需的、充足的、没有干扰的。开放性情境指的亦是实际的问题情境，但对于问题解决来说，信息要么是不够充分的，要么是有干扰性的，即需要读者在情境中选择或补充信息。

分析中，由本文三位作者在充分讨论分析框架的基础上单独操作，比对分析结果，一致性程度达到93.1%，这表明分析框架有效。然后就不一致的条目进行讨论，达成一致意见后形成最终数据。

二、分析结果

1.知识内容

表1给出了各地区知识点的年平均覆盖率及每年各地区知识点的平均覆盖率。知识点的年平均覆盖率最高的是舟山和嘉兴(29.2%)，最少的是温州(14.8%)，且所有地区的年平均覆盖率都在30%以下。再看每年各地区试题中知识点的平均覆盖率都低于30%，2017年的地区平均覆盖率最高(26.5%)，2016年最少(20.9%)，但每年相差不大。然而，葛慧、孔凡哲等人对10份省级中考数学试题的分析发现，知识覆盖率平均达到了83%[9]，这说明浙江省所有地市在“统计与概率”领域考查的知识覆盖率偏低。

表1 浙江省各地区试题知识点数量及平均覆盖率

表2 各知识点在60份试卷中考查的份数及所占百分比

进一步分析60份试卷中的各知识点发现(见表2)：所有试卷都有一题是关于“求事件发生的概率”的，涉及“用频数直方图解决实际问题”的有53份，“计算平均数(包括加权平均)”的有48份，“画频数直方图”的有40份，“用扇形图解决实际问题”的有39份，“样本估计总体”的有38份，“找出中位数”的有33份，“找出众数”的有23份，“频数分布表”的有22份，“计算方差”的有19份，“用折线图解决实际问题”的有18份，其他知识点都在10份以下。以上这些知识在概率方面考查最多的是用列表法或树形图计算事件发生的概率，即用列表法或树形图列出所有情况，再用“概率=所求情况数与总情况数之比”求事件发生的概率。但是，对概率的意义、事件、抽样等概念的考查很少。在统计方面主要涉及描述数据的方法及分析数据的方法、计算及作图技能，而对统计量意义与选择、根据结果进行预测、对日常生活中的某些数据发表自己看法等的考查很少。出现这些情况可能有几个原因：一是难评价，例如预测、发表观点等答案的主观性强，难以量化考核；二是篇幅限制，例如统计的内容需要真实的情境，字数较多，但是试题篇幅有限，容不下那么多的内容；三是难实施，例如统计概率中的重复性实验等。

2.认知要求水平

表3 各认知水平的试题数及百分比

从表3可以看出，考查的统计识记的题目占绝对优势(79.7%)，统计推理的试题次之(17.8%)，统计思想的试题最少(2.5%)。可见，试题主要考查统计的基础知识与基本技能的掌握。这可能与统计推理和统计思想相对难以考查有关，但也在一定程度上反映出出题者认为的“统计与概率中什么是重要的”观念，即基础知识和基本技能是学生应该掌握的、重要的内容。

从表3还可以发现，2015年统计思想的试题(5.5%)稍高于其他年份，可能与《课标(2011)》中明确提出了“数据分析观念”这一核心概念后第一年中考有关。与《课标(实验)》中的“统计观念”相比，《课标(2011)》更明确地强调了“了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法”，即不仅要知道有多种分析数据的方法，还强调对方法的“选择”。2015年3道试题中的两题为“用适当的方法预测嘉兴市2015年社会消费品零售总额”(有两个地区的试题是一样的)，一题为“在端午节到来之前，学校食堂推荐了A、B、C三家粽子专卖店，对全校师生爱吃哪家店的粽子做调查，以决定最终向哪家店采购。下面的统计量中，最值得关注的是( )”。前两题是选择什么样的数据分析工具由样本来估计总体，后一题是在具体情境中如何选择合适的统计量。

3.试题情境

表4 各类情境的试题数及百分比

从表4可以看出，大多数题目(89.9%)都是有情境的，但是也有不少试题(10.1%)是缺乏情境的，也没有出现开放性情境的试题。进一步分析发现，如“数据-2，-1，0，1，2的方差是( )”这样无情境的试题每年都有。除此之外，所有的试题都可以从情境中找到足够的、没有干扰的相关信息，从而得到明确的答案。如：

小明随机调查了若干市民租用公共自行车的骑车时间t(单位：分)，将获得的数据分成四组，绘制了如下统计图。 请根据图中信息，解答下列问题：

(1)这次被调查的总人数是多少？

(2)试求表示A组的扇形圆心角的度数，并补全条形统计图；

(3)如果骑自行车的平均速度为12 km/h，请估算，在租用公共自行车的市民中，骑车路程不超过6 km的人数所占的百分比。

图1 公共自行车骑行情况统计图

此题明确了数据收集的方法是“随机调查”；给出的处理数据和描述数据的方法是：将获得的数据分成四组，并绘制了频数直方图和扇形统计图；最后要求回答三个问题：第1题解答主要应用频数与频率，将条形图中B组的数据与扇形图中B组的百分比联系起来即能解决问题；第2题应用的统计知识也是频数与频率，根据第1题得到的调查总人数，结合频数直方图中A组的数据就可以得到相应的百分比，再结合圆心角知识就可以解决；由于知道调查总人数及其他三个组的人数，C组的人数很容易可以知道，再补全频数直方图即可；第3题的解答所需要的信息，题中也非常明确，首先根据路程与速度的关系，可以得到满足要求的骑车时间范围，再结合扇形图或频数直方图的数据，即可得到答案。这3个问题的解答都能在题目中找到相关的、足够的信息，题目中的信息对问题的解决没有干扰。

