初中数学“整理性”课后作业的设计和使用的实践研究

丁妙英

【摘 要】新时代呼唤明天的教育是为了适应信息化社会的智慧教育。让学生学会思考交流，学会学习是义务教育阶段数学核心素养的重要内容。本文从“整理性课后作业内容选择和类型设计”、“整理性课后作业的使用”、“整理性课后作业再完整”三个方面的研究；使学生在整理和使用中逐步掌握初中数学螺旋上升的数学知识，自觉构建数学知识体系，培养学生反思归纳创新能力。养成良好的学习习惯，提高学生的实践能力和探究能力，提升学生的数学素养。

【关键词】初中数学；整理性；知识建构；学习方法

一、研究源起

课后作业是为巩固学习效果而安排的一种有目的、有指导、有组织的学习活动，它是教学的基本环节，是课堂教学的延續和补充，它有助于知识的巩固、深化，有益于技能、智力和创造才能的发展，是提高学生素质的重要载体。通过完成一定的数学课后作业，不仅使学生巩固课堂上所学的知识，并将知识转化为技能、技巧，培养学生分析问题、解决问题的能力，掌握科学的数学学习方法。

整理性课后作业是数学作业中的重要组成部分，是一项重要学习方法。他让学生通过“理”达到“通”的目的。即学生对所学过的知识进行系统、结构化地整理，使知识点串成线，织成网，连成片。达到让学生融会贯通，弄清楚知识的前因后果，来龙去脉，并学会归纳，学会反思。

二、理论依据

建构主义理论：建构主义认为，学生是自我发展的主体，他们具有主体意识和实践能力，根据外在信息，通过自己的背景知识，建构自己知识的过程。在这个过程中，学生不是被动的信息吸收者和刺激接受者，他要对外部的信息进行选择和加工。任何外在的教育力量和因素，只有内化为学生的自觉需要才可能真正奏效，任何教育过程在本质上都是客观因素向主观因素转化的过程。

“整理性”课后作业的设计应用基本建构过程如图所示：

三、“整理性”课后作业设计和应用的实践研究

（一）“整理性”课后作业内容选择和类型设计

数学课堂教学要体现“教师为主导，学生为主体”的地位，而笔者认为在数学知识的整理过程中也应当以“教师为主导，学生为主体”。把知识的整理权还给学生，学生做“主人”，教师当“观众”。从教学内容和学生已有理解水平出发，根据数学知识特点设计“整理性”课后作业内容，一般在内容上有以下几个选择：

1.课后知识回顾——课后知识的整理性笔记

在课堂上，数学知识有很多典型知识和例题的应用，很多学生会忙于在课堂上抄笔记，有时教师已经在讲下个知识点了，而他们却还在忙着抄题，导致整节课没跟上节奏，不能很好的掌握知识要点。因此，听懂、理解远比抄写更重要，课内不应该成为整理笔记的主战场，倡导学生在课后整理笔记。在每天的课后，让学生通过回顾的方式，总结归纳所学的知识点、难点、易错点、混淆点、思想方法，然后有选择地整理在每节课的课本上。

案例1：在学习了5.1分式以后，学生就整理了如下的笔记：（1）本节内容学习了分式的定义：形如（A，B是整式，B中有字母）；（2）知道分式有意义B≠0；（3）分式值为0：A=0，且B≠0（4）例2，体现数学建模思想，方法二还可以用方程思想。

2.阶段性知识整理——思维结构图设计

（1）知识结构图的概念。

知识结构图通常是将构成某一主题的知识要素置于圆圈或方框中用线条、箭头等连接方式连接，形成系统、清晰、准确的图表或示意图。这种知识结构图能将教师在课堂教学中要讲的知识点及知识点之间的相互联系简明扼要地呈现出来，是一种整体建构知识的图形工具。

（2）教师指导学生构建知识结构图。

对于大部分学生来说，构建知识结构图存在一定的难度，这就要求教师对学生予以一定的指导。教师指导学生制作知识结构图的步骤归纳如下：

①确定某一主题。教师根据教学内容和大纲要求，确定主题，使学生弄清楚知识的范围。

②确定主要的概念。在该主题中，整理出核心的、关键的概念及与其相关的概念，将它们一一罗列出来，并理清楚这些概念之间的联系。如代数式的关键概念有单项式、多项式、整式、同类项等。

