二次曲线的若干优美性质*——2018年全国卷Ⅰ解析几何试题引发的思考

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(黄石市第一中学,湖北 黄石 435000)

2018年全国数学高考卷Ⅰ(文、理科)的解析几何试题有一个共同特点：已知定点P(m,0)是圆锥曲线C:F(x,y)=0内一点，过点P的动直线与圆锥曲线C相交于点A，B,则存在点Q,使得∠AQP=∠BQP.

1 试题呈现

1)当l⊥x轴时，求直线AM的方程；

2)设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.

(2018年全国数学高考卷Ⅰ理科试题第19题)

例2设抛物线C:y2=2x，点A(2,0)，B(-2,0)，过点A的直线l与C交于点M，N.

1)当l⊥x轴时，求直线BM的方程；

2)证明：∠ABM=∠ABN.

(2018年全国数学高考卷Ⅰ文科试题第20题)

2 引发思考

上述两道试题的第2)小题难度都不大，例1的第2)小题只需要证明kMA+kMB=0，即可知直线

MA，MB的倾斜角互补，从而∠OMA=∠OMB；例2的第2)小题只需要证明kBM+kBN=0，即可知直线BM，BN的倾斜角互补，从而∠ABM=∠ABN.具体解答过程此处略.

尽管圆锥曲线的模型不同，但是有着类似的结论，值得我们深入思考.例1和例2的第2)小题解答后，笔者产生了3个疑惑(以例1为例):

1)如何知道存在使等角恒成立的定点M呢?如果要求点M的坐标，那么该怎么办?

2)既然椭圆和抛物线有类似结论，那么圆和双曲线是否也有类似的结论？能否得到圆、椭圆、双曲线和抛物线的一般性结论？

3)上述两道高考试题中的直线经过的定点都在曲线内部，如果定点在曲线外部，那么结论又如何？

3 结论推广

图1

圆、椭圆、双曲线和抛物线都是对称的二次曲线，很多时候它们有着相同的性质.下面，我们带着上述3个疑惑进行探究，试着将此结论向圆、椭圆、双曲线和抛物线进行推广.

图2 图3

证明设A(x1,y1)，B(x2,y2),点A关于x轴的对称点为A′(x1,-y1)，设直线AB：x=ky+m，则直线A′B的方程为

(x2-x1)(y+y1)=(y2+y1)(x-x1).

令y=0，得

(k2+1)y2+2kmy+m2-r2=0，

依题意有Δ>0，则

证明设A(x1,y1)，B(x2,y2)，Q(x0,0),直线AB:x=ky+m，则∠AQP=∠BQP等价于

(k2+1)y2+2kmy+m2-r2=0，

依题意有Δ>0，则

图4 图5

证明同推论1，这里不再赘述.

值得说明的是：当定点P(m,0)在⊙O内时，∠AQP=∠BQP；当定点P(m,0)在⊙O外时，∠AQP+∠BQP=180°.

图6 图7

图8 图9

证明同推论1，这里不再赘述.

值得说明的是：当定点P(m,0)在椭圆C内时，∠AQP=∠BQP；当定点P(m,0)在椭圆C外时，∠AQP+∠BQP=180°.

推论5和推论6的证明可仿照推论1、推论3，此处不再赘述.

值得说明的是：当定点P(m,0)在双曲线C内时，∠AQP=∠BQP；当定点P(m,0)在双曲线C外时，∠AQP+∠BQP=180°.

定理4已知抛物线C:y2=2px(其中p>0)，过定点P(m,0)(其中m≠0)的动直线l与抛物线C相交于点A,B，点A关于x轴的对称点为A′，则直线A′B过定点Q(-m,0).

证明设A(x1,y1)，B(x2,y2),点A关于x的对称点为A′(x1,-y1)，设直线AB:x=ky+m，则直线A′B的方程为

(x2-x1)(y+y1)=(y2+y1)(x-x1)，

令y=0，得

y2-2pky-2pm=0，

其中Δ=4p2k2+8pm>0，则

y1y2=-2pm,y1+y2=2pk,

因此直线A′B过定点Q(-m,0).

推论7已知抛物线C:y2=2px(其中p>0)，过定点P(m,0)的动直线l与抛物线C相交于点A,B，则存在点Q(-m,0)，使得∠AQP=∠BQP.

推论8已知抛物线C:y2=2px(其中p>0)，过定点P(m,0)(其中m<0)的动直线l与抛物线C相交于点A,B，则存在点Q(-m,0)，使得∠AQP+∠BQP=180°.

推论7和推论8的证明可仿照推论1、推论3，此处不再赘述.

值得说明的是：当定点P(m,0)在抛物线C内时，∠AQP=∠BQP；当定点P(m,0)在抛物线C外时，∠AQP+∠BQP=180°.

下面给出一般性结论：

推论9和推论10的证明同上.

值得说明的是：当定点P(m,0)在二次曲线Γ内时，∠AQP=∠BQP；当定点P(m,0)在二次曲线Γ外时，∠AQP+∠BQP=180°.