近5年台湾地区高考空间向量题分析及其思考*

2018-09-07

中学教研(数学) 2018年9期

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(湖南教育出版社,湖南长沙 410007)

0 前言

向量是近代数学最重要、最基本的概念之一，是沟通几何、代数、三角等内容的桥梁，具有丰富的实际背景和广泛的应用.空间向量主要研究空间基本图形的位置关系和度量关系，运用向量方法可以解决简单的数学问题和实际问题，从中体会向量是研究几何问题的有效工具.

笔者就近5年(2012—2016年)台湾地区学测、指考中的空间向量题进行了汇编和整理，然后分析、解答和点评，就其特色进行总结，并给出了在教材编写和命题方面的一些建议.台湾地区高考空间向量题的命制很有特色，符合选拔性考试应该达到的要求，即以能力立意——考查考生的各种数学能力，多考一点想，少考一点算.

1 试题解评

例1设c为实数，E1,E2,E3皆为坐标空间中的平面，其方程式如下：

E1:cx+y=c;E2:cy+z=0;E3:x+cz=1,

已知E1,E2,E3有一个交点的z坐标为1，请选出正确的选项.

1) (1,0,0)是E1,E2,E3的一个交点;

2)E1,E2,E3有无穷多个交点;

3)E1,E2,E3中一定有两个平面重合;

4)c=1;

5)E1,E2,E3有一个交点的z坐标值为2.

分析对于选项1)，将(1,0,0)分别代入E1,E2,E3的方程中，均满足，因此选项1)正确.

对于选项2)，因为(1,0,0)是E1,E2,E3的一个交点，且E1,E2,E3有一个交点的z坐标为1，所以必有过两个点的直线为平面E1,E2,E3的交线，因此选项2)正确.

对于选项3)，因为E1,E2,E3的法向量互不平行，所以E1,E2,E3中不可能有重合的平面(法向量平行是平面重合的必要不充分条件).

c3+1=0,

因为c=1不满足上述方程，所以选项4)错误.

对于选项5)，(1,0,0)是E1,E2,E3的一个交点，且E1,E2,E3有一个交点的z坐标值为1，从而平面E1,E2,E3的交线为一条不平行于平面xOy的直线，故有一交点的z坐标值为2.

点评本题考查了考生的空间想象能力和逻辑推理能力.如本题的选项2)和选项5)考查了考生的空间想象能力，选项3)和选项4)考查了考生的逻辑推理能力.

例2考虑向量u=(a,b,0)，v=(c,d,1),其中a2+b2=c2+d2=1，请选出下列正确的选项：

1)向量v与z轴正向的夹角恒为定值(与c,d之值无关);

3)u与v夹角的最大值为135°;

分析对于选项1)，不妨取z轴正向的一个方向向量为u0=(0,0,1)，θ为向量v与z轴正向的夹角.因为

v·u0=(c,d,1)·(0,0,1)=1,

即

所以

解得

故选项1)正确.

对于选项2)，可利用基本不等式.因为

u·v= (a,b,0)·(c,d,0)=ac+bd≤

从而u·v的最大值为1，故选项2)错误.

对于选项3)，设u与v夹角为θ，因为

即

故选项3)正确.

对于选项4)，因为a2+b2=c2+d2=1，令a=sinα,b=cosα，c=sinβ,d=cosβ,则

ad-bc=sinαcosβ-cosαsinβ=sin(α-β),

即

|ad-bc|≤1，

故选项4)错误.

对于选项5)，|u×v|表示的数值是以u,v为邻边的平行四边形的面积.因为

点评本题通过给出空间中两个向量以及条件关系式从不同方面进行设问，5个选项分别从不同方面考查向量的夹角、内积、外积，并与不等式结合起来考查最大值.

例3给定向量u=(2,2,1)，请选出下列正确的选项：

2)可找到向量v，使得u×v=(1,3,4);

3)若非零向量v满足|u·v|=2|v|，则

u×v=0;

4)若非零向量v满足|u×v|=3|v|，则

u·v=0;

v=0.