③确定概念的排序并连接。将概念按其概括性大小依次排列，把概括性最强的概念置于最顶层，概括性较小的概念置于其后，依次向下并用连线连接。

案例2： 从七年级开始指导学生在每单元结束以后，整理每块知识之间的结构图，下面以学习分式和平行线等内容后，让学生尝试整理的知识结构图。

3.数学几何基本图形整理——基本图形以题代理

知识是静态的，思维是动态的。笔者认为知识的整理也可以“以题代理”的形式，在进行几何解决问题的过程中，我们经常会遇到一些较为复杂的几何图形，如何从中找出其中的“基本型”往往成为解题的关键，让学生整理一些常见的基本图形进行归类分析，可以事半功倍，即所要整理的基本图形以练习题的形式呈现，可以选择用具有“一题多解”，“一题多变”，“多题归一”的变式题组。通过做这些精选的变式题组，有利于培养学生发散思维能力，有利于培养学生的解题技巧，有利于培养学生创新创造能力，有利于学生加深理解知识的纵向和横向联系，形成完整的知识结构。

案例3：基本的图形：

①如图1，2当点A、B分别在直线l的同侧和异侧时，在直线l上找一点C，使AC+BC的和最小。

②如图3，在直线l上找一点P，使点A与直线l上各点的连线中，AP最短。

③如图4，如图，从A地到B地经过一条小河（两岸平行）今要在河上建一座桥（桥与河岸垂直），如何选择桥的位置？

案列4：常见的应用

（1）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是BC上一点，且CE=1，点P是对角线BD上一动点，则PA+PE的最小值是。

（2）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，点E是BC上一定点。

请在BD上找一点P，使PE+PC和最小。

（3）如图，⊿ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上一动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为_____

在三线八角中存在以下基本图形

如图：AB平分∠CAD，CB∥AD，判断△ABC的形状在这个基本图形中：①AB平分∠CAD②CB∥AD③AC=BC只要知道其中两个便可以推出余下一个；此基本图形在几何推理中广泛的应用。

在整个初中阶段几何这种基本图形很多，让学生平时注重积累，提高学生解题水平和几何推理能力。

4.整理数学易错知识——绘制表格强调易错点

知识的把握不仅仅需要整体构建知识框架，更需要了解知识点之间的联系与区别。在数学学习过程中，有很多概念、定理、规律等都具有相似性和系统性。学生容易混淆，把相关知识结合在一起进行比较分析，对其进行整理归纳挖掘，加深学生的理解，把易错部分回执备忘录又能培养学生自主分析、思考、解决集“错”是学生对自己错误的一种反思，同时也是对自己学习的一种反思。反思是一种主动“再认识”的过程，是思维的高级形式。在整理错题时，不仅明白了一道错题是怎样求解这么简单，更重要的是通过整理“错题”，让学生学会如何学数学、如何研究数学，掌握哪些知识点在将来的学习中会犯错误，真正做到能力与知识俱长。

案例5：在八上学生学习了中垂线和角平分线定理和逆定理以后产生三角形的内心和外心，学生对这两个心很容易混淆，设计表格比较知识之间的关联。

案例6：y=2x2-4x+3，如果0≤x≤6，那么求出y的变化范围。容易错解为：当x=0，则y=2×0-4×0+3=3，当x=6，则y=2×36-4×6+3=51，因此，当0≤x≤5，得出3≤y≤51。分析错误原因设计备忘录，备忘录：对初中数学中二次函数的性质缺乏深入理解是，只注意到了明显条件，却造成了对顶点位置的忽略。

（二）“整理性”课后作业的使用

1.每日课后整理作业口答完善型

对于每天的课后知识回顾整理，是每一天的课后作业的一部分，它的整理即及时巩固每天学习内容的要点，重点，符合遗忘曲线特点，又为第二天新课的引入做好铺垫，这部分整理作业内容少，反馈快。教师往往通过提问由学生口答、学生补充的形式使用，并在学生观点基础上再提出新问题；学生也可以向老师提出置疑，就某一问题共同探讨，学生对问答的进度和方向有较多的支配机会，教材内容整理这种口答式反馈方式承上启下，水到渠成。

2.章节思维结构图课堂讨论重组型

每单元的知识结构图在复习课上采用课堂讨论，在班集体中小组内相互交流个人的看法，相互学习、相互启发的一种教学形式。小组成员展示自己的结构图，并说明整理的意图，思考整理过程中自己的优缺点，并不断进行优化补充。这种课堂讨论不仅促进学生思维的发展，还有利于学生认识的深化，增强参与和合作意识，在讨论中不断进行反思，在反思中构建自己的认识体系。讨论有意见分歧时，教师要及时组织评议，肯定优秀的； 当小组评议结束，由小组代表进行全班展示汇报，其余小组补充重构。教师可将讨论情况给予小结，指出进一步深入讨论的思考方向，让同学们负责继续整理并汇报讨论结果。

