对一般三棱锥的综合探究

2018-09-05刘宇

课程教育研究 2018年7期

刘宇

【摘要】本文针对已知三棱锥的交于同一顶点的三条棱的长度及其相互夹角大小的情况，对三棱锥进行了综合探究，探究出了该条件下三棱锥的体积式，并将其用于证明了奔驰定理在空间中的类推式。在此基础上，本文引出了一种求物体高度与线面角的方法，并探究出了该已知条件下三棱锥的内接球半径式与外接球半径式。

【关键词】三棱锥体积式奔驰定理内接球半径式外接球半径式

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）07-0142-03

引言

在许多问题的解决中，人们有时需要求出非特殊三棱锥的体积、外接球半径或内接球半径。而在实际生活中，人们往往难以用简单的测量工具精确地测量出其高度（特别是在该三棱锥的顶点与其到底面的射影间有三棱锥自身的遮挡时）进而计算得出其体积。而且，目前公众视野中的用长度与角度表示的三棱锥的外接球半径与内接球半径的通式还相对难寻，以至人们有时在求非特殊三棱锥的内接球半徑或外接球半径时感到不那么容易。而本文通过对一般三棱锥进行的综合探究，得到了在已知三棱锥的交于同一顶点的三条棱的长及其相互夹角的情况下该三棱锥的体积式、内接球半径式以及外接球半径式，我们仅需使用量角器与足够长的米尺测量出相应的量，即可得出线面角、物体高度、三棱锥体积、其内接球半径与其外接球半径的较为精确的值。

笔者最初的目的仅是想运用证明奔驰定理的类似方法证明其在空间中的类推式，而用上述条件表示的三棱锥体积式是笔者为了让证明顺利进行才探究出来的，故笔者将三棱锥体积式的探究与奔驰定理在空间中的类推式放在同一个板块论述。

1.体积式及其应用

1.1体积式的求得

如图1（仅表示点在三棱锥中的分布位置，不表示三棱锥的具体形状），在任意形状的三棱锥O-ABC中，测得：|OA|=a，|OB|=b，|OC|=c，∠AOB=x，∠BOC=y，∠AOC=z 。设二面角A-OB-C为θ（θ未知）则三棱锥的体积VO-ABC满足关系式：

VO-ABC= abcsinxsinysinθ （1.1-1）

由三面角第一余弦定理：cosz=cosxcosy+sinxsinycosθ（1.1-2）

而由θ，x，y∈（0，π）知sinθ>0，sinx>0，siny>0 知：

sinθ= = （1.1-3）

代（1.1-3）入（1.1-1）即得到：

VO-ABC= （1.1-4）

1.2奔驰定理的空间类推式的证明

如图2（仅表示点在三棱锥中的分布位置，不表示三棱锥的具体形状），已知：O为任意形状的三棱锥D-ABC内的任意一点。

猜想：VO-BCD· +VO-ACD· +VO-ABD· +VO-ABC· =0

证明：设∠AOB=x，∠BOC=y，∠COA=z，∠DOA=θ，∠DOB=β，∠DOC=γ

另设一辅助三棱锥D'-A'B'C'如图3，使∠A'O'B'=x，∠B'O'C'=y，∠C'O'A'=z，∠D'O'A'=θ，∠D'O'B'=β，∠D'O'C'=γ，

A'O'= ；

B'O'= ；

C'O'= ；

D'O'= ；

则：

∵由（1.1-4）知：

A'O'·B'O'·C'O'·D'O'=VO'-A'B'C'=VO'-B'C'D=VO'-C'D'A=VO'-D'A'B

∴O'为三棱锥D'-A'B'C'重心

∴ + + + =0 （1.2-1）

令与同向，由∠DOA=θ=∠D'O'A'知此基础上还可令与同向，此后由∠DOB=β=∠D'O'B'；∠DOC=γ=∠D'O'C'知与同向，与同向

∴（1.2-1）变为：A'O'· +B'O'· +C'O'· +D'O'· =0（1.2-2）

∴代数据入（1.2-2）并化简得：

·OB·OC·OD·

+ ·OA·OC·OD·

+ ·OA·OB·OD·

+ ·OA·OB·OC· =0 （1.2-3）

而代相应的数据入（1.1-4），得到：

VO-BCD=BO·CO·DO· （1.2-4）

VO-ACD=AO·CO·DO· （1.2-5）

VO-ABD=AO·BO·DO· （1.2-6）

VO-ABC=AO·BO·CO· （1.2-7）

代（1.2-4）（1.2-5）（1.2-6）（1.2-7）入（1.2-3）得：

VO-BCD· +VO-ACD· +VO-ABD· +VO-ABC· =0

1.3间接测量物体高度与线面角

如图4，物体（未画出）的最高点为C底面OAB的摄影为D，该物体的高大小即为|CD|。任取参考平面OAB中不重合的三点O、A、B，测量出角AOB为x，角BOC为y，角COA为z，|OC|的长为c。设|OA|=a，|OB|=b，则：

