求解空间几何体体积问题的两种途径

曹文军

空间几何体的体积问题侧重于考查棱锥、棱柱、棱台、圆柱、圆台、圆锥、球的体积公式的应用，这类问题对同学们的空间想象和逻辑推理能力有较高的要求.有些空间几何体体积问题较为复杂，很多同学不知如何求解.本文介绍两种求解此类问题的途径.

一、割补图形

有些几何体为不规则图形，或无法直接求得几何体的底面和高，此时直接运用棱锥、棱柱、棱台、圆柱、圆台、圆锥、球的体积公式，很难求得几何体的体积，需将几何体进行适当的分割、填补，将其构造成规则的棱锥、棱柱、棱台、圆柱、圆台、圆锥、球，以便利用棱锥、棱柱、棱台、圆柱、圆台、圆锥、球的体积公式求解.

1.分割图形

有些图形是由多个棱锥、棱柱、棱台、圆柱、圆台、圆锥、球等拼接而成的，无法直接求得几何体的底面和高，此时可采用割补法，将几何图形分割为几个简单空间几何体，如棱锥、棱柱、棱台、圆柱、圆台、圆锥、球，然后根据棱锥、棱柱、棱台、圆柱、圆台、圆锥、球的体积公式分别求出分割后几何体的体积，最后把所得的结果相加，即可得到不规则几何体的体积.

例1.如图1，在三棱锥P-ABC中，PA⊥BC，PA=BC=3，PA，BC的公垂线ED=2，求三棱锥P-ABC体积.

解：

我们无法直接运用公式求出三棱锥P-ABC的体积，于是采用割补法，通过添加辅助线，将三棱锥P-ABC分割为两个直三棱锥B-APD和C-APD，再根据直三棱锥的体积公式进行求解即可.

例2.

解：

几何体A1-EBFD1为不规则几何体，需运用割补法，把该几何体分割为三棱锥B-A1EF和三棱锥D1-A1EF，然后根据锥体的体积公式求出两个三棱锥的体积，最后将所得结果相加，即可求得几何体的体积.

2.填补图形

有些几何体是从一个大的规则几何体中挖去一部分得到的，此时不易求得几何体的底面和高，无法直接运用简单几何体的体积公式求解，我们需采用割补法，将几何体填补成完整的、规则的棱锥、棱柱、棱台、圆柱、圆台、圆锥、球，然后根据棱锥、棱柱、棱台、圆柱、圆台、圆锥、球的体积公式求得大几何体和挖去部分的体积，最后将所得的结果相减.

例3.如图4，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点M、N分別是边长AD、CC1的中点，点O是平面A1B1C1D1的中心，求三棱锥O-MNB的体积.

解：

我们无法直接求得三棱锥O-MNB的底面和高，于是延长B1N，即可将三棱锥O-MNB填补成大三棱锥O-MBP，只需将三棱锥O-MBP的体积减去N-MBP的体积，即可求得三棱锥O-MNB的体积.

例4.如图6，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，侧面三角形PAD面积为3，点C到平面PAD的距离为1，求四棱锥P-ABCD的体积.

解：

根据所给的条件直接求四棱锥P-ABCD的体积存在一定的难度，由于已知△PAD的面积和点C到平面PAD的距离，于是采用割补法，将四棱锥填补为三棱柱PAD-EBC，用该三棱柱的体积减去三棱锥E-PBC体积，即可求得四棱锥P-ABCD的体积.

二、采用等体积法

当不易求得三棱锥的底或高时，可采用等体积法，将同一个和全等的三棱锥的底面和高转换，求得转换后三棱锥的底和高，即可求得三棱锥的体积.对于其他的空间几何体，可根据问题中所给的条件，将几何体割补为三棱锥，然后采用等体积法求得几何体的体积.

例5.

解：

由题意和三棱锥的体积公式：V=13S底×高，可知要求得三棱锥P-MAC的体积，需求得底面PCM的面积和点A到底面PCM的距离，而求点A到平面PCM的距离较难，且VA-PCM=VA-MNC=VM-ACN，于是采用等体积法，通过转换底面，求得三棱锥M-ACN的体积，来间接求得三棱锥P-MAC的体积.

例6.

解：

由于A、B都是平面ABCD上的点，到平面A1B1C1D1的距离相同，所以三棱锥B-AEF的体积与三棱锥A-BEF的体积相等，于是采用等体积法，求得△BEF的面积和点A到平面BEF的距离，即可求得三棱锥A-BEF的体积，进而得到三棱锥V-BEF的体积.

通过上述分析可知，当求几何体的体积受阻时，要仔细观察几何体的结构特征，调整思路，通过割补图形，转化底面和高，将问题转化为简单的棱锥、棱柱、棱台、圆柱、圆台、圆锥、球的体积问题来求解，这样可以达到化难为易，化繁为简的效果.

（作者单位：甘肃省敦煌中学）