浅谈二次函数与一元二次方程的关系

何魏

摘要：函数是初中数学的一个重要板块内容，特别是一元二次函数，因为它和数学中的其他板块有着密切的联系，比如说代数和三角函数和几何之类的，要想学好数学，就必须学好这几个基础要素，特别是一元二次函数，因为它是学好其他环节的基础，现在的中考题往往是结合一元二次函数。几何图形和生活中的例子来考察学生的综合能力，但是这对初中生来说具有一定的挑战性，学生对这些已经产生了恐惧心理。本论文就从一元二次函数和一元二次方程的关系进行解读，为考生的归纳复习提供建议和参考。

关键词：二次函数；二次方程；关系；初中数学；函数

在初中数学学习中，我们好多的同学，都存在一个认为是最难的知识点，那就是：“二次函数”。没错，不仅仅是学生觉得二次函数难，包括大多数从事初中数学教学的一线教师也会有同样的感受。那么，怎样才能学好二次函数，就成为了初中学生和老师最最苦恼的问题。二次函数之所以难，我认为二次函数难就难在函数本身就是一个比较抽象的知识，再加学生接触函数时间还不长的，同时二次函数还有三个参数，比一次函数和反比例函数都多，还有就是二次函数的题目不仅仅考它本身的知识，它还可以把初中所有的代数和几何知识放入其中，同时二次函数还是我们后面学习其它函数的基础；可见，二次函数成为各个地区中考的压轴题就变成了理所当然的事。

既然二次函数题可以把初中所有的代数和几何知识放入其中，因此，把二次函数与其它知识紧密联系起来，是我们老师和学生必须掌握的基本数学原理。在这里，我就浅谈一下二次函数和一元二次方程之间的关系以及怎样运用一元二次方程的知识来解决一些二次函数的题目，希望能给同学们和老师一点点启示和收获。

一、二次函数与一元二次方程形式上的联系与区别

我们非常清楚的知道，形如：ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，且a≠0）的方程是一元二次方程，而形如：f（x）=ax2+bx+c，（a、b、c为常数，且a≠0）。认真观察一元二次方程：ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，且a≠0）和二次函数：f（x）=ax2+bx+c，（a、b、c为常数，且a≠0）， 不难发现，它们在形式上几乎相同，差别也只是一元二次方程的表达式等于0，而二次函数的表达式等于y（变量） 。为什么会这样？那是因为当二次函数中的变量y 取0时，二次函数就变成了一元二次方程。

二、二次函数与一元二次方程在二次函数图像上的关系

正是因为二次函数与一元二次方程在形式上的类似，使得二者在二次函数的图像上的关系格外密切。二次函数的图像是一条抛物线，在求抛物线：f（x）=ax2+bx+c与x 轴的交点坐标时，令y=0，即：ax2+bx+c=0，二次函数一下就变成了一元二次方程，再求出该方程的解，这个方程的解便是抛物线与x 轴的交点坐标的横坐标。由于一元二次方程ax2+bx+c=0的根有三种情况①Δ=b2-4ac>0时有两个不等的实数根；②Δ=b2-4ac=0时有两个相等的实数根③Δ=b2-4ac<0时没有实数根；相应地：抛物线f（x）=ax2+bx+c与x 轴的交点情况有3种：①当Δ=b2-4ac>0时，抛物线与x 轴有两个交点②当Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x 轴有一个交点③当Δ=b2-4ac<0时，抛物线与x 轴有没有交点。所以，一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数f（x）=ax2+bx+c的图像与x 轴的交点的横坐标；二次函数f（x）=ax2+bx+c的图像与x 轴的交点情况与一元二次方程：ax2+bx+c=0的根情况有关。

二次函数y=ax2+bx+c抛物线与x轴的两交点的横坐标x1，x2（x1

三、应用一元二次方程解决二次函数问题

正是因为一元二次方程与二次函数无论在形式上，还是在图形上，关系都十分紧密，二次函数的图像是一条曲线——抛物线 ，二次函数的点是坐标表示；一元二次方程的解是点，与x轴有二个交点或一个交点或无交点 ；所以在解决很多二次函数题时，经常都要应用一元二次方程的知识。这里，我就列举几个典型题型：