这种让学生在制作知识结构图时经历了整理知识、整合知识，筛选知识、形成基本结构图、嵌入遗漏的知识、不断修正与完善的过程。知识结构图有助于学生主动学习，主动构建知识整理框架，主动修正与完善自我学习中的不足。小组合作式的交流和教师适时、适度地指导，有助于激活学生的思维，激发学生的潜能，提高学生思维层次，培养团队精神。另一方面，通过学生制作的知识结构图，教师可以及时有效地了解和诊断学生的学习问题，反思自己教学的不足之处，改进自己的教学方式，提高课堂教学效率。

3.基本图形易错题整理文字和当面反馈型

一开始教师对出现的几何基本图形和易错知识点进行揭示，分析其中存在的基本图形，对于易错点分析是知识点概念上相似还是理解上的易错问题，指导同学们尝试以题代理，一段时间，学生基本学会整理基本图形和易错题，教师则通过定期检查，并采用文字对同学们所整理的内容进行评价和指导，对于有拓展和不正确的理解则及时和学生当面进行沟通指导。对于整理作业也要及时反馈到学生手里，让学生及时了解到整理中的优缺点，及时进行反思和调整，以便精益求精。

（三）“整理性”课后作业的再完善

整理性作业要求学生有比较好的归纳、反思的能力，学生基础和能力一开始不一定能达到预想的效果，老师重视各个使用环节中的同学间的合作和潜移默化的转换，使整个整理作业能产生合力，从而使作业效用得以充分发挥，所以指导学生学会整理，再次完善就显得更加重要。补充完善的过程就是一个认知重建，体系完善的过程。知识在再次整理中得到积累，思想在再次整理中得到丰富，认识在整理中得到深化，境界在整理中得到升华，学生的学习在整理中会得到不断的进步。整理是对学习的阶段性总结，总结学习内容，总结学习方法，总结经验教训，对以往的学习有一个清醒的认识，为下一阶段的学习做好必要的准备。从积累到整理再到运用的过程是一个提高与创新的过程，在此过程中学生能力可以不断的得以提高。

四、研究成效

1.培养了习惯

整理作业不仅仅是一种作业形式，更是一种能力。经过对学生长时间地有目的性地培养，班级绝大部分学生养成了良好的整理知识的习惯。每到周末，学生就会自觉在笔记本上整理每门课的重要笔记和书本知识，并用红笔注释，写下反思。一本又一本的笔记本，展示着学生的整理成果，也彰显他们正经历着“由厚到薄”和“由薄到厚”的读书过程。

2.提高了成绩

在平时的单元检测以及期中、期末检测中，班级成绩一年一个台阶，稳步上升。尤其是处于中等、中等以下的学生，成绩更是有了突破性地飞跃。有同学曾兴奋地告诉我：“老师，知识点经过整理后，不再像以前那样散乱无章，真是理一类，通一片啊！”

3.激发了潜能

学生的潜能是无限的，只不过在平时的教学过程中没有找到合适的途径。学生在整理知识的过程中，為了表现自己，往往会各有特色，体现与众不同的个性之处，得到教师的赏识后，同伴的认同后，学生学习的热情瞬间被激活，学习的主动性和自觉性空前高涨。同时笔者欣喜地发现，在课堂上能积极且全面地思考，敢于发表自己的想法，提出的问题具有针对性、严谨性、创造性。

在全面推进核心素养培养的今天，我们不仅要让学生“学会”，更要让学生“会学”。教师也把知识学习的主动权还给学生，让学生在整理中学会对所学知识、认识事物的方法、分析解决问题的思维方式进行整理、归纳、概括、挖掘，使新旧知识完美地融合，从而使学生真正成为学习的主人！

【参考文献】

[1]关文信.新课程理念与初中数学课堂教学实施.北京首都师范大学出版，2003

[2]张兰英.《新课程之下的作业创新》素质教育（教师读本）

[3]刘宝洪.数学知识归纳整理的培养途径[J].中学数理化，2007.9

[4]孙晓媛.如何有效地进行复习与整理[J].数理化研究，2012.3

[5]章丹赛.数学新型笔记整理方法.中学数学月刊，2014.04.15