透视数学运算素养加强试题命制探究

2018-07-27江苏郭建华

教学考试(高考数学) 2018年2期

江苏郭建华

《普通高中数学课程标准》指出：“命题就是依据内容标准和学业质量标准，对学生数学核心素养达成水平的评价，在处理好数学核心素养与知识技能的关系的同时，充分考虑对教学的积极引导作用.”因此，试题的编制既要求关注学生的数学思考、情感态度、个别差异，还要求关注命题素材的生活性、学段内容的整合性等，多维度、准确地评价学生，促进学生全面发展，让不同层次的学生在数学上得到不同的发展.始终以学生发展为本，落实“立德树人”的根本任务，培养和提高学生的数学核心素养.2017年4月，上海市教委在全国率先发布了《上海市中小学教师专业(专项)能力提升计划》，明确提出了命题能力是中小学教师的一项重要能力.因此，命题不但是一项理论性与技术性都十分强的工作，而且是践行数学核心素养的有效途径之一.

数学运算是六个数学核心素养之一，它是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.它主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等.同时还指出通过运算促进数学思维发展，形成程序化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.因此，高中数学试题的命制不但要遵循命题原则，而且还要通过试题命制透视数学运算素养的内涵和水平.

下面，笔者结合自己的认知和实践，从数学运算的视角借助一些典型的例题谈谈高中数学试题命制的一些思考.

一、践行数学运算素养选择命题视角

1.理解运算对象，注重数学思维训练

【例1】已知函数f(x)=x2-mx+m-1，存在整数a,b(其中a,b是常数，且a

依据数学运算素养的水平划分，运算对象要赋予它存在的环境，根据不同的数学情景把运算划分为三个水平，即能够在熟悉的数学情境中了解运算对象；能够在关联的情境中确定运算对象；能够在综合的情境中，把问题转化为运算问题，确定运算对象和运算法则，明确运算方向.每个运算水平对学生的思维训练的要求是不一样的，因此，试题的编制一定要以运算素养的三个水平为依据，创设适当的情景，让学生探寻运算对象，识别运算对象，理解运算对象，在理解运算对象的基础上，达到训练学生思维，提升学生分析问题和解决问题的能力.例1的运算对象应指向二次不等式a≤f(x)≤b，该不等式不是被“解”出来的，而是要求学生综合“分析”二次函数的图象和性质，进一步寻找“算”的对象，找到它的等价形式，进而确定运算对象.通过理解运算对象，揭示知识发生、发展的深化过程，充分体现“少算多思”的命题理念.

2.掌握运算方向，突出通性通法考查

问题原型源自苏教版《普通高中课程标准实验教科书·数学5(必修)》第63页“思考·运用”第11题.

在等差数列{an}中，已知Sp=q，Sq=p(p≠q)，求Sp+q的值.

高考数学试题很大一部分源自教材，以基础知识、基本能力、基本思想方法为考查重点，特别是运算更注重通性通法的考查，充分体现教材的基础性作用，让命制的试题有根可寻.试题的命制尽量贴近学生的最近发展区，通过对运算方向的探寻，促进学生掌握解题的基本知识，提升解题的基本技能，丰富解题的基本经验.

由于该题涉及到字母的运算，对学生的运算能力和逻辑思维能力提出了更高的要求，增加了对运算方向选择的难度.该题具有明显的区分度，能较好的甄别学生知识的掌握程度，更能突出考查学生的运算能力.

3.探究运算思路，追求解法自然多样

问题原型源自2015年高中联赛四川赛区预赛试题.

在新课程理念的指导下，试题的命制一定要突出能力立意，具有丰富的背景，同时融合数学核心素养的理念，而数学竞赛试题具有这些特点，它重在考查学生能力，因此，通过对竞赛试题的研究，结合新课程理念和高考的要求，将其改编并降低难度，也是很好的一个命题的途径.另外试题的命制，要充分考虑个体的差异，做到试题入口宽，解法自然多样，让更多的学生都有求解的想法和运算的思路，通过对运算思路的选择和比较，以及运算时间的多少，可以甄别学生运算能力的差异，进而实现试题的考查功能.

解法1是将原问题进行等价转化为求函数的值域问题，通过观察该函数为单调函数，进而迅速求解.解法2是借助于二次函数的图象和性质求解.解法3是利用换元将无理式化为有理式，充分考虑到式子的几何意义，再借助线性规划的知识求解.解法1的求解最为简单，它建立在很明显的可以判断出函数单调性的基础上，否则应选择其他解题方法，解法3虽然繁琐一点，但是它是求解这类问题的通法.由解法3我们可以看出该类问题更本质的东西，同时也寻求到命题的根源和依据就是a2+b2=4，不仅能从它的几何意义的视角命制试题，还可以从它的代数式结构编制试题，力争在融合新课程理念的同时，关注区分度和体现创新性.探究运算思路是数学运算素养内涵的具体表现之一，其目的是培养学生的应变能力.