5)若向量v满足u·v=0且u×v=0，则

对于选项2)，u×v表示的向量应与向量u或v垂直，因此u·(u×v)=0，而(2,2,1)·(1,3,4)=2+6+4=12≠0，故选项2)错误.

对于选项3)，因为|u·v|=2|v|,即

|u|·|v|·|cosθ|=2|v|，

又

所以

u×v≠0，

故选项3)错误.

对于选项4)，|u×v|=3|v|,即

|u|·|v|sinθ=3|v|,

从而

sinθ=1,

解得

即

u·v=0，

故选项4)正确.

对于选项5)，根据题意u·v=0且u×v=0,可知向量u,v既相互垂直又相互平行，又因为u≠0，所以v=0，故选项5)正确.

点评本题考查向量的两种主要运算——内积和外积，理解向量内积和外积的几何意义，向量u,v的外积u×v表示的向量方向与u,v均垂直，|u×v|表示以u,v为邻边的平行四边形面积.

分析因为向量w与向量u×v平行，所以

u·w=0,v·w=0,

从而x+2y+3z=0,

(1)

x-z=0.

(2)

x-2y+z=6,

(3)

由式(1)～(3)可得x=1,y=-2,z=1.

例5在坐标空间中，一质点自点P(1,1,1)沿着方向a=(1,2,2)等速直线前进，经过5秒后刚到平面x-y+3z=28上，立即转向并沿着方向b=(-2,2,-1)以同样的速度等速直线前进.请问再经过几秒此质点会刚好到达平面x=2上？

1)1秒; 2)2秒; 3)3秒; 4)4秒;

5)永远不会到达.

分析质点在空间中的运动轨迹为(1+vt,1+2vt,1+2vt)，其中v表示沿a方向运动的速度，t为运动时间，经过5秒后质点到达点(1+5v,1+10v,1+10v)，代入平面方程x-y+3z=28可得v=1，因此质点的运动轨迹与平面x-y+3z=28的交点坐标为(6,11,11).同理可以求得返回的轨迹方程为

其中t为参数,表示时间，从而6-2t=2，解得t=2，因此经过2秒后，质点刚好到达平面x=2上.

点评本题考查了空间向量中直线方程的参数形式和笛卡尔坐标系中的平面方程，以及联立直线方程和平面方程求出它们的交点等知识及其应用.

1)点(3,0,-1)在直线L上;

2)点(1,2,3)在平面E1上;

3)直线L与平面E1垂直;

4)直线L在平面E2上;

5)平面E1与E2交于一直线.

上式显然不成立，故选项1)错误.

对于选项2)，将点(1,2,3)代入平面E1中，有2-6-3≠0，故选项2)错误；

对于选项3)，直线L的方向向量为n1=(2,-3,-1)，平面E1的法向量为n2=(2,-3,-1)，从而n1=n2，故选项3)正确.

对于选项4)，点(1,2,0)不在平面E2上，故选项4)错误.

对于选项5)，平面E1的法向量为n2=(2,-3,-1)，平面E2的法向量为n3=(1,1,-1)，从而n2≠n3，因此平面E1与平面E2既不平行也不重合，即平面E1与E2必交于一直线，故选项5)正确.

点评本题给出空间中的一条直线和两个平面的笛卡尔坐标方程，判断点和直线以及点和平面的位置关系、直线和平面以及平面和平面的位置关系等等.

2 特色与建议

从总体上来说，台湾地区近5年高考空间向量题比大陆地区的向量题容易，表现在运算量较小，计算的技巧性不大.台湾地区的考题主要考查考生对基本概念、基本知识的掌握和运用程度，考查的知识点比较全面，且和其他知识交会，比如与不等式、函数、行列式、解方程等结合.考查考生的空间想象能力和推理论证的能力，特别重视直线的方向向量和平面的法向量以及用方向向量和法向量判定直线与平面的位置和度量关系、向量的内积和外积的几何意义、直线和平面的几种不同形式之间的互化等等.另外，台湾地区数学高考试卷中有单选和多选题，多选题中5个选项的设置、考查的知识点和所用的方法不同，不能够利用特殊值代入等所谓的技巧进行选择或者排除，全选正确对考生的要求较高.每个选项的选择都考查某一个知识点，并能运用通性通法进行分析和解决.

