例析数学核心素养在数列中的渗透

2018-07-27山东王中华

教学考试(高考数学) 2018年2期

山东王中华

基于学生核心素养的教育改革逐渐引起全球关注，成为许多国家或地区制定教育政策、开展教育实践的基础.现代数学的发展表明，数学的研究源于对现实世界的抽象，通过基于抽象结构的符号运算、形式推理、一般结论等，理解和表达现实世界中事物的本质、关系与规律．数学素养也是现代社会每一个公民应该具备的基本素养．教育部《普通高中数学课程标准》修订组组长王尚志教授在“关于普通高中数学课程标准修订”中，提出中国学生在数学学习中应培养好数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六大核心素养，用数学的眼光观察世界，发展数学抽象、直观想象素养；用数学的思维分析世界，发展逻辑推理、数学运算素养；用数学的语言表达世界，发展数学建模、数据分析素养．增强创新意识和数学应用能力．数列来源于人类的活动中,在现实生活中有着广泛的应用,是培养学生核心素养的重要题材,本文以数列为背景谈谈数学核心素养的应用与渗透.

一、数学抽象

数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程．数学抽象是数学的三大特征之一,可谓核心中的“核心”,数学抽象表现在数学概念、命题、方法和体系等四个方面.数学抽象的培养应当贯穿于数学学习的始终.主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征.

例1.(2017·全国卷Ⅰ理·12)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是

( )

A.440_____________________ B.330

C.220 D.110

【解析】设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，依此类推．

解得n≥14且n∈N*，即N出现在第13组之后,

即2k-1=2+n(k∈N*，n≥14)，k=log2(n+3),

解得n的最小值为n=29，k=5，

【名师点睛】本题非常巧妙的将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项与求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.本例的解题关键是对新的数学情景的理解及对新概念的提炼升华，考查考生的数学抽象素养．

变式训练：

( )

A.0 B.-1

C.1 D.2

二、逻辑推理

逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程．主要包括两类：一类是从小范围成立的命题推断更大范围内成立的命题的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从大范围成立的命题推断小范围内也成立的推理，推理形式主要有演绎推理．在实际情境和数学情境中，能够发现蕴含的数学规律，提出有价值的数学问题，并予以数学表达；能够理解归纳、类比是发现和提出数学命题的重要途径．对于给定的与学过知识有一些关联的数学命题，能够通过对条件与结果的分析，探索论证的思路，选择合适的论证方法予以证明，并能用准确的数学语言表述论证过程．

例2.(1)(2017·河北衡水中学高三摸底联考·16)如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行;数字2,3出现在第2行;数字6,5,4(从左至右)出现在第3行;数字7,8,9,10出现在第4行，依此类推，则第20行从左至右的第4个数字应是_______．

(2)四面体数为：1，4，10，20，35，56，84，120，….它们是恰能垒成正四面体堆垛的大小相同的小球的个数，猜想通项公式为.

【名师点睛】第(1)题考查的是归纳推理、等差数列的前n项和公式；归纳推理是从特殊事例中归纳出一般性结论的推理，解题关键点在于从有限的特殊事例中寻找其中的规律，要注意从运算的过程中去寻找，注意运算的准确性.第(2)题既有分解的思想又有组合的意识,收到了避繁就简,化难为易的效果.利用分解或组合的方法可以把一些看似无规律无目标的问题变得有规律可循，有了明确的解题目标.把陌生的问题转化为熟悉的数学模型，化不可解、难解的问题为可解、易解的问题.

变式训练：

下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是________.

三、数学建模

数学建模是对现实问题进行抽象，用数学语言表达和解决问题的过程．具体表现为：在实际情境中，从数学的视角提出问题、分析问题、表达问题、构建模型、求解结论、验证结果、改进模型，最终得到符合实际的结果．新课程标准对高考水平数学建模要求：能够在熟悉的情境中，发现问题、转化为数学问题，知道数学问题的价值与作用．能够选择合适的数学模型表达所要解决的数学问题；理解模型中参数的意义，知道如何确定参数，建立模型，求解模型；能够根据问题的实际意义检验结果，完善模型，解决问题．能够在类似的情境中，通过建模的过程，理解建模的意义．能够运用数学语言，表述数学建模过程中的问题以及解决问题的过程和结果，形成研究报告，展示研究成果．在交流的过程中，能够用模型的思想说明问题．

例3.(1)(2017·福建4月质检)某公司生产一种产品，第一年投入资金1 000万元，出售产品收入40万元，预计以后每年的投入资金是上一年的一半，出售产品所得收入比上一年多80万元，同时，当预计投入的资金低于20万元时，就按20万元投入，且当年出售产品收入与上一年相等.

(Ⅰ)求第n年的预计投入资金与出售产品的收入；

(Ⅱ)预计从哪一年起该公司开始盈利？(注：盈利是指总收入大于总投入)

【解析】(1)(Ⅰ)设第n年的投入资金和收入金额分别为an万元，bn万元.

依题意得，当投入的资金不低于20万元，

令an<20,得2n-1>50,解得n≥7,

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知当1≤n≤6时，总利润

f(3)<0,f(4)>0，

所以，当2≤n≤3时，Sn-1>Sn；

当4≤n≤6时，Sn-1

又因为S1<0,S6=-528.75<0，

所以，当1≤n≤6时，Sn<0，即前6年未盈利，

当n≥7时，Sn=S6+(b7-a7)+(b8-a8)+…+(bn-an)=-528.75+420(n-6)，令Sn>0，得n≥8.

综上，预计该公司从第8年起开始盈利.