4.设计运算程序，深化数学认知结构

问题原型源自苏教版《普通高中课程标准实验教科书·数学4(必修)》第101页“思考·运用”第11题(2).

处理三角形中的角的问题，其程序化思维的过程应为：首先判断三角形的内角是锐角还是钝角，再利用三角形中的三角函数关系求解.如果出现多解问题，再利用第三个角的正弦值检验即可.当然判断方法不止一种，不管哪种方法，都要设计运算程序，试题编制时要追求解题过程的简洁明了，要为学生提供探究解决问题的程序化思维的素材，要深化学生的数学认知结构，优化学生的思维.高考的很多题目都源自于教材例习题的简单变式、重组或拓展，或者对教材内容的迁移等.因此，教师要回归教材，把教材作为一种重要的命题资源，认真研究教材例习题，充分发挥教材例习题的导向功能.数学运算素养的内涵和水平划分中明确指出：通过运算促进数学思维发展，形成程序化思考问题的品质，在交流中，能够用程序化的思想理解与表达问题，构造运算程序，解决问题，也为命制设计运算程序的题目提供更多的参考指标.

5.选择运算方法，提高问题解决能力

选择恰当的命题视角和适宜学生思维发展的素材来命题，为学生搭建更多思维的平台，能够选择更多的运算方法，拓展学生的思维，深化学生的理解，提升学生解决问题的能力.凸显出试题考查的功能，依据运算水平的划分，让不同的解法透视出不同层次学生对问题的理解，以此甄别学生的学习水平.

解法1对学生的思维要求较高，需要学生通过对试题结构的分析和模式的识别，把解题方法指向基本不等式，需要连续两次使用基本不等式，两次等号取得的条件要保持一致是解题的关键，其解法更符合“多想少算”的命题基本原则.解法2通过题设条件结构联想到三角换元，再利用同角的三角函数关系(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα进行换元，把双变量函数最值问题转化为单变量函数最值问题，最后化归为学生熟悉的分式函数求最值问题，更能体现出学生的创新能力.解法3通过分析条件和目标的差异，观察字母m,n的次数，对目标平方处理，转化为求二次函数的最值问题.后两种运算方法都体现了转化与化归的思想，通过试题情景的设置，为学生寻找运算方法提供方向，不断地让学生积累数学基本活动经验，为以后解题选择好的运算方法做铺垫.

二、加强运算命题探究促进教学研究

数学运算是高中数学六大核心素养之一，提升学生的运算能力依然是一线数学教师值得探索和思考的课题.教师平时的教学中不但要关注学生运算的培养，而且还要加强运算命题的研究，深刻理解数学运算素养的内涵.不断丰富教学内容，拓展专业修养，开展创造性教学，培养学生的运算素养，提高学生的运算能力.

1.实现课堂教学效果最优化

根据运算素养的内涵和水平划分，如何通过题目命制达到测试所能实现的目标，如何从命题评价的视角来指导教师的教学观念和方法，如何在解题教学中呈现解题目标，培养学生的运算素养，提升运算能力，如何从命题和评价的角度看待学生的运算，实现课堂教学效益最大化等，这些都要归结为加强运算命题的研究，同时进一步探究高中数学命题与课堂教学的相关性，特别是对学生运算的指导，如果教师知道怎么命题，就能抓住问题本质，不会只是就题论题，这样才能让教师的教和学生的学更为合理有效，甚至高效，为课堂教学有效性提供理论支撑和方法指导.

2.实现课堂训练实效最大化

很多高中生的运算能力还是比较弱的，具体表现在运算对象的理解，运算法则的掌握，运算思路的探究，运算方法的选择，运算程序的设计等，运算能否优化直接影响解题的速度和准确率.因此，在课堂训练中应积极关注学生运算素养的培养，为运算命题的研究提供更多的素材.课堂上教师如果能利用掌握的命题技术和方法，对试题进行适当的变式拓展和延伸探究，引领学生深度思考，这样既能使学生对知识有深层次的理解，又能让学生在探索的过程中学会选择科学的运算方法，发现其蕴含的数学方法和规律，从而激发学生的学习兴趣，提高学生的学习信心，激活学生的数学思维，进而将运算素养真正的落在课堂上，实现课堂效益的最大化，更有利于摆脱题海战术.

3.实现命题评价方法最优化

加强运算命题的研究，最后还要指向命题的评价，让命题的评价方法达到最优化，为教师的教和学生的学带来更多的帮助和指导，也为运算命题研究带来更多的思考.但是大部分教师平时的命题还是停留在经验的层面上，仅凭感觉去命题，至于题目所考查的功能如何、难度如何、信度如何、效度如何、价值如何等，并没有过多的思考，另外，很多考试大部分存在这样一种现象：只管测不管评.对教师而言最重要的是测试数据的分析，通过测试后对学生数据的解读，指明学生知识的掌握程度，为教师以后的教学带来决策和依据.可见解读测试数据和重视命题的评价是命好试题的前提.