准变量思维：儿童代数思维的启蒙

曹玉萍

摘 要：作为算术思维到代数思维的有效过渡，准变量思维是一种整体性思维、关系性思维、结构性思维。在教学中，教师要发掘教材的准变量因子，萌发儿童的准变量意识，引领儿童的准变量思维。

关键词：小学数学 准变量思维 代数思维

准变量思维是算术思维向代数思维的过渡，是儿童代数思维的启蒙。在儿童数学教学中，教师要培养儿童形成“代数的眼光”，发展儿童的代数思维。教师必须精心呵护儿童的准变量思维，让儿童不仅拥有思维的程序模式，更能初步形成思维的关系模式。准变量思维弥合了算術思维和代数思维的人为割裂，架设了从算术思维到代数思维的桥梁。

一、准变量思维的内涵及其培养意义

小学阶段的数学教学主要是算术的教学，即儿童主要是运行一种计算程序，将多个已知数量经由四则运算而得出未知数量的过程。例如中低年级段“一步计算的应用题”和“两步计算的应用题”等，在设计意图与解决方法上基本上都是遵循一种算术思维。运用算术思维解决数学问题主要运用数学的分析法和综合法，即“执果索因”和“由因导果”，其间夹杂着转化、倒推等解决问题的策略。直到教学“简易方程”，儿童才开始接触到一种全新的思维方式——代数思维，或者说是关系思维。和算术思维比较，代数思维是一种整体性的思维模式，所以在列方程时，学生对方程两边都含有未知数很不适应。在解方程时，学生对方程左右两边同时加或减去相同的数也很不适应，甚至有许多学生往往习惯性在方程前也加上“=”。因为在他们的心里，“=”号指示着一种运算程序、解题程序，他们对“=”号所指示的等价关系没有清晰的认知。基于此，笔者认为，在小学尤其是低中年级学段，教师应当有意识地将数学的“准变量特性”，融入到儿童日常学习中去，进而有效防止儿童的算术思维与代数思维间的断裂。

所谓准变量思维，是指儿童能够运用数学中所隐含的代数结构或代数关系，对数学中的问题进行准变量式、准代数式的思考。例如计算“54-26-8”，当儿童亦步亦趋地按照计算顺序进行数学计算时，儿童的思维方式是一种程序性的算术思维；而当儿童从整体的关系入手，减去一个数后再减去一个数，其实也就是减去了这两个数的和，那么尽管儿童的思考对象仍然是算术，但儿童却潜在地运用着一种关系思维，一种着眼整体、全局的准变量思维。由此不难发现，准变量既不是常量（静止不变的量），也不是变量（运动变化的量），而是介于常量和变量之间的一种数字关系或结构解释。而在这些数字关系或结构解释中却蕴含着鲜明的代数意义，其解决问题的过程体现着代数思维的色彩。可见，准变量思维标志着儿童代数思维的萌芽。

二、儿童准变量思维的培养路径

如上所述，准变量思维是儿童从算术思维过渡到代数思维的“最近发展区”。因此，在教学中，教师应引导儿童对数学的潜在关系或结构进行识别、表达、转换，让儿童提炼出数学问题中的等量关系或等量结构，从而让儿童展开准代数式的思考。

（一）基于教材，发掘准变量因子

小学数学中蕴含着丰富的准变量因子。在教学中，教师要善于发掘。准变量因子是萌发儿童准变量意识、培植儿童准变量思维的良好载体。为此，教师要向儿童提供准变量思考的丰富素材。例如一年级的“凑十法”“破十法”等就蕴含着准变量因子。

在教学苏教版小学数学教材第1册“8加几”时，笔者首先出示一组“8加几”的算式，让孩子们运用“凑十法”解决问题。然后笔者着重引领儿童理解“无论是8加几，都可以先给8加一个2，再从后一个数中减去一个2，让加上来的2和减去的2相互抵消”。由此，儿童获得一种基于相等关系的整体视角。同样，教学“7加几”“9加几”等都可以向儿童有意识地渗透准变量意识。又如苏教版小学数学教材第5册“两、三位数乘一位数”同样也蕴含着准变量因子。笔者在教学“32×12”时，首先创设一个情境，赋予“32×12”以实际意义，结合实际意义让儿童理解“32×12”的算理：10个32和2个32的和。然后笔者让儿童举例，在丰富的例子中形成儿童的准变量理解：只要12不变，不管前一个数是多少，都可以用前一个数乘10加上前一个数乘2。这里，一种左右两边相等的恒等变形意识被有效地植入教学之中。实践证明，这样的教学能够有效提高儿童的心算能力。