没有开放性情境的试题可能是因为开放性情境需要学生对数据进行选择或补充，而不同的选择方法会得到不同的结论。闭卷考试也不允许学生通过查找资料等方式来补充信息，这对学生答题和量化考核来说都是难点。另外，无情境的和封闭性情境的试题更多考查的是学生的统计基础知识和基本技能，难以考查其统计观念或数据分析观念。这可能也是导致统计推理和统计思想的试题在中考中较少出现的原因。

三、启示

分析近5年的试题发现，各年试题在知识内容、认知要求及情境设置上，整体上没有太大的差异。每年的试题都考虑了课标中的重要知识点，如描述数据与分析数据的方法；考虑了不同认知要求水平的试题，但基本上处于低认知要求水平；大多试题包含了情境，但无情境的试题也不少，且没有开放性情境的试题。基于以上分析，未来统计素养的评估至少需关注以下方面的问题：

1.命题应关注对核心内容要素的考查

Niemi等指出，在建构有效的评价体系时，试题的内容应基于课程标准，并至少要覆盖课程标准知识领域中的核心观念(big ideas)和重要原理法则(key principles)。[10]数学评测内容应是具有良好结构的知识、应用性较强的概念和原理，能够体现学生的知识水平和理解能力，而不是偏重记忆、零散枝节的知识。两个版本课标的内容标准都规定了每一领域具体的核心内容要素。《课标(实验)》中特别提出了要培养学生的“统计观念”，且规定抽样的必要性、样本估计总体、描述数据的方法、概率的意义及简单事件发生的概率等，是初中阶段学习的主要内容。《课标(2011)》中提出了核心概念“数据统计观念”，并且认为统计与概率的主要内容为“收集、整理和描述数据，包括简单抽样、整理调查数据、绘制统计图表；处理数据，包括计算平均数、中位数、众数、方差等；从数据中提取信息并进行简单的推断；简单随机事件及其发生的概率。”因此，评价考查时应尽量做到覆盖这些知识内容。

从试题分析看，试题考查的知识点主要集中于描述数据与处理数据的方法、求简单事件的概率等统计知识与技能上，对抽样、统计方法的意义及选择、在数据基础上的推断、简单随机事件及概率的意义等方面考查较少。因此，今后命题应尽可能覆盖《课标(2011)》中的核心内容。考虑到试卷容量的有限性，可以将一些知识点整合到一个题目中。比如，在计算一组数据的平均数后，可以要求学生给出其实际意义等。

2.命题应更关注对统计推理与统计思想等高认知水平的考查

评价应反映统计学科的价值，比如应强调数据及数据探索而非数学计算。[11]统计学的基本思路是：根据所关心的问题寻求好的方法，对数据进行分析和判断，得到必要的信息去解释实际背景。[12]根据这一思路，首先，统计学往往要问的是“采用的方法是不是有道理，是不是还有更为合理的方法”，这是统计思想。其次，需要运用分析得到的信息去解释实际背景，这是统计推理。因此，有关统计的学习和评价，除了应包含统计识记外，还应该包含统计推理和统计思想。

在《课标(实验)》的内容标准中提到：根据具体问题，能选择合适的统计量表示数据的集中程度；根据统计结果做出合理的判断和预测，体会统计对决策的作用；对日常生活中的某些数据发表自己的看法。《课标(2011)》中提到：理解平均数的意义；能解释统计结果，根据结果做出简单的判断和预测。这些表述说明，初中阶段的“统计与概率”课程应包含统计推理和统计思想。因此，中考中应有适当的试题考查统计推理和统计思想。

然而，在试题分析中发现，大多数题目的重心主要在于数学计算，如计算(加权)平均数、众数、中位数、方差(标准差)等，很少有试题要求在计算统计量后说明其实际意义，或者要求学生根据问题情境选择合适的方法，或对结果进行合理性解释等。进一步说，若中考考查的重点放在技能、程序和计算上，那么教师的教学重点甚至是全部精力就会放在技能、程序和计算上。然而，这些并不能提高学生的统计推理和思考能力。[13]实际上，在试题中体现统计推理和统计思想并不是很难。比如，在编制考查学生统计量计算的试题时，可以根据实际情境让学生选择合适的统计量，或者要求学生解释统计量在实际问题情境中的意义等。

3.试题情境的设置应增加开放性情境

相比其他领域来说，统计和概率与现实生活的联系更为密切，而且学生必须在情境中才能理解统计结果。[14]史宁中也指出，脱离实际问题的单纯的数的研究是数与代数的内容，不是统计的内容。[15]《课标(实验)》也强调：对基础知识和基本技能的考查，要注重考查学生对其中蕴含的数学本质的理解，考查学生能否在具体情境中合理应用。但从试题分析中可以看到，10%左右的试题是没有情境的、单纯统计量的计算题。

其他的有情境的试题中蕴含的信息足以解决问题，且没有干扰的信息。实际上，现实中的很多情境根据发布者的需要对信息是有删减的。如招聘广告上的信息：本公司月平均工资3000元，如果有加班的话，月平均工资会达到5000元以上。这两个数据对应聘者来说是有干扰的，首先用平均数来说明工资情况是否合适；其次，是否每个职工都有加班的机会。但这些问题的解决对初中学生来说只要理解平均数在实际问题中的意义即可，这是课标的要求。

数学中考作为义务教育阶段的总结性评价，各界人士都非常重视，也被称为初中数学教学的“指挥棒”。有很多教师都反映：由于中考中“统计与概率”题目基本上都是这几种情况，所以在教学的时候只要把几种题型都练习到，学生在这个领域得分还是比较容易的。“统计与概率”的试题考查内容、认知要求、形式等会直接影响教师的教和学生的学。因此，在命题时，应该考虑到统计学科本身的特点，体现统计学科的价值。