例题（1）

求证：二次函数y=3x2+（2m+3）x+2m2+1的值恒为正。

分析：要证明该函数的函数值恒为正，只要能够证明到该抛物线的开口向上且与x 轴没有交点即可，二次函数y=ax2+bx+c中，当a >0时，图像开口向上；当Δ=b2-4ac<0时，抛物线与x 轴没有交点。

所以本题只需证明到a >0同时Δ=b2-4ac<0。就可

证明：y=3x2+（2m+3）x+2m2+1

Δ=（2m+3）2-12（2m 2+1）=-20（m-10）2-5，

∵（m-10）2≥0，

∴-20（m-10）2≤0，

∴Δ=-20（m-10）2-5<0，

∴拋物线与x 轴没有交点，

∵3>0，∴抛物线开口向上，

∴二次函数y=3x2+（2m+3）x+2m2+1的值恒为正.

例题（2）：二次函数的图象过点（-1，0）、（3，0），且与y 轴交于（0，3），求该二次函数的解析式。

分析：本题除了可用二次函数的交点式和一般式来解外，还可以用一元二次方程的根与系数的关系，即韦达定理来解决该题。

过程如下：

设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c， ∵抛物线与y 轴交于（0，3），

∴c=3，

∵二次函数的图象过点（-1，0）、（3，0），

∴一元二次方程：ax2+bx+c=0的两个根为x1=1，x2=3

∴a=-1， b=2，∴

即：二次函数的解析式为：y=-x2+2x+3

例题（3）： 如图，，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（x1，0）， B（x2，0） ， 且x1+x2=4， x1x2=13。

（1）求抛物线的代数表达式；

（2）设抛物线与y轴交于C点，求直线BC的表达式；

（3）求△ABC的面积.

解：（1）解方程组x1+x2=4x1x2=13 ， 得x1=1，x2=3.

故-12+b+c=0-32+3b+c=0 ，解这个方程组，得b=4，c=-3.

所以，该抛物线的代数表达式为y=-x2+4x-3.

（2）设直线BC的表达式为y=kx+m.

由（1）得，当x=0时，y=-3，故C点坐标为（0，-3）.

所以m=-33k+m=0 ， 解得k=1m=-3

∴直线BC的代数表达式为y=x-3

（3）由于AB=3-1=2，OC=│-3│=3.

故S△ABC=12AB·OC=12×2×3=3.

例题（4）.在体育测试时，初三的一名高个子男生推铅球，已知铅球所经过的路线是某二次函数图像的一部分（如图），若这个男生出手处A点的坐标为（0，2），铅球路线的最高处B点的坐标为B（6，5）.

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）该男生把铅球推出去多远？（精确到0.01米）.

分析：这是一个实际问题，由于推出的铅球不可能出现负数，所以在求出函数解析式的时候要注意自变量x取值范围。

解：（1）设y=a（x-6）2+5，則由A（0，2），得2=a（0-6）2+5，得a=-112.

故y=-112（x-6）2+5.（x≥0）

（2）由 -112（x-6）2+5=0，得x1=6+215，x2=6-215.

结合图像可知：C点坐标为（6+215，0）

故OC=6+215≈13.75（米）

即该男生把铅球推出约13.75米.

我们通过上面的4个例子，你得到了什么启示？又有哪些收获？正是由于二次函数与一元二次方程有着密切的关系，所以在解决二次函数问题时经常会应用二元一次方程的知识。我们一定要牢牢掌握好二次函数与一元二次方程的密切关系，在面对二次函数时，巧妙的运用一元二次方程的知识来解决二次函数中的问题。使我们能更好的理解二次函数的数学原理以及掌握其解题技巧。

（作者单位：四川蓬安县茶亭乡中心小学校 637800）endprint