（二）基于儿童，萌发准变量意识

培养儿童的准变量思维不是一蹴而就的，在教学时，教师要善于捕捉机会，引导儿童的准变量思维，萌发儿童的准变量意识。

例如教学苏教版小学数学教材第9册“解决问题的策略——列举”时，笔者让学生从日常生活中两种常见的现象入手：打电话和寄贺卡。首先让学生尝试画图，寻求解决2个人、3个人、4个人通电话和寄贺卡的简单情形。其次引导儿童展开准变量思考：2个人之间互通电话总次数是1，3个人之间互通电话总次数是3，2个人之间互寄贺卡张数是2，3个人之间互寄贺卡张数是6……再次是引领儿童展开准变量推理：8个人通电话、寄贺卡，10个人通电话、寄贺卡……50人通电话、寄贺卡。尽管笔者没有引导儿童用抽象的数学符号表达关系，但是孩子们通过总次数与总人数之间的变化规律，能够自主地进行合情推理，并能够用具体的算式揭示出规律。再如教学苏教版小学数学教材第5册“找规律——间隔排列”时，当孩子们在解决具体问题，如“从1楼到6楼需要75秒，那么从1楼到10楼需要多少秒”时，笔者总是要求学生“退下来”，从1楼、2楼逐层进行探索。在孩子们自主建构，明晰了楼数、楼梯之间的关系后，他们自然能解决问题。笔者认为，其实这里就孕育着准变量思维。孩子们在解决这类问题的过程中，也就能萌生准变量意识。

（三）基于教学，引领准变量思维

在儿童数学教学中，教师不仅要敏锐地捕捉教材中的准变量因子，萌发儿童的准变量意识，而且更要清晰、明确地培养并引领儿童的准变量思维，以便让小学数学教学与中学代数教学进行无缝对接。在遵循儿童思维规律、把脉儿童认知基础和思维特质的基础上，教师可以引领儿童拾级而上，基于儿童的算术思维，引领儿童的准变量思维，并积极导向儿童的代数思维。

例如在教学苏教版小学数学教材第10册“认识方程”时，笔者首先让学生观察天平，天平平衡的秘密就在于“天平两边是相等的”，以此诱发儿童的准变量意识。然后，笔者从三个角度展开教学：一是将天平上左边有刻度的砝码换成没有刻度的勾码，让天平保持平衡；二是将天平右边有刻度的砝码换成没有刻度的勾码，让天平保持平衡；三是将天平左右两边的部分有刻度的砝码同时换成没有刻度的勾码，让天平保持平衡。如此，孩子们发现，未知数不仅可以在方程的左边，也可以在方程的右边，还可以既在方程的左边，同时也在方程的右边。尽管天平左右两边的砝码换成了勾码，但只要天平平衡，方程两边就相等，方程的等式性质就不会发生变化。一旦孩子们对方程有了这样的理性认识，在后续学习解方程时，他们对方程中未知数的位置，对于灵活运用、反复运用等式的性质解方程都会游刃有余。在这里，笔者充分利用天平建构了方程中等号的关系性质，发展了儿童关于等号的关系解释，让儿童识别了方程中等号的关系结构，让儿童洞识了方程的数学本质，由此引领儿童的准变量思维，发展儿童的代数思维。

总之，在儿童数学教学中，算术思维是儿童的现实发展水平 ，而代数思维是儿童的可能发展水平。基于准变量思维的诱导，能够将儿童由算术思维积极导向代数思维。因此，准变量思维完全可以看成是小学算术思维向初中代数思维的积极过渡，其操作核心是运用算术中所隐含的代数结构、关系，对算术问题展开简单初步的代数式思考。（作者单位：江苏省启东市桂林小学）

责任编辑：胡波波