VO-ABC= CD·SOAB= CD·absinx （1.3-1）

联立（1.1-4）（1.3-1）得：

CD= （1.3-2）

而设直线OC与底面OAB的夹角为θ，则由（1.3-2）知无需测量出|OC|大小即

可得到OC与平面OAB的线面角为：

θ=sin-1 =sin-1

2.内接球半径式

2.1仅用边长表示的三角形面积式

已知任意形状的ΔABC中BC=a，AC=b，AB=c，∠ACB=θ。

則由余弦定理：cosθ= （2.1-1）

∴（sinθ）2=1-（cosθ）2= （2.1-2）

∴S△ABC= = （2.1-3）

2.2内接球半径式

如图5（仅表示点在三棱锥中的分布位置，不表示三棱锥的具体形状），已知在三棱锥O-ABC中，|OA|=a，|OB|=b，|OC|=c，∠AOB=x，∠BOC=y，∠AOC=z，设：|AB|=d；|BC|=e；|CA|=f；三棱锥O-ABC内接球半径R内，则：

由余弦定理：d2=a2+b2-2abcosx （2.2-1）

e2=b2+c2-2bccosy （2.2-2）

联立（2.2-1）（2.2-2）得：

d2e2=b4+a2b2+b2c2+c2a2+4ab2ccosxcosy-2ab3cosx-2b3ccosy-2abc2cosx-2a2bccosy （2.2-3）

同理：

e2f2=c4+a2b2+b2c2+c2a2 +4abc2ccosycosz-2ac3cosz-2bc3cosy-2a2bccosy-2ab2ccosz （2.2-4）

f2d2=a4+a2b2+b2c2+c2a2 +4a2bcccosxcosz-2a3bcosx-2a3ccosz-2ab2ccosz-2abc2cosx （2.2-5）

而由（2.2-1）得：

d4=a4+b4+4a2b2（cosx）2+2a2b2-4a3bcosx-4ab3cosx （2.2-6）

同理：

e4=b4+c4+4b2c2（cosy）2+2b2c2-4b3ccosy-4bc3cosy （2.2-7）

f4=c4+a4+4c2a2（cosz）2+2c2a2-4c3acosz-4ca3cosz （2.2-8）

代相关数据入（2.1-3）得：

S△ABC= （2.2-9）

代（2.2-3）（2.2-4）（2.2-5）（2.2-6）（2.2-7）（2.2-8）入（2.2-9）中化简得：

S△ABC= · （2.2-10）

运用等体积法：

+ + +S△ABC=VO-ABC（2.2-11）

联立（1.1-4）（2.2-10）（2.2-11）得：

R内=

3.外接球半径式

已知三棱锥O-ABC中：|OA|=a；|OB|=b，|OC|=c，∠AOB=x，∠BOC=y，∠AOC=z 。设：|BC|=e，|AB|=d，二面角C-OB-A大小为θ，ΔOBC外接圆半径为RΔOBC，ΔOBA外接圆半径为RΔOBA，三棱锥O-ABC外接球半径为R外，ΔOBC外心N到OB中点D的距离为μ，ΔOBA外心M到D的距离为λ，三棱锥O-ABC外接球球心K到N的距离为f，到M的距离为g 。（设的量均未知）（图已在下文具体情况的讨论中画出）

易知KN⊥平面OBC，KN⊥ND，KM⊥平面OAB，KM⊥MD，OB⊥AD，OB⊥CD，K、D、N、M四点共面，且由余弦定理：e2=b2+c2-2bccosy （3-1）

由正弦定理： R△OBC= （3-2）

由勾股定理：R△OBC 2= 2 +μ2 （3-3）

联立（3-1）（3-2）（3-3）得：μ= （3-4）

同理得：λ= （3-5）

①如图6、图7（不表示θ的具体大小），当∠OCB与∠OAB均为锐角或均为钝角即（c-bcosy）（a-bcosx）>0时：

若θ∈（0，），即cosθ>0，sinθ>0，延长KN与DM交于H如图8，则：

∠HKM=π-∠NHD-∠KMH=π-∠NHD- =π-∠NHD-∠DNH=θ，

|HN|=μtanθ；|KH|= ，代这些数据入|NH|=f+|KH|得：

μtanθ=f+ （3.①-1）

同理得：λtanθ=g+ （3.①-2）

联立（3.①-1）（3.①-2）得： f=