基于序列线性规划的雷达低峰均比估计波形设计

郝天铎, 崔 琛, 龚 阳, 孙从易

(1. 国防科技大学电子对抗学院, 安徽 合肥 230037; 2. 中国人民解放军96630部队, 北京 102206)

0 引 言

波形设计是雷达的关键技术之一。在进行面向参数估计的波形设计时,现有大部分方法均在频域[1-3]进行研究,很难直接对波形包络加以约束,从而无法兼顾放大器的非线性特性导致发射波形失真,无法发挥雷达发射机的最大效能,所以实际系统中还必须考虑波形的低峰均比(peak-to-average power ratio, PAR)或者恒模约束[4]。然而,恒模波形虽然是一种理想的发射波形,但其自由度较低,与恒模波形相比,能够同时兼顾估计性能和雷达功率放大器的非线性特性[5-6]。因此,基于时域的低PAR估计波形更加符合实际工程需求。

现阶段,只有少量文献对该问题进行了研究[4-6]。文献[4]基于最小均方误差(minimum mean square error,MMSE)准则[7],在PAR约束下对信道参数进行了估计,但其并未考虑信号相关杂波的影响。文献[8]在信号模型中加入了信号相关杂波,基于最小克拉美罗界(Cramer-Rao bound,CRB)准则对目标散射系数进行估计,但其假定发射波形和杂波协方差矩阵的卷积项是固定不变的,而实际中由于发射波形是不断迭代更新的,所以卷积项也是不断变化的。文献[9]基于最大互信息(mutual information,MI)准则[9],在频域模型加入信号相关杂波,采用时频域转换的方法,将频域所得能量约束下的最优波形转化到时域进行PAR波形设计,由于频域波形不含相位信息,从频域变换到时域后会带来估计性能的下降。在信号相关杂波背景下,以上文献均无法直接在时域合成低PAR估计波形,这主要是由于所求优化问题是一个较为复杂的非凸问题,很难将其转化为凸问题进行求解。

针对上述问题,本文引入序列线性规划(sequence linear programming, SLP)的思想,用线性形式拟合原优化问题的目标函数和约束条件,实现了非凸问题向凸问题的转换,在信号相关杂波背景下直接在时域合成了低PAR估计波形。仿真实验验证了本文理论分析的正确性和算法的有效性。

1 信号模型

本文主要考虑相关杂波条件下针对扩展目标估计的波形设计问题。目标的散射特性用目标冲激响应(target impulse response, TIR)表示[10],相关杂波用杂波冲激响应(clutter impulse response, CIR)表示[11],主要在时域对离散的时间信号进行分析,信号模型如图1所示。

图1 相关杂波下的信号模型Fig.1 Signal model

图1中,s∈CNs×1代表发射波形,其长度为Ns;t∈CNt×1和c∈CNc×1分别代表TIR和CIR,根据文献[12]的雷达信号模型,令TIR和CIR长度相同,即Nt=Nc;n∈CNn×1代表噪声和干扰的总和,Nn=Ns+Nc-1,x代表来自目标和环境的回波,其长度Nx=Nn。该模型可表示为

x=t*s+c*s+n=Ts+Cs+n=

St+Sc+n=st+sc+n

(1)

(2)

本文假定噪声向量n服从均值为0,协方差矩阵为单位阵的复高斯分布,同时假定TIR和CIR均为复高斯随机向量,其中,t～CN(0Nt,Rt),c～CN(0Nc,Rc),Rt∈CNt×Nt,Rc∈CNc×Nc。

2 波形设计方法

2.1 基于互信息方法的问题描述

本文以回波和目标之间最大化互信息为优化准则进行波形设计,互信息越大,估计越精确。考虑前述对噪声、TIR和CIR的假设,并假定三者相互独立,则目标t和回波信号x的互信息可表示如下[13]

I(x;t|S)=h(x|S)-h(x|t,S)

(3)

式中,h(x|S)代表发射波形Toeplitz矩阵S已知时回波信号的熵；h(x|t,S)代表S和TIR均已知时回波信号的熵。当S已知时,TIR和回波信号服从联合高斯分布,且满足

(4)

令Rx=SRtSH+SRcSH+Rn,有

(5)

则可得

ln det(SRtSH+SRcSH+Rn)+Nxln π+Nx

(6)

ln det(SRcSH+Rn)+Nxln π+Nx

(7)

把式(6)和式(7)代入式(3)中,可得

I(x,t|s)=ln det[INx+SRtSH(SRcSH+Rn)-1]

(8)

应用矩阵求逆引理[14],于是式(8)变为

I(x;t|S)=ln det{INt-Rt[AB-1A-A]}

(9)

(10)

假设噪声、TIR和CIR均为广义宽平稳随机过程,则Rt和Rc[15]可分别表示为

Rt=UΣtUH

(11)

Rc=UΣcUH

(12)

式中,Σt=diag(λt,1,…,λt,Nt),Σc=diag(λc,1,…,λc,Nc),它们的对角元素代表目标和杂波功率谱密度的采样,酉矩阵U可表示为

∀k,l∈(1,Nt)

