导函数为含参数的二次型函数的讨论策略

云南 马孟华

近年来，纵观全国各省市高考压轴题中涉及“导函数为含参数的二次型函数”的题型屡见不鲜，该题型意在考查学生对“分类讨论”思想的理解与应用，同时兼顾考查由基本初等函数构成的复杂函数的单调性、极值、最值、参数取值范围问题和二次函数的图象和性质问题，综合性较强，难度较大，但却又是每年高考的重点考查内容.此类题型的难度往往体现在很难找到对含参数的二次函数进行分类讨论的切入点和讨论不完整上.作者就该问题对近年来高考中常见的“导函数为含参数的二次型函数”中对参数的讨论方法进行了研究、归纳和总结，探索出易于被广大师生所接受的解决策略.

作者通过2010—2017年高考中出现的“求导后导函数为含参数的二次型函数”的考题进行总结归纳，探索得到了“导函数为含参数的二次型函数”的讨论策略：即“先Δ(判别式)后开口”讨论法、“动根与定根的位置关系”讨论法，并在一线教学中实际应用，取得较好的效果.这两种讨论策略的提出解决了难以找到含参数的二次函数中对参数讨论的“切入点”和“讨论不完整”的问题，为高三考生解决此类问题提供了一般的处理方法.

一、问题的模型

1.高考试题展示

(Ⅰ)求b;

题二(2014·全国大纲卷文·21)已知函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0)．

(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；

(Ⅱ)若f(x)在区间(1,2)是增函数，求a的取值范围．

2.导函数为含参数的二次型函数的模型

基于以上两个高考题，纵观近几年全国各省市高考试题，通过研究发现：

导函数为含参数的二次型函数的原函数大致可以分为以下两类模型：

模型一：原函数是含参数的三次函数，求导后导函数为含参数的二次函数；

模型二：原函数是由一次、二次、反比例函数及对数函数等构成的复杂函数，求导后导函数呈现为分式函数结构，分子则是含有参数的二次函数.

在以上两种模型的背景下，我们总结出它们具有的共性是：

(1)求导之后，导函数中都具有含参数的二次型函数结构;

(2)含参数的二次型函数往往出现两类结构：一类是导函数为不可分解的二次型结构，即原函数求导后，呈现的二次型函数不可分解因式；另一类是导函数为可分解的二次型结构，即原函数求导后，呈现的二次函数可分解因式.

二、导函数为含参数的二次型函数模型中参数的讨论方法

由前面的试题分析并结合近年来各省市高考题，可以看到“导函数为含参数的二次型函数”的两类结构反映出：解决含参数的二次型函数的单调性、极值、最值、参数取值范围等问题，其核心是找到如何合理的对二次型函数中的参数进行分类讨论(即找到讨论的切入点和讨论的顺序性).

针对以上两类问题结构及各自的特点，通过对大量高考题的研究例证，本文总结出了解决求导后导函数为含参数的二次型函数的讨论策略.

1.导函数为不可分解的二次型结构用“先Δ(判别式)后开口”讨论法

【例1】见上文题二.

解：(Ⅰ)f′(x)=3ax2+6x+3，令f′(x)=0，其判别式为Δ=36(1-a)．

①当Δ=36(1-a)≤0，即当a≥1时，f′(x)≥0恒成立，故f(x)在R上单调递增；

当Δ=0时，虽然f′(x)=0有一解，但该解不是函数f(x)的极值点，故可以与Δ<0合并讨论.

②当Δ=36(1-a)>0，即a<1时，f′(x)=0有两根，分别为x1,x2，不妨设

这里先利用判别式Δ讨论f′(x)=0时根的情况，在确定了二次方程f′(x)=0时根的情况之后，进一步确定二次函数的开口方向，从而清晰的得出原函数的单调区间，故此时应将a<1分为a<0和0

当x∈(-∞,x1)∪(x2,+∞)时，f′(x)<0，当x∈(x1,x2)时，f′(x)>0，

所以f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)上单调递减，在(x1,x2)上单调递增；

综上所述，当a≥1时，f(x)在R上单调递增；

(Ⅱ)略.

