直观想象素养的内涵与结构探究

吴立宝，刘哲雨，康 玥

(1.天津师范大学 教师教育学院，天津 300387；2.天津师范大学 教育科学学院，天津 300387；3.天津市南开中学，天津 300100)

《普通高中数学课程标准(2017年版)》(简称《课程标准(2017年版)》)明确提出“数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析”六大核心素养。[1]笔者从数学三大特征的视角探讨这六大核心素养的层次关系[2]，只有正确认识和把握数学学科核心素养的内涵和结构，才能在数学教学中更好地培养学生的数学核心素养。本文以直观想象素养为切入点，展开数学学科核心素养探究，探讨直观想象素养的内涵与结构，旨在促进学生养成直观想象素养，从而整体提高数学学科核心素养。

一、直观想象素养：历史脉络与价值意义

1.直观想象的历史脉络

20世纪60年代，我国中小学数学教育便形成了以“双基”(基础知识和基本技能)和“三大能力”(运算能力、空间想象能力、逻辑思维能力)为基础的优良教育传统。2003年，《普通高中数学课程标准(实验)》(简称《课程标准(实验)》)明确提出五大能力：空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力。[3]空间想象能力既属于20世纪60年代“三大能力”范畴，又属于21世纪“五大能力”范畴，凸显出其在学生数学素养体系中的重要价值。

2012年初，教育部颁布的《义务教育数学课程标准(2011年版)》(以下简称《课程标准(2011年版)》)明确指出：“在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。……还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。”[4]马云鹏教授认为，《课程标准(2011年版)》中提到的这10个关键词就是义务教育阶段学生所必须具备的数学学科核心素养。[5]“空间观念”与“几何直观”的价值得到充分认可。

《课程标准(2017年版)》提出的“直观想象”这一数学学科核心素养，来自“空间想象能力”，是对《课程标准(2011年版)》中的“空间观念”与“几何直观”两个关键词的新发展，具体体现在《课程标准(2017年版)》中对直观想象的描述：“直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养。”

从《课程标准(2017年版)》的描述中，可以发现“几何直观”“空间想象”“空间形式”“图形”等关键词，这显然是从几何学的视角来描述直观想象的。从直观想象素养的外延来看，《课程标准(2017年版)》突出强调借助空间形式，来认识现实世界事物的位置关系、形态变化与运动规律；突出利用几何图形来描述、分析和解决数学问题；强化建立形与数的联系，从而构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。因此，在《课程标准(2017年版)》中，无论是直观想象的内涵还是外延，均呈现出显著的几何特征。

2.直观想象的价值意义

“直观想象”作为数学学科六大核心素养之一，与数学学科其他核心素养(数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算和数据分析)的关系非常密切。数学抽象、逻辑推理与数学建模等数学学科核心素养，在其形成过程中均离不开直观想象素养。直观想象是学生进行数学推理和构建抽象数学结构的思维基础，有利于学生形成数学运算、数据分析与逻辑推理的思路。直观想象是构建抽象的数学结论和进行逻辑推理的思维加工机制，是现实世界通向数学结论的桥梁，是不同数学结论之间的重要通道，更是数学结论回到现实世界的人类智慧纽带。

若缺少直观想象素养，则难以获得抽象的数学知识；没有直观想象，就难以有数学高度抽象的概念命题。数学直觉的产生与顿悟，是以直观想象为中介的，直观想象是横亘现实世界与数学之间的不可或缺的桥梁。

二、直观想象素养：概念分析与内涵延拓

基于前文对直观想象进行的历史溯源和文献分析，结合《课程标准(2017年版)》中对直观想象的表述，延拓直观想象的操作性定义，初步探讨直观想象素养的形成过程与心理加工过程。本研究可为贯彻《课程标准(2017年版)》与数学学科核心素养的实施落地提供参考。

1.直观想象的概念分析

《课程标准(2017年版)》的“直观想象”含有两个关键词：“几何直观”和“空间想象”。“几何直观”主要是指利用图形进行问题的描述和分析，“空间想象”是指通过直接感知周围环境，学生得到对二维平面和三维空间图形及其性质的理解。在高中阶段，更加强调空间几何图形之间的相互关系、图形变换以及坐标表征。从这里可以看出，学生直观想象素养的形成，需要依托空间形式特别是几何图形，进行数学化的思考和想象。