(13)

同理,有

Rn=VΣnVH

(14)

式中,Σn=diag(λn,1,…,λn,Nn)代表对噪声功率谱密度的采样;V也为酉矩阵。把式(11)、式(12)和式(14)代入式(10)中,可得

ln det{INt+Σt[Σc+(ZHZ)-1]-1}

(15)

(16)

式(16)也可通过文献[17]的引理2得到,其中Λs=diag(λs,1,…,λs,Nt),则互信息表达式可变为

(17)

至此,对时域上TIR和回波信号的互信息表达式进行了推导简化,可以看出,式(17)与频域上的互信息表达式较为相似。接下来将引入能量和PAR约束对时域发射波形进行求解。

2.2 低PAR估计波形设计

不失一般性,设发射波形的最大能量Ps=Ns,则PAR可定义为

(18)

式中,sk为波形向量s的第k个采样。在加上PAR约束后,要求每一个发射波形元素sk的能量都小于某一固定的PAR值,即

|sk|2≤μ,μ∈[1,Ns]

(19)

(20)

(21)

(22)

问题P′的不等式约束虽然变为一个凸集,但目标函数却是非凸的,因此对该问题求解较为困难。此时,可引入SLP的思想对其进行求解。

2.3 引入SLP方法的问题求解

SLP是一种将非线性规划问题转化为线性规划问题的研究方法。在实际优化过程中,由于其理论简单、易于实现的特点被广泛应用,在凸规划问题中用线性形式拟合目标函数和约束不等式方程方面均有很好的表现[18]。SLP的主要思想是通过泰勒公式,在初始值x(0)处对非线性目标函数和约束条件进行一阶展开,略去二阶和二阶以上的高阶项,实现非线性问题中目标函数和约束条件的线性化处理,并通过求解该线性规划问题逼近原始问题的解[19]。设非线性函数为f(x),在x(0)处的泰勒展开式为

f(x)≈f(x(0))+f′(x(0))(Δx)

(23)

在该问题的约束条件下,通过对式(23)进行求解,可以得到此方程的最优解x(1),接着将目标函数在x(1)处展开

f(x)≈f(x(1))+f′(x(1))(Δx)

(24)

以此类推,可得SLP的通式为

f(x(n))≈f(x(n-1))+f′(x(n-1))(Δx)

(25)

对式(25)不断求解更新,直到满足收敛条件即可得到最优解x(n)。

然而,SLP有一定的适用范围,即新的设计点与原设计点的距离Δx不可过远,否则高阶项不可忽略。当Δx较小时,近似精度高,但优化速度慢;当Δx较大时,优化速度快,但近似精度低,将会使近似函数偏离原始函数。因此,选择合适的Δx尤为重要,在后面的方法设计中,对Δx的设定范围要尽量合理,使得近似函数在靠近原函数的同时尽可能收敛到全局最优值。综上所述,由于序列线性规划算法对于求解工程中的非线性问题有着很好的效果,本文采用SLP的思想,对目标函数进行一阶展开,将原始问题转化为一个凸问题进行求解。

2.3.1 初始值求解

首先,进行初始值的求解。为了求得一个较好的初始极值,可以将约束条件中的不等式约束变为等式约束,采用拉格朗日法进行求解。然而,第二个约束条件为PAR约束,若μ>1,则变为等式约束后会使发射波形的总能量超过限定的最大能量,所以在这里可以先略去第二个不等式约束,只将第一个不等式约束条件变为等式约束,优化问题变为

(26)

(27)

(28)

2.3.2 目标函数优化

(29)

(30)

2.3.3 波形向量的逼近

在问题P2的求解过程中,并未对S进行Toeplitz矩阵结构(见式(2))的约束,因此优化波形矩阵Sopt并不一定满足信号模型中的Toeplitz矩阵结构,还需要对其进行Toeplitz矩阵逼近后才可求得发射波形的向量解。这里采用最小F-范数的方法来逼近波形向量,有

(31)

d-sHg-gHs

(32)

(33)

综上,为了得到满足低PAR要求的发射波形向量,需引入SLP的思想,将非线性优化问题转化为线性问题,快速求解出近似的波形向量,便于实际工程应用。设门限值为τ,最大迭代次数为κ,优化算法的步骤可总结如下。

3 算法性能分析

3.1 算法收敛性

在步骤2迭代的过程中,记第k次迭代得到的低PAR波形矩阵为S(k),记问题P2的目标函数值为I2(S(k)),记原始问题P的目标函数值为I(S(k))。通常对于SLP问题而言,I2(S)是单调收敛的。由于问题P2是问题P的近似,所以不能保证I(S)也是单调的。但是,随着k的增加,S(k)会逐渐趋近于原始问题的最优解,这就保证了I(S)最终会收敛趋近于最优值。因此,虽然不能确保I(S)每一步都是单调递增的,但其总体趋势可以认为是收敛的。由于要证明I(S)的收敛性较为困难,因此,通过仿真实验对其收敛性进行了验证。

