强度及裂缝双控条件下钢筋混凝土板截面优化设计探讨

2018-08-20周维祥

特种结构 2018年4期

周维祥

（上海市政工程设计研究总院（集团）有限公司 200092）

引言

在混凝土结构截面设计时，混凝土板配筋除需要承载力验算外，还要满足正常使用状态条件下裂缝控制要求，但现有国内外钢筋混凝土构件截面优化研究都集中在强度控制条件下采用解析法［1-3］、遗传算法［4］计算单筋最优板厚或最优配筋率上，忽略了裂缝限值条件，而在给水排水混凝土结构截面设计过程中，必须要进行裂缝验算，并且往往也对配筋起控制作用，所以承载力控制条件下的“最优板厚”并不是真正的最优板厚。另外，混凝土板中往往有两层及以上受力钢筋承受面外弯矩，因此十分有必要进行承载力及裂缝双控条件下多层钢筋受力的最优板厚及最优配筋率研究。本文通过引入钢筋混凝土构件受弯承载力计算及裂缝验算公式，在满足结构安全和裂缝限值的条件下，对单位面积钢筋混凝土板造价目标函数求导得到理论最小值，进而得到特定弯矩值所需要的最优板厚及对应配筋率。

1 造价目标函数

假设单位面积钢筋混凝土板造价为C。板厚度为h=h0+as，双层双向配筋，各钢筋层配筋率分别为钢筋综合单价为Cs（元/m3），混凝土综合单价为Cc（元/t），钢筋容重为ρs（t/m3），则：

考虑到Cs、Cc、ρs都为常数，在保护层厚度C一定的情况下，as变化幅度很小。令mc=最终定义造价目标函数为：

2 约束条件

规范［5，6］及手册［7］规定，结构设计要满足强度、刚度、裂缝以及构造等要求。而设计过程中强度计算、裂缝验算是最基本的、最主要的，通常对截面设计及结构造价起控制作用。

2.1 强度条件

单筋纯弯构件截面达到极限破坏时，极限弯矩为：

联立式（2）和式（3）得到：

2.2 裂缝条件

根据GB 50069-2002规范［6］附录A，裂缝验算公式为：

其中，纯弯构件时，取a1=0，a2=1。令：

将式（7）、式（8）代入式（5），可简化得到钢筋直径d的一元三次方程：

根据卡尔丹求根公式：

对应满足裂缝限值的配筋率：

3 截面设计优化

3.1 强度条件下单筋截面设计优化

单层受力钢筋在强度控制条件下的最优板厚可通过解析方法得到。其中非受力的三层钢筋按有效截面的最小配筋率配置。

将式（4）代入式（1），并对强度控制条件下的造价目标函数求导：

则最优有效截面高度：

最优配筋率：

3.2 双控条件下多层受力钢筋的截面设计优化思路

当考虑多层受力钢筋时，强度控制条件的最优板厚很难通过解析法得出，而考虑到裂缝控制函数的不连续性，双控条件下多层受力钢筋的最优板厚采用数值解法是个不错的选择。

数值解法通过设定壁厚有效高度的搜索区间和特定步长，在一定设计参数条件下，通过极值算法得到造价函数的最小值，对应板厚即为最优板厚。

本节以常用设计参数（表1）为例对造价目标函数进行优化。其中采用细而密的配筋可以更好地满足裂缝要求，但间距s不宜小于100mm［6］，故假设钢筋中心间距s=100mm。

3.3 截面有效高度范围

在确定的受力钢筋对应弯矩值组合作用下，考虑最大配筋率和最小配筋率限制，对应强度控制条件及裂缝控制条件都有最小壁厚和最大壁厚，并且都由弯矩组合中的最大弯矩值控制。有效高度范围的确定方法见图1。

表1 设计参数Tab.1 Design parameter

图1 有效高度范围示意Fig.1 Effective height range

最小配筋率验算时，取全截面配筋率：

当达到最大受压区高度时，

对应强度控制条件下：

对应裂缝条件时，解析方法得到最大、最小有效高度比较困难，但可以通过数值方法得出，分别记而最终最优有效高度范围如下：

3.4 造价目标函数形态

将式（4）和式（10）分别代入式（1）后可得到强度控制造价目标函数（不考虑受压区钢筋）、裂缝控制造价目标函数与有效截面高度的关系。不同的弯矩值组合的造价目标函数呈现出不同的形式。为方便研究，本节假定控制弯矩相等，并取25kN·m、100kN·m、500kN·m三档，按控制弯矩的数量不同分别研究。

图2中只有一个方向控制弯矩，其余三层钢筋都按最小配筋率考虑。强度控制造价目标函数随着板厚的增加先少后多，而裂缝控制造价目标函数随着板厚的增加逐渐增加。图中黑色点划线对应横坐标为最优板厚的有效截面高度（下同）。当弯矩较小时，双控条件的造价最低值即强度条件的最低值；而弯矩增大时，最优板厚由两个函数的交点确定；而当弯矩大于一定数值时，最优板厚为最小壁厚，对应配筋率为最大配筋率。