通过对台湾地区向量高考试题的分析，可以推断台湾地区课程标准对空间向量的要求比大陆高，比如会求出空间中直线和平面的笛卡尔坐标系方程，能够对空间直线方程的不同形式(如向量形式、参数方程形式和笛卡尔坐标形式)、平面方程的不同形式(向量形式和笛卡尔坐标形式)进行互相转化.再比如向量的外积，即叉积的运算和几何意义，以及三阶行列式和空间中不共面三向量构成的平行六面体的体积关系等等.建议在大陆地区的课程标准中增加直线和平面的各种方程形式，利用直线和平面的各种形式可以直接看出直线和平面的方向向量和法向量，可以方便快捷地解决点、直线和平面之间的位置关系和度量关系.另外，增加三阶行列式与平行六面体的体积关系等内容.

总之，台湾地区教材和大陆教材相比，前者内容多，如空间向量，复数等.台湾地区的数学高考对大陆高考命题人员具有一定的参考价值，如“怎样命制多项选择题、应用题、数学文化题”“如何考查考生的分析问题和解决问题的能力”，都具有一定的借鉴意义.

2 解法探究

1)证明设P(x0,y0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，则PA，PB的中点坐标分别为

从而

即

式(1)-式(2)，得

于是

故PM⊥y轴.

对于第2)小题，首先由PM⊥y轴可知

从问题指向来看，面临的仍旧是坐标的处理，不同的思考亦会有不同的方法，但必然遵循化归思想指引.

2)解法1(化归为x0,y0形式)由式(1)和式(2)可知

|y1-y2|均可用上述韦达定理转化，经计算可得

解法2(化归为y1,y2形式)由式1)可得

且

代入面积表达式，得

即

从而

于是

下面可设t=sin2θ-cosθ，先确定t的范围再确定S△PAB范围即可(略).

图2

不妨设y1>0，则抛物线C在点A处的切线方程为

(3)

即

2x-y1y+2x1=0.

同理可得抛物线C在点B处的切线方程为

(4)

即

2x-y2y+2x2=0.

2x-2sinθ·y+4cosθ-2sin2θ=0，

与y2=4x联立，可得

y2-4sinθ·y+8cosθ-4sin2θ=0,

于是

|PM|=|xM-x0|=3(sin2θ-cosθ).

下述过程与解法2后面一致，不再赘述.

3 结论拓展

图3

例2如图3，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在两个不同的点A，B满足PA，PB的中点均在抛物线C上，PM交C于点N，且抛物线上点A，B处的切线交于点Q，证明：

1)P为QN的中点；

2)抛物线上点N处切线平行于AB.

于是

xN+xQ=2x0,

即点P为QN的中点.

4 考查评析

1)点在曲线上，则该点坐标符合曲线方程.

从“解法探究”中可以发现，例1中两个小题的解决都是围绕着“点坐标”在做文章.第1)小题中，基于4个点为抛物线上的点，则这4个点的坐标符合抛物线方程，从而列式化简，化简过程中体现了转化思想，即3组坐标(x0,y0)，(x1，y1)，(x2,y2)结合抛物线方程转化为y0,y1,y2的形式，从而求得yM=y0，证得结论.

第2)小题的解决立足于第1)小题，面积的表示以及所涉及的运算，都围绕着第1)小题列式展开.虽然第2)小题给出了3种方法，但仔细分析，这些解法都是依据点坐标转化处理的.解法1首先是巧妙写出以y1,y2为根所确定的一元二次方程，再将xM与|y1-y2|表示成关于x0,y0的形式，最后化归为关于x0的函数形式；解法2首先是运用条件将x0,xM转化为关于y1,y2的形式，再通过三角代换化归为关于θ的函数形式；解法3的思维起点是试图求出直线AB的方程，从而引入极点Q(抛物线两条切线的交点称为极点，对应切点连线称为极线)，两条切线的不同表达形式(本质为利用抛物线方程点坐标的转化)，既可求得极点Q的坐标，又可求得极线AB的方程，再结合第1)小题解决.