此外,在步骤3的逼近过程中,主要针对优化结果进行逼近,而不是针对目标函数逼近。因此,对于非线性程度较高的目标函数,逼近结果不一定能够保证目标函数取到最优。以图2为例,图中是一条随机的非线性曲线,若sopt处于图中目标函数的凹区间,虽然其针对结果的逼近误差比图中实线框内的波形向量要小,但由于约束条件和目标函数非线性的原因,使得目标函数值反而变小,导致F-范数逼近方法效果变差。但是在一般情况下,该逼近方法不失为一种波形优化途径,可认为其是一种次优化方法。

另外,为得到较好的波形向量,在问题P2中直接加入对S的Toeplitz约束条件,通过智能搜索算法也可以得到较为理想的优化结果,但这种方法将使得优化问题的求解耗费更长的时间。

图2 非线性程度较高的目标函数示例Fig.2 Example of objective function with high degree of non-linearity

3.2 算法复杂度分析

4 仿真实验与分析

图3 目标和杂波功率谱密度采样Fig.3 Power spectral density of target and clutter

4.1 实验1:算法有效性验证

图4 问题P和P2的收敛性比较Fig.4 Convergence comparison of P and P2

图5 不同波形估计性能对比Fig.5 Estimation performance comparison of different waveforms

从图5可以看出,采用逼近方法得到的满足Toeplitz矩阵结构的发射波形的估计性能比最优波形略差,但其估计性能仍然优于文献[6]和常用波形,这是由于文献[6]的最优频域波形不含有相位信息,从频域变换到时域时会带来估计性能的下降。此外,目标与回波之间的MI随着能量的增大而增大,随着CNR的增大而减小,在低CNR时(CNR≤20)本文方法产生的优化波形性能要优于常用波形,并且当杂波的能量达到一定门限时(CNR=30),MI会变为零,接收端几乎得不到关于目标的信息。

图6将本文算法与文献[6]算法的耗时进行了比较,可以看出,在相同波形长度下,经过一定的迭代收敛后,本文方法与文献[6]的运算量较为接近,当波形长度小于103时,两种方法的耗时均较小;当波形长度大于103时,两种方法的耗时均比较大,不利于实时信号处理。因此,本文算法适合序列码长相对较短的波形。

图6 不同算法的运算量对比Fig.6 Run-time of different algorithm

4.2 实验2:算法性能与PAR之间的关系

图7给出了不同PAR约束下,最优波形和满足Toeplitz结构的优化波形的互信息取值。可以看出,随着μ的增大,问题P2的可行解区域逐渐变大,因此所求波形的估计性能也有所增强。当μ≥3时,所设计波形的互信息非常接近能量约束下的最大互信息值。此外,由于进行了波形矩阵的逼近,最后得到优化波形向量的互信息相比于最优波形有轻微的减少。

图7 互信息与PAR的关系Fig.7 Mutual information versus PAR

图8为不同PAR下满足Toeplitz结构的优化波形实部和虚部的表示。μ=Ns代表能量约束下的波形,此时图中对应点的分布半径较大,表明波形幅度起伏较大,不能保证所设计波形的恒模特性,不利于实际应用。当μ=1时,产生的点位于单位圆上,是恒模波形,当μ=2时,图中点的分布半径比恒模波形略大,估计性能要更强。

图8 不同PAR波形的实部和虚部Fig.8 Real and imaginary parts of different PAR

4.3 实验3:算法性能与距离量Δλ之间的关系

图9 距离区间对SLP算法性能的影响Fig.9 Influence of distance intervals on performance of SLP

图9(a)给出了不同距离Δλ对SLP算法的影响,I代表原始函数的互信息取值,I2代表采用SLP算法后的一阶近似函数的互信息取值,而最优值通过注水法得到。从图9中可以看出,当Δλ取值区间较小时(η≤10-1),由于收敛速度较慢,每次迭代后函数值几乎无变化,因此最终经过κ次收敛后得到的I和I2的取值也并没有收敛到最优值;当η=4时,I可以收敛到最优值并且I与I2的取值非常接近;当Δλ取值区间较大时(η≥10),收敛速度较快,但容易收敛到局部最优值,并且此时原始函数和一阶近似函数相差较大,因此图9(a)中I和I2的值也相差较大,同时,可以注意到,此时的I和I2分别收敛到一个固定值,这是因为当η大于一定门限时,Δλ的最优值也将收敛到一个固定值Δλopt,图9(b)给出了Δλopt随的变化曲线图,纵坐标代表Δλopt的F范数取值,可以看出,当η≥10时,Δλopt收敛到一个固定值。

5 结 论

为了提高雷达发射机的效能,避免放大器的非线性使发射波形失真,提出了一种信号相关杂波条件下雷达低PAR估计波形设计方法,在能量与PAR的双重约束下,追求互信息的最大化。从时域角度出发构建了问题模型,引入序列线性规划的思想将非凸优化问题转化为一个凸问题进行研究,并基于F-范数对最优矩阵波形进行逼近,从而求得优化波形向量。本文方法在给定的低PAR区间内可有效求解得到估计波形。在算法运算量相同的情况下,与现有方法相比,所提方法产生的波形具有更好的估计性能。