(2)因为函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)有两个零点1，2，

所以f(x)=a(x-1)(x-2)=a(x2-3x+2),

即数列{an}为等比数列，且通项公式为an=2n.

变式训练：

(2017·四川资阳4月模拟)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲(水生植物名)生一日，长三尺；莞(植物名，俗称水葱、席子草)生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为________日．

(结果保留一位小数，参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48)

解得2n=6或2n=1(舍去)．

四、数学运算

数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题．主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果．新课程标准对高考水平数学运算要求：能够在数学情境中明晰运算对象，提出运算问题，探究运算的方向和目标．能够针对运算问题，正确分析运算条件、确定运算方向；能够合理选择运算方法、设计运算程序，综合利用运算法则解决问题．能够理解运算法则与运算方法之间的关系，知道运算是一种演绎推理；能够在综合利用运算方法解决问题的过程中，体会程序化思想的意义和作用．在交流的过程中，能够借助运算探讨问题．

(Ⅰ)求数列{an}和数列{bn}的通项公式；

(Ⅱ)将数列{bn}中的第a1项，第a2项，第a3项，……，第an项删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{cn}，求数列{cn}的前2 013项和.

因为b2,b4为方程x2-20x+64=0的两个不相等的实数根.

所以b2+b4=20，b2·b4=64,

又因为数列{bn}为公比大于1的等比数列，

解得b2=4，b4=16,所以bn=2n.

(Ⅱ)由题知将数列{bn}中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列{cn}中的奇数项与偶数项仍分别成等比数列，首项分别是b1=2，b2=4,公比均是8,

T2013=(c1+c3+c5+…+c2013)+(c2+c4+c6+…+c2012)

【名师点睛】课程标准及高考大纲对数学运算的要求较高，有三个层次：第一层次是“会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理”，即运算的正确性；第二层次是“能根据问题的条件，寻求与设计合理、简捷的运算途径，能根据要求对数据进行估计和近似计算”，即运算的合理性和迅速性；第三层次是“运算求解能力是思维能力与运算技能的结合”，即运算的思维性.如本例在求解与等比数列有关的问题时，除了要灵活地运用定义和公式外，还要注意挖掘隐含条件，利用性质，以减少运算量提高解题速度．方程观点以及基本量(首项和公比)思想是求解等比数列问题的基本方法：在a1，q，n，an，Sn五个量中，知三求二．在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q=1与q≠1分类讨论，防止因忽略q=1这一特殊情形而导致解题失误．

变式训练：

设n∈N*,xn是曲线y=x2n+2+1在点(1，2)处的切线与x轴交点的横坐标.

(Ⅰ)求数列{xn}的通项公式；

【解析】(Ⅰ)y′=(x2n+2+1)′=(2n+2)x2n+1，

曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线斜率为2n+2.

从而切线方程为y-2=(2n+2)(x-1).令y=0，

(Ⅱ)证明：由题设和(Ⅰ)中的计算结果知

五、直观想象

直观想象是指借助空间想象感知事物的形态与变化，利用几何图形理解和解决数学问题．主要包括：利用图形描述数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路．新课程标准对高考水平直观想象要求：能够在实际的数学情境中，想象并构建相应的几何图形，借助图形提出数学问题，发现图形与图形、图形与数量的关系，探索图形的运动规律．能够掌握研究图形与图形、图形与数量关系的基本方法；能够借助图形性质探索数学规律；能够通过计算、分析、论证，解决实际问题或数学问题．能够通过直观想象提出数学问题；能够用图形探索解决问题的思路；能够形成数形结合的思想，体会几何直观的作用和意义．在交流的过程中，能够利用直观想象探讨数学问题．

例5.已知数列{an}.

(Ⅰ)若an=n2-5n+4，

(ⅰ)数列中有多少项是负数？

(ⅱ)n为何值时，an有最小值？并求出最小值.

(Ⅱ)若an=n2+kn+4且对于n∈N*，都有an+1>an.求实数k的取值范围.

【解析】(Ⅰ)(ⅰ)由n2-5n+4<0，解得1

因为n∈N*，所以n=2,3.

所以数列{an}中有两项是负数，即为a2,a3.

(ⅱ)解法一:可将an看作函数f(n)=n2-5n+4(n∈N*),

函数f(n)开口向上，在对称轴n=2.5上有最小值.

又n∈N*，所以当n=2,n=3时，an有最小值，

最小值为a2=a3=-2.

又n∈N*，所以当n=2,n=3时，an有最小值，

最小值为a2=a3=-2.

(Ⅱ)若an=n2+kn+4且对于n∈N*，都有an+1>an，

则an是递增数列.

可将an看作函数f(n)=n2+kn+4(n∈N*).

变式训练：

(1)若an=3n2-(9+a)n+6+2a(其中a为常数)，若a6和a7两项中至少有一项是an的最小值，则实数a的取值范围？

(2)某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m的值为

( )

A.5 B.7 C.9 D.11

六、数据分析

数据分析是指从数据中获得有用信息，形成知识的过程．主要包括：收集数据提取信息，利用图表展示数据，构建模型分析数据，解释数据蕴含的结论．新课程标准要求学生能够用适当的统计分析方法对收集来的大量数据进行分析，提取有用信息和形成结论而对数据加以详细研究和概括总结的过程.这一过程也是质量管理体系的支持过程.在实际应用中，数据分析可帮助人们作出判断，以便采取适当行动.

例6.将正△ABC分割成n2(n≥2，n∈N)个全等的小正三角形(图1，图2分别给出了n=2,3的情形)，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于△ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别依次成等差数列，若顶点A,B,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)=2，f(3)=________，……，f(n)=________.