《课程标准(2017年版)》指出，直观想象素养的本质是基于几何图形展开想象的思维能力，其作用主要体现在感知事物的空间形态与变化，尤其是事物之间的位置关系与运动规律。描述中将直观想象更多指向了几何领域，而非整个数学领域。“图形与几何”或“几何”只是中学数学内容的一部分，并且，由于不同学段、不同领域的数学内容都蕴含着直观想象元素，把直观想象仅仅局限于几何领域是不够的，需要对其概念进行延拓。

2.直观想象的内涵延拓

数学形象思维的基本形式主要有三种：数学表象、数学直感与数学想象。直观想象属于数学形象思维的范畴，是运用形象思维来理解和解决数学问题的一种素养。基于数学思维的视角和前文的分析，笔者用数学形象思维来界定数学直观想象素养。直观想象，是指学生个体借助头脑中的已有数学表象去感知事物的形态与变化，运用数学形象思维产生新的数学表象的过程。

依据不同的数学表象形式，直观想象可以分为图形直观想象和图式直观想象。图形直观想象侧重于几何领域知识，与《课程标准(2017年版)》对直观想象的界定基本一致；图式直观想象侧重于代数、分析、概率、统计等领域知识。换句话说，直观想象是基于已有的数学表象和数学直感，运用形象思维来解决数学问题的综合能力。

3.直观想象的形成过程

直观想象的形成过程分为两个阶段：数学直观阶段和数学想象阶段。

(1)数学直观

人们通常通过接触现实世界客观事物而获得的感性认识，这具有一定的局限。[6]也就是说，通过对现实世界客观事物的直接接触，获得的感性认识可能是本质的，也可能是非本质的。在胡塞尔哲学中，直观是本质性的。在由感性直观向范畴直观的扩展中，发挥奠基作用的是本质性的直观，而不是一般的感性认识。由生动的直观发展到抽象的思维，是认识事物的真实过程。直观想象素养的数学教学，对数学直观的内涵理解与胡塞尔对直观的内涵理解是一致的，都认为“直观是本质性的”。

从学习内容来看，数学直观分为图形直观和图式直观两部分，前者侧重于几何领域，后者侧重于代数、统计与概率等领域；从学习层次来看，数学直观分为数学表象与数学直感两部分。数学表象是学生头脑中已有的各种数学图像、数学图表、数学图形、数学概念以及数学符号等。这些已有的数学表象都可以作为学生学习新知识、解决新问题的“直观”。我们对数学表象的认识与理解不应该是封闭的、静止的，而应该是动态的、发展的。作为独立存在的个体，每位学生都有不同的发展需求和不同的智慧特征，其头脑中所形成的数学表象必定是有差别的。

一方面，数学表象的形成依赖于学生“现实生活”所接触的“最佳原型”。最佳原型的表现形式是多种多样的，例如借助教育技术领域的多媒体画面展现生动的数学原型[7]；另一方面，数学表象的形成还可以借助学生头脑中已有的数学概念及结构关系完成再造表象，如“珠算式脑算法”利用珠算形象在脑中浮现进行脑算的方法。珠算式脑算法也是数学表象思维方法在现实中运用的范例，而算盘就是“脑算法”的最佳原型。依据学情，强化对数学概念及结构关系的现实生活最佳原型的探寻，是形成数学表象和直观想象素养的先决条件。

学生基于已有的数学表象，对有关数学表象或者问题的特征判别，就是数学直感。数学直感属于形象思维，与数学抽象思维不同，数学形象思维的判断活动不必以数学概念为中介，甚至不必以数学语言为中介，只需要将头脑中的一般数学表象与具有对应特征的事物的感性映象进行比较，并快速直接地做出判别；有时甚至直接跳过想象阶段，是显性意识的加工行为。

(2)数学想象

想象就是对过去经验和已有记忆表象的加工改造，利用原有的表象构成新意象或观念的心理过程[8][9]，想象是人脑对已有表象进行加工改组，形成新形象的心理活动[10]，是思维的一种特殊形式，接近通常所说的“形象思维”。[11]综上所述，数学想象的共同特征包括：数学想象是基于已有的数学表象的心理过程；数学想象是经过加工改造形成新的数学表象的过程。因此，数学想象就是在学生的头脑中对已有的数学表象经过整合与重构，产生新的数学表象的思维过程。

