行列式计算方法在初等数学中的应用综述

◎刘燕玉

(铜仁学院大数据学院，贵州　铜仁　554300)

行列式是高等代数中的一个重要内容，它在许多的领域中都有非常广泛的应用，如解行星运动的微分方程组、运筹学中线性规划、网络理论、多元统计分析、应用回归分析等[1-9].本文论述利用行列式的计算方法解决一些初等数学问题，从而说明用高等数学理论与方法解决初等数学中较难的问题，其方法更简便，同时也更有技巧性[1].

一、利用行列式证明等式与不等式

根据行列式的性质，我们可以构造行列式来证明等式和不等式.下面分别列举一个例子来说明.

例1已知a+b+c=0，求证a3+b3+c3=3abc.

证明令D=a3+b3+c3-3abc，则

命题得证.

例2已知a≥b≥c≥0，求证b3a+c3b+a3c≤a3b+b3c+c3a.

证明令D=a3b+b3c+c3a-(b3a+c3b+a3c)，则

=b(c-a)(b+c)(b-c)-a(c-b)(a+c)(a-c)

=(b-c)(a-c)(a+b+c)(a-c)，

而a≥b≥c≥0，则D≥0，命题得证.

二、利用行列式分解因式

我们可以利用行列式的性质对多项式分解因式.下面列举一个例子来说明.

例3分解因式：(cd-ab)2-4bc(a-c)(b-d).

=(ab+cd-2bc)2.

三、行列式在几何中的应用

(一)用行列式表示直线方程、平面方程与圆的方程

(1)

同理，若平面有三个不同的已知点Α(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，圆O过A，B，C，则圆O的方程为

(二)用行列式判别三线共点与三点共线

平面内三条互不平行的直线

L1：a1x+b1y+c1=0，

L2：a2x+b2y+c2=0，

L3：a3x+b3y+c3=0

(三)用行列式表示三角形面积

(2)

的绝对值.

(四)利用行列式表示平面法向量