传输线教学中关于复数阻抗负载反射系数的修正

唐涛　唐军　孙浩然

摘要：在微波传输线理论教学中，由阻抗确定反射系数是一个重要的知识点。教科书一般只针对负载阻抗为实数的情况进行讲解，但是在实际工程运用中常会遇到负载阻抗为复数的情况。本文运用传输线理论阐述了阻抗和反射系数之间的关系，并分别应用功率方程和功率波的分析方法推导了复数阻抗条件下的反射系数修正公式。

关键词：微波传输线；复数阻抗；反射系数；标签天线

中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）34-0097-02

引言

传输线理论是微波技术教学的基础，在传输线阻抗特性的教学中，输入阻抗与反射系数之间的关系是教学重点，一般运用反射系数来判断传输线的工作状态。如反射系数Γ=0，此时的负载是匹配负载，传输线处于行波工作状态；反射系数Γ=1，负载是短路、开路或纯电抗，传输线处于驻波工作状态。但是在复数阻抗负载情况下，反射系数可能会出现Γ>1的情况，这时负载阻抗与源阻抗需要共轭匹配，此时反射系数的计算需要修正，本文将从功率和功率波的角度讨论复数阻抗条件下反射系数和阻抗之间的关系。

一、负载匹配与反射系数的关系

传输线的阻抗匹配，可以由戴维南等效电路来说明[1]。根据波动方程，可取端口电压U为入射波电压U+与反射波电压U-之和。从信号源向负载看去的反射系数

从式（1）可以看出，Γ=0条件是负载阻抗等于信号源阻抗，但是此处传输线是均匀无耗且信号源的阻抗是实数。当传输线有损耗或者信号源的阻抗是复数，那么阻抗匹配的关系将变成共轭匹配Z =Z 。

二、共轭匹配与反射系数之间的关系

设信源内部等效阻抗是Z =R +jX ，传输线具有复数阻抗与负载相连，那么等效的复数负载阻抗为

Z =Z =R -jX =R +jX 。负载得到的功率为

根据图1，式（2）最终可得

从式（3）给出的功率方程可以得出阻抗共轭匹配的条件是R =R ，X =-X 。即当Z =Z 时，负载能够得到最大的功率。结合式（1）给出的实数阻抗反射系数的计算公式，当负载和源阻抗共轭匹配时有

这一结果和反射系数的定义相悖，因为当负载和源阻抗共轭匹配时，负载获得最大功率，此时反射系数应该等于0，但根据式（4）只要当X ≠0时，则有Γ≠0；并且如果X >R ，那么有Γ>1，而反射系数的取值范围应该为0≤Γ≤1。所以复数共轭匹配电路中，式（4）应该进行修正。

1.功率方程计算反射系数。复数阻抗下式（2）可改写并展开为

令信号源最大的可利用功率为P = ，式（5）的分子和分母同乘Z +Z ，再经恒等变形，可推导出

其中

那么有P =P （1-ΓΓ*）。

当Γ=0（Z =Z ）或者Γ =0（Z =Z ），即阻抗共轭匹配时，负载可获最大功率，且反射系数严格满足0≤Γ≤1。所以在复数阻抗的电路中，应该使用反射系数修正公式，即式（7）。

2.功率波计算反射系数。对于这一发现Kurokawa等人提出了功率波的计算方法[2]。首先定义功率波的入射波和反射波的波幅分別为

根据式（9）和式（10）可得反射系数

所以不论从功率方程还是功率波的角度来看，复数阻抗的反射系数都应该进行修正。

结语

本文在均匀传输理论的基础上，针对传统阻抗和反射系数的关系不适用于复数共轭阻抗匹配的问题，以功率方程和功率波为依据，提出了正确的具有广泛适用性的反射系数和阻抗之间的修正公式。该修正公式适用于复数阻抗情况下的反射系数的求解。

参考文献：

[1]李晨晖.戴维南等效电路的求解方法及例示[J].青海大学学报（自然科学版），2001，19（4）：40-42.

[2]S.Llorente-Romano，A.Garca-Lamperez，T.K.Sarkar，and M.Salazar-Palma."An exposition on the choice of the properS parameters in characterizing devicesincluding transmission lines with complex reference impedances and a general methodology for computing them"[Z].IEEE Antennas Propag.Mag.，，vol.55，no.4，pp.94–112，Aug.2013.