数学想象，以数学表象为基本材料，以数学直感为基本手段，以形成新的数学表象为加工结果。数学想象是数学表象与数学直感在头脑中的有机融合，是对数学表象的特征推理。这种特征推理是似真推理(或合情推理)的基本成分，它与逻辑推理不同。逻辑推理是一种按照逻辑规律的严格推理，基于大家公认的一些事实和命题，按照逻辑规则推演出一个新命题的思维过程。[12]而数学想象是一种不严格的推理，或者说是一种形式相似的推理，其结果不一定都是正确的，因此数学想象的结论需要进一步验证。数学想象的结果是形成了新的数学表象，因此数学想象意味着新发现，是形成学生创造性思维的重要环节。

对应上文中的数学表象分类，数学想象也可分为图形想象和图式想象。图形想象就是以空间形象直感为基础，对数学图形表象进行加工与改造，反映为事物数量关系的几何表征。图式想象是以学生头脑中的数学直感为基础，通过对数学图表与模式表象的加工与改造，完成对数学图表与模式进行的形象特征推理的过程。图式想象的关键在于抓住数学对象的结构框架进行形象特征推理。数学直感是这种推理的基本成分，具体包括图式的识别、补形、相似和转换，甚至也包括事物数量关系的解析表现。图式想象涉及的范围很广，它通常与逻辑推理共生并存，同时又是逻辑推理的先导。中小学数学教学中常用的“数形结合法”，其本质为图形想象与图式想象相结合，体现了直观想象的核心内涵。随着教学媒体的发展，多媒体教学软件可以动态演示数学想象的过程，生动创设数学想象的情境，为学生创造更多的参与观察和归纳的机会，最终辅助学生形成数学猜想，获得顿悟。[13]

三、直观想象素养的结构模型

在分析直观想象素养形成过程的基础上，构建出基本结构模型：现实生活原型→数学表象→数学想象→新的数学表象(如图1所示)，包含四个层次，形成了三次直观，且层层递进。第一层次为现实生活原型，这是直观想象的起点，蕴含徐利治先生提出的“返璞归真”的思想，他认为了解一种理论的最好方法是找出研究那种理论的具体原型[14]，即寻找最佳案例，然后以例带类，处于单一具象特称判断阶段。第二层次是基于现实生活原型的数学表象，属于原型直观阶段，此时尚未脱离现实生活原型，处于多元具象特称判断阶段。第三层次是基于原型直观形成的数学表象，借助数学直感、再造想象，然后展开数学想象，属于表象直观阶段，处于构想具象特称判断阶段。第四层次是保留想象最本质的特征，并形成新的数学表象，这是直观想象的最高级形式，处于抽象全称判断阶段。

图1 数学直观想象的层次分析图

在中小学中，数学归纳推理就是数学直观想象的典型范例，即单一具象特称判断(个别地看)、多元具象特称判断(重复地看)、构想具象特称判断(想象地看)、具象全称判断(抽象地看)、抽象全称判断(一般地看)。[15]数学直观想象是归纳推理与逻辑推理的紧密结合，是从形象思维到逻辑思维的跨越，是顿悟的过程。从单一具象特称判断到多元具象特称判断，从多元具象特称判断到构想具象判断，从构想具象特称判断到具象全称判断，构成了第一次直观，即原型直观阶段。基于原型直观形成的具象全称判断，借助数学直感进一步一般化，进入抽象全称判断阶段，形成了第二次数学直观，即表象直观阶段。在此基础上，借助想象，最终形成新的数学表象，这是第三次数学直观，即想象直观阶段。

在数学课堂教学活动中，对学生直观想象素养的培养，有利于学生养成正确运用图形、图表和模型来思考现实问题的习惯，有利于提升数形结合的能力，更有利于形成借助图形、图表和模型完成分析、推理和论证的综合能力。借助直观想象素养，学生可以掌握发现问题、分析与解决问题的能力，即实现数学的深度学习[16]，有助于深刻体会数学的创造过程，强化数学创新能力，形成逻辑思维能力，提升空间想象能力，最终实现数学的学科核心素养。

本文通过梳理直观想象发展脉络，基于《课程标准(2017年版)》关于直观想象的表述，将直观想象的内涵进一步延拓到整个数学领域，构建出直观想象的结构模型，为数学直观想象素养的测评提供了重要的参考。[17]教师应基于现实生活原型，培养学生的直观想象素养，进一步增强学生运用数学直观和数学想象思考问题的意识，提升了数形结合的能力，使学生更加深刻地感悟数学的本质，逐步形成数学创新意识、数学创新能力、数学创新思维与数学创新精神。