加权平方损失下一类正态均值矩阵的估计

刘 薇

（湖南财政经济学院 数学与统计学院，长沙 414205）

1 问题的提出

假设：

其中X和S是独立的，Θ是m×p阶的未知正态均值矩阵，C是已知的m阶正定矩阵，Σ是p阶的未知协方差阵，Wp(Σ，k)表示自由度为k，均值为kΣ且维数为 p的Wishart分布，符号⊗表示矩阵之间的Kronecker乘积，对于方阵A，A＞0表示A是正定矩阵，A≥0表示A是非负定矩阵。模型（1）可看做是MANOVA模型或者多元线性模型（见文献[1,2]）。

基于(X，S)并假设Σ未知，本文将在加权损失函数（2）下考虑均值矩阵Θ的估计问题，并把相关结果应用到改进协方差的估计问题中去。显然，模型（1）中参数矩阵Θ的最大似然估计是ML=X。对于Θ的一个估计，如果 RW(，Θ)≤RW(ML，Θ)，称是最小最大估计。事实上，许多文献考虑了模型（1）中的Θ的估计问题。比如：文献[3]考虑了m=1，Q=Im且Σ已知的情形；在Σ未知的情况下，文献[4]处理了m=1，Q=Im的情形；文献[5]研究了 p=1，Q=Im且 Σ=σ2（σ2未知）的情形；在 Σ 未知的情况下，文献[1]考虑了m＞p+1，Q=Im情形，上述文献都假设权重Q为单位阵。据本文所知，除了文献[6，7]几乎没有相关文献处理Q≠Im情形，然而，权重Q的引入不仅推广了已有的结果，更为重要的是它揭示了均值矩阵估计与协方差阵估计之间的本质关系。文献[8，9]指出了这种关系但他们并没有作进一步的研究。而文献[6]研究了这个问题，但是文献[6]利用正态分布和Wishart的性质仅考虑了Q为对角阵且假定C=Im，本文的主要目的是考虑更为一般的权重Q和矩阵C，进而进一步推广已有的结果。

2 风险的无偏估计和Efron-Morris估计

在模型（1）下，考虑如下的Efron-Morris估计[9]：

当 Q=C=Im时，在损失（2）下，文献[2,9]获得了α的最优解为：

当 C=Im,Q∶=W=diag(w1，…，wm)时，文献[6]考虑了m＞p+1情形下的Efron-Morris估计，并导出了α的最优解，即：

本文只要求在C＞0，Q≥0的假设下，考虑m＞p+1情形下的Efron-Morris估计。不同于文献[6]，本文利用风险的无偏估计来研究Efron-Morris估计（4）。注意到当C≠Im,Q≠Im时，本文在统一的框架下获得EM风险的无偏估计是困难的（见文献[9]）。因此，本文需要导出更为广义的EM风险的无偏估计，并利用它们分别去获得Efron-Morris估计为最小最大估计所需要的条件。

为方便，当 m＞p+1时，把Efron-Morris估计（4）记为：

其中 G1=-αX(X′X)-1S 。显然，在加权损失（2）下，的风险函数可表示为：

不同于文献[6]，本文将使用式（10）去导出m＞p+1情形下的Efron-Morris估计为最小最大估计的条件。为了获得这个条件，本文还需如下的引理。

引理1：设对称矩阵 A1，B1，C1∈Rn×n的特征根分别为a1≥…≥an，b1≥…≥bn和c1≥…≥cn，则：

（1）若 A1≥0，B1≥0，C1≥0 ，有：

若 A1＞0，B1＞0，C1＞0，有：

anbntr(C1)≤tr(A1B1C1)≤a1b1tr(C1)

证：对于（1）的证明见文献[10]中的定理3，而（2）中右边的不等式可由（1）直接获得。因此，本文只需证明（2）中左边不等式。由文献[11]中引理1和矩阵同时对角化相关知识，存在一个正定阵B0，使：

而由文献[12]知，A1B0C1的特征根都是正数，从而引理1成立。

引理2：对于任意可逆的对称矩阵S=(sij)，本文有：

这里ei表示第i个元素是1其余元素为0的列向量。

证：见文献[13]中的引理3.2。

定理1：对于模型（1）和损失（2），如果满足：

证：由：

知：

因而，本文有：

另一方面，根据引理2，可得：

注意到 X(X′X)-1G′1是对称阵，因而易知：

且有：

由上述推导可知，无偏风险（12）可简化为：

因此：

从而定理2.1成立。

注意到 X(X′X)-1X′是对称幂等阵，并结合引理1中的（1），有：

3 讨论

本文在加权平方损失下考虑了一类正态均值矩阵的估计。在适当条件下，证明了这个新估计是极小极大的，本文新估计推广了已有文献中的结果。值得说明的是，本文仅考虑m＞p+1情形下估计的改良问题，下一步打算在更广义的设置下研究p＞m+1情形下相应估计的改良问题。