【例2】(2015·山东卷理·21)设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2-x)，其中a∈R.

(Ⅰ)讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由；

(Ⅱ)若∀x>0,f(x)≥0成立，求a的取值范围.

令f′(x)=0，即2ax2+ax+1-a=0，

(2)当a≠0时，方程2ax2+ax+1-a=0为二次方程，故先考虑该方程的根的情况，由于二次方程的判别式Δ=9a2-8a=a(9a-8)，故作如下讨论：

(Ⅱ)略.

评析：当导函数为含参数的二次型函数不可分解因式时，先从判别式Δ的正负性来对二次方程的根的个数展开第一次讨论；在确定了二次方程的根的个数的情况下，对二次函数的开口方向进行第二次讨论(即对导函数中的二次函数的二次项系数进行分类讨论)，这样问题就可化归为熟悉的二次函数函数值的正负性判断的问题，解决这一问题就解决了函数的单调性、极值以及最值问题.这样的“先Δ(判别式)后开口”讨论法比较清晰地找到对参数进行分类讨论的切入点和依据，逻辑思路严密，讨论不重不漏，具有完整性.值得注意的是，此类问题尽管化归为较为熟悉的二次函数问题，但由于对所含参数进行分类讨论造成了较大的难度以及计算上的复杂性导致该题型属于区分度较高的难题.但若把握好在“导函数为不可分解的二次型结构”中使用“先Δ(判别式)后开口”讨论法就可以有效的解决这类难题.

2.导函数为可分解的二次型结构用“动根与定根的位置关系”讨论法

【例3】见上文题一.

(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；

(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围.

解：讨论f(x)的单调性，必先求导得f′(x)=x2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a).

令f′(x)=0，得x=2或x=2a，此时观察到导函数f′(x)是可分解的二次函数，故考虑动根x=2a和定根x=2的相对位置关系(即三种位置关系：(1)0<2a<2；(2)2a=2；(3)2a>2)来找到讨论的切入点，讨论方法如下：

(1)当0<2a<2，即0

f(x)在(-∞,2a)和(2,+∞)上单调递增，在(2a,2)上单调递减；

(2)当2a=2，即a=1时，f′(x)=(x-2)2≥0在R上恒成立，故此时f(x)在R上单调递增；

(3)当2a>2，即a>1时，f′(x)=x2-2(1+a)x+4a开口向上，此时f(x)在(-∞,2)和(2a,+∞)上单调递增；在(2,2a)上单调递减；

综上所述,当0

当a=1时，f(x)在R上单调递增；

当a>1时，f(x)在(-∞,2)和(2a,+∞)上单调递增；在(2,2a)上单调递减.

(Ⅱ)略.

评析：当导函数为可以分解因式的含参数的二次型函数时，先根据分解因式后二次方程的两个根的位置关系(通常有三种位置关系)为讨论切入点进行第一次分类讨论；在两根位置关系确定的情况下对二次函数的开口方向进行第二次讨论.这样的“动根与定根的位置关系讨论法”首先抓住了讨论的核心，后续对二次函数开口方向讨论也就顺理成章了，这样逐级先后对参数的讨论思路会使“导函数为可分解的二次型结构”的讨论依据和切入点也较为直观，逻辑层次清晰，避免了讨论不完整、思路混乱而导致的诸多问题.

三、导函数为含参数的二次型函数模型中参数的讨论方法的再验证

读者可以利用以上两种对参数的讨论策略解决以下高考题：2010年山东理科22题、2010年辽宁文科21题、2010年重庆理科18题、2011年辽宁理科21题、2011年天津文科21题、2012年天津文科20题、2013年山东文科21题、2014年安徽理科18题、2014年山东文科20题、2015年江苏理科19题、2015年重庆理科20题、2015年四川理科21题、2016年山东理科20题、2016年四川理科21题、2017年天津文科19题.

四、对高考复习备考的指导意义