2)虽非同寻常，但关注解析几何问题本质.

本题以中点、三角形面积为素材，考查解析几何知识的应用.虽说中点、三角形面积都是学生比较熟悉的问题，但其解决方法又有别于我们平日所熟悉的模式.通常所接触的三角形面积问题，往往是设动直线AB的方程，引入参数直线斜率k,然后将面积表示为k的形式，最后求得范围.但本题打破了这种惯性思维，它紧紧围绕点坐标符合曲线方程展开，通过坐标间的互化，实现化归.当然，学生平时所学似乎不能得到良好发挥，特别是在考试时间有限的情况下对学生而言还是有一定难度的，但细细分析只要有良好的数学直觉，只要紧紧围绕条件进行有效思考还是能管窥一斑.同时，从高考人才的选拔来说也是十分有必要的，毕竟高考选拔很重要的功能是甄别学生的创新素质，这样的问题往往可以考查学生的思维深度和临场应变能力等.

虽非同寻常，但仔细分析该问题解决的方法，其解决途径无不是围绕着“点坐标”转化处理，这也体现了解析几何的本质：平面上的点与有序实数对之间建立了对应关系，平面上的曲线和两个变量的方程之间建立对应关系，使得对于平面上的每一条曲线，都存在一个确定的方程f(x,y)=0与之对应；反之，对于每一个这样的方程，都存在平面上一条确定的曲线，同样也可以在方程f(x,y)=0的代数性质与其相联系的曲线的几何性质之间建立对应关系.

5 教学启示

5.1 适度训练不落俗套

数学教学不应以应试为目的，不能搞程式不变的模式化训练.一成不变的模式训练与题海训练必然会使学生“思维僵化”“生笨”“生厌”等.关于这个问题早在20年前，李士锜教授就在《数学教育学报》上刊登过3篇文章“熟能生巧吗”“熟能生笨吗?——再谈‘熟能生巧’问题”“熟能生厌吗——三谈熟能生巧问题”，很好地论述了“熟”与“生巧”“生笨”“生厌”的关系：1)过程操作是概念形成的第一步，因此，常规训练是理解的必要条件；2)如果教学中不能把握数学过程与数学对象之间的平衡，过度的常规练习会影响到学生的理解力和创造力的发展；3)常规训练若不适当，则可能使学生形成不良信念、态度、情绪，对他们今后学习将产生负面影响.这些观点对我们今天的教学依然有十分重要的指导意义.

数学教学需要适度练习，但这个练习首先以理解为前提，再则练习一方面以巩固知识为目标，另一方面要以培养学生多元化思考为目标.在数学练习中，不仅倡导运用数学知识解决问题，更倡导在问题解决过程中发散学生思维、发展学生能力.

5.2 关注知识本质教学

数学教学作为数学知识的教学，首要的是要抓住知识的本质展开教学.正如例1，虽然问题处理方式与常态有所不同，但其本质为解析几何中处理点与曲线、坐标与方程之间的对应关系，从而利用代数方法解决几何问题.抓住了这个知识本质，此题便可施展其手.因此，教学中教师要抓住知识的本质，适当做些训练，适当做些归类，不急功近利，扎扎实实地帮助学生建立数学知识体系，帮助学生建构一些解决问题的方法——“通解通法”.通过融入知识本质的教学，提升学生数学地分析问题、解决问题的能力，从而培养学生“用数学的眼光观察世界、用数学的思维思考世界、用数学的语言表达世界”的能力.

注重知识本质的教学，意味着教师要善于对数学知识进行深入挖掘，不断地自我追问：“客观事物背后隐藏着什么数学知识与规律？数学知识的本质属性又是什么？统摄具体数学知识及技能的数学思想是什么？”[1]