基于双约束的稳健波束形成技术

王海涛　王　伟　张　明　符渭波

(西安电子工程研究所　西安　710100)

0　引言

自适应波束形成技术在诸如雷达，声呐，通信等诸多工程领域有着广泛的应用，同时也是理论界一直研究的热点[1-4]，其基本思想是通过对阵列天线各个阵元接收的信号进行加权求和，可以自适应的抑制来自非目标方向的干扰，同时在目标方向形成主瓣增益，提取目标信号。

传统的Capon自适应波束形成方法在目标方向阵列天线导向矢量准确已知时，具有非常优异干扰抑制性能[2]。但当波束形成训练数据中包含目标信号时，Capon波束形成技术则存在目标信号相消的现象。特别地，当目标信号方向不是准确已知或者阵列天线结构存在误差导致期望的目标信号导向矢量与其实际值之间存在误差或者训练数据过少时时，这种目标信号相消现象将会更加严重。

为了解决传统自适应波束形成过程中的目标相消现象，本文提出了一种基于双约束的稳健自适应波束形成方法，不同于传统的Capon自适应波束形成只约束了目标方向的增益，本文利用两个不等式限制条件不仅约束了目标方向的最小增益，同时约束了权矢量的最大均方值，最后利用基于内点方法的凸优化技术求解最优波束形成权矢量。仿真分析表明，本文提出的方法不仅能够避免信号相消的现象，同时当存在导向矢量误差和少的训练数据的情况下也仍然有效，非常适合于用作工程领域。

1　算法描述

假设波束形成的输出信号由如下式子描述：

y(k)=w′x(k)

(1)

其中x(k)=[x1(k),x2(k),…,xM(k)]T是M×1维的阵列天线各阵元接收信号复矢量，它包含了感兴趣的目标回波信号以及来自其他方向的干扰和阵元噪声等。w=[w1,…,wM]T是M×1维的波束形成加权矢量，M表示天线阵元个数。K是时间系数，(·)T和(·)′分别表示转置和共轭转置。

自适应波束形成算法的核心就是根据阵列天线各阵元的接收信号求解最优加权矢量，也即式(1)中的w。在本文中，我们提出波束形成加权矢量w可以通过求解如下双不等式约束求得：

(2)

a(θ)是M×1维的期望目标方向阵列天线导向矢量，并且我们对a(θ)进行了归一化，(也即a′(θ)a(θ)=1)；

b1和b2为接近1的常数，同时为了进行干扰抑制和应用于存在导向矢量误差的情况，b2通常被设定为略大于b1。

可以很容易看出式(2)是一个标准的凸优化问题(因为目标函数和两个不等式约束都是一个二次均方函数，同时可以很容易的看出的它们的海塞矩阵是共轭对称的并且是半正的)。因此式(2)可以利用标准的凸优化方法求解，比如文献[5]和[6]所提的内点方法。

在内点法中，求解式(2)可以通过转化为最小化如下代价函数：

φt(w)=w′Rw-t(logc1+logc2)

(3)

其中，c1=w′a(θ)a′(θ)w-b1，c2=b2-w′w。根据文献[5]和[6],我们知道当罚值变量t趋向于0时，使式(3)最小化的w就是式(2)的最优解。

利用牛顿迭代法[5]求解式(3)，也即迭代搜索方向可以通过求解如下牛顿方程获得：

HΔw=-g

(4)

其中H=wT(w*φt(w))表示w的海塞矩阵，g=w*φt(w)表示当前迭代步骤的共轭梯度。g和H的准确表达式为如下所示：

g=2Rw-2t(Raw/c1-w/c2)

H=2R-2t(Ra/c1-
2RaRwRa/c12-IM/c2-2Rw/c22)

(5)

其中Ra=a(θ)a(θ)′,Rw=ww′，IM是M×M维的归一化矩阵。

从而可以得到整个算法流程如表1所示：

表1　算法流程

表1中，N表示总的迭代步数，迭代步长s=βl，其中l∈[1,2,…,lmax]并且满足如下目标函数：

(6)

式中β∈[0,1]和lmax都是一个给定的常数,其具体取值规则请参照文献[5]和[6]。

罚值函数t值则按照如下式子进行更新：

(7)

2　仿真分析

表1算法中其它参数设置如下所示：

b1=0.9,b2=1.1,N=25
lmax=40,β=0.5
t=a′(θ)Ra(θ),w=a(θ)

(8)

需要特别指出的是，从文献[6]我们可以知道利用内点法求解凸优化问题(本文中我们求解的目标函数(2)就是一个标准的凸优化问题)时，其收敛速度将会很快。通常经过20步的迭代就能到最优近似解，因此本文中我们设定的最大迭代步数为25步。

图1　不同采样快拍数情况下的波束方向图

图1是按照上述的仿真条件，然后利用本文算法在不同的采样快拍数情况下求得稳健波束形成最优权值以后，获得的稳健波束形成方向图。图中虚线所在的位置表示的是信号来波方向(包括目标信号和干扰)。从图1(a)中我们可以看出当采样快拍数为500时，在干扰方向形成了很深的零陷，说明能很好的抑制干扰，同时可以看出虽然目标信号包含在波束形成训练数据中，但是在目标方向并没有零陷，这说明没有出现信号相消的现象。图1(b)是在采样快拍数为25时得到的波束形成方向图，从图中可以看出来，虽然干扰方向上的零陷深度不如图1(a)，但是其对干扰的抑制程度仍然达到30dB以上，这说明即使在小采样快拍数据的情况下，利用本文的算法仍然能够对干扰进行比较大程度的抑制，同时在目标方向获得比较大的增益。

为了进一步验证本文所提算法能够适用于小采样快拍数据的情况，我们针对不同的采样快拍数分别进行100次蒙特卡洛实验。图2就是在不同的采样快拍数K的情况下，利用本文的所提的算法进行波束形成后获得的信干噪比(SINR)，图中的结果是100次蒙特卡洛实验获得的平均值。从图2我们可以看出越大的采样快拍数，其所对应输出的信干噪比越大，这说明波束形成性能越好。同时特别需要指出的是，即使当快拍数为25时，其所对应的信干噪比仍然达到11dB以上。

图2　不同的采样快拍数K所对应输出的信干噪比

3　结束语

本文我们提出了一种基于双约束的稳健波束形成算法，仿真分析结果表明本文所提的算法不仅能够避免信号相消的现象，同时能够适用于存在目标导向矢量误差和小快拍采样数据的情况下。尽管本文需要运用迭代的方法求解波束形成训练数据，但是由于目标函数是一个标准的凸优化问题，其很少的迭代步数就能达到收敛(一般不超过25次)，因此不会大量增加算法的运算量.