基于MUSIC及其改进算法的空间信号到达方向估计方法研究

同　非　郭　磊　连　豪

(西安电子工程研究所　西安　710100)

0　引言

空间信号到达方向(Direction of Arrival, DOA)估计[1]是阵列信号处理面临的基本问题，也是雷达、声纳与电子对抗等领域的重要任务之一，在实际工程中具有十分现实的意义。DOA估计的任务是测量处在某个区域内多个具有威胁的辐射源的空间位置，即各个辐射源到达阵列天线的方位和俯仰角，简称波达方向角。传统DOA估计的分辨力取决于阵列长度，阵列长度确定后，其分辨力也随之确定，称之为瑞利限[2]。超瑞利限的方法称为超分辨方法，最经典的超分辨DOA估计方法是多重信号分类(MUSIC)[3]方法，该方法本质上是一种基于特征结构的子空间方法，即若传感器的个数比信源个数多，则阵列数据的信号分量一定位于一个低秩的子空间，在一定条件下，该子空间将唯一确定信号的波达方向，并可以使用奇异值分解精确地确定波达方向。

1　基于MUSIC算法的DOA估计

多重信号分类(Multi-signal classification, MUSIC)旨在通过在空域内进行谱峰搜索求出信号源的方向,与最大似然(ML)、加权子空间拟合(WSF)等多维搜索算法相比，MUSIC算法具有运算量小、复杂度低等优势[4]。

1.1　MUSIC算法原理

(1)

根据式(1)可得：

A(θ)RSAH(θ)UN=0

(2)

矩阵RS为满秩非奇异矩阵，所以有逆存在。则上式可变为AH(θ)UN=0，说明矩阵AH(θ)中的各列向量与噪声子空间正交，因此有

(3)

由噪声特征向量和信号向量的正交关系，得到阵列空间谱函数：

(4)

通过式(4)可知，使θ变化，通过搜寻波峰可估计到达角，因此式(1-4)亦可表示为：

(5)

其中，Pa=a(θ)(aH(θ)a(θ))-1aH(θ)为a(θ)的投影矩阵。

综上，可将MUSIC算法的步骤归纳如下：

1)根据N个接收信号矢量得到协方差矩阵的估计值

(6)

对上式得到的协方差矩阵进行特征值分解

R=U∑UH

(7)

2)按特征值的大小顺序，将与信号个数K相等的最大特征值对应的特征向量看作信号子空间，将剩下的(M-K)个特征值对应的特征向量看作噪声子空间，推出

(8)

1.2　MUSIC算法仿真分析

仿真中假设采用均匀线阵进行DOA估计。线阵含有8个阵元，阵元间距为半波长，假设存在三个信源，来波方向分别为10°、30°和60°。

仿真一：信噪比为10dB，快拍数分别为50和500时得到基于MUSIC算法的DOA估计仿真结果如图1所示。

图1　快拍数分别为50和500时利用MUSIC算法得到的DOA仿真结果

仿真二：快拍数分别为500，信噪比分别为0dB和10dB时得到基于MUSIC算法的DOA估计仿真结果如图2所示。

从图1和图2的仿真结果可知，当系统处于高信噪比和大快拍数条件下时将得到较好的DOA估计结果。但工程应用中，大快拍数将增加系统的软硬件复杂度，提高系统成本，且实战过程中，敌方侦察源常采用低截获概率信号，系统所处的电磁环境也较为复杂，因此往往无法获得理想的信噪比。因此，在工程设计中，应选择合理的快拍采样数，并采用高质量低噪放、匹配滤波等手段尽可能提高信噪比，在满足指标要求和设计成本的情况下获取较高的DOA估计精度。

图2　信噪比分别为0dB和10dB时利用MUSIC算法得到的DOA仿真结果

2　相干信号源的DOA估计

由于信号在空间中传播的复杂性，实际工程中入射到阵列天线上的信号通常包括同频干扰和由于背景物体反射等造成的多路径传播信号，造成信号源相干[5]。信号源相干会导致其协方差矩阵的秩的亏缺，使信号特征向量发散到噪声子空间，造成基于传统MUSIC算法的DOA估计方法失效[6]，在雷达和电子对抗系统的实际应用中表现为目标漏警或信源定位错误。因此，研究有效的相干信号处理方法是DOA估计面临的一个重要问题。

2.1　基于空间平滑的改进MUSIC算法原理

空间平滑技术[7]是解决相干或者强相关信号的有效方法，其基本思想是将等距线阵划分为几个相重叠的子阵列，若各子阵列的阵列流形相同，则子阵列协方差矩阵可以相加后取平均取代原算法中的RS。如图3所示，将M元的等距线阵用滑动方式分成L个子阵每个子阵列有N个单元，其中M=M-L+1，定义第l个前向子阵列的输出为：

(9)

其中，AM为N×K维的方向矩阵，其列为N维的导向矢量aM(θi)(i=1,2,…,k)。

所以，第l个前向子阵列的协方差矩阵为：

(10)

则前向空间平滑协方差矩阵为：

(11)

另外，考虑直线阵列的倒序阵，同理可得到后向空间平滑的协方差矩阵为：

(12)

根据矩阵论相关性质，可知Rb是Rf的共轭倒序阵，具有共轭倒序不变性[8]，因此可定义前后向平滑协方差矩阵为：

(13)

空间平滑算法通过共轭倒序不变性，利用子阵列协方差矩阵相加后的平均值取代原算法中的RS，解决了相干源协方差矩阵的秩的亏缺问题，将协方差矩阵的秩恢复到了与信号源个数相等。

图3　空间平滑示意图

基于空间平滑的MUSIC算法[9-10]旨在对阵列输出信号的协方差矩阵进行处理，使信号协方差矩阵的秩恢复为rank(R)=K，解决相干源协方差矩阵的秩的亏缺问题，因此能够得到有效的DOA估计结果。

阵列信号的协方差矩阵为：

R=E[x(n)x(n)H]

(14)

其中，x(n)=AS(n)+n(n),n=1,2,…,N;x(n)=[x1(n),…,xM(n)]T为M个阵元输出，A=[a(θ1),…,a(θk)];a(θi)=[1,exp(-jwi),…,exp(-j(M-1)wi)]T。

wi=2πdsinθi/λ，λ为载波波长，S(n)=[S1(n), …,SK(n)]T;Si(n)为第i个平面波的复振幅；n(n)=[n1(n),…,nM(n)]T；ni(n)是零均值、方差为σ2的白噪声，且与信号源统计不相关；N为采样快拍数。令IV为M×M反单位矩阵，即：

(15)

令RX=R+IVR*IV，其中R*为R的共轭，因此，根据矩阵论的相关性质，可知RX为Hermite的Toeplitz矩阵。

阵列输出矢量的N次采样数据组成矩阵X=[x(1),…,x(N)]，它的协方差矩阵估计值可表示为R=XXH/N。根据Toeplitz矩阵的性质[11]，对R进行修正，得到Toeplitz协方差矩阵的估计值为RX=R+IVR*IV，并且可知RX是R的无偏估计。再对RX进行分解，得到噪声子空间。经过处理后的噪声子空间利用噪声的特征向量再次带入MUSIC算法中，即可去掉相干源的相关性，得到准确的DOA估计结果。

2.2　基于空间平滑的改进MUSIC算法仿真与分析

仿真中假设采用均匀线阵进行DOA估计。线阵含有8个阵元，阵元间距为半波长，假设存在三个相干信源，来波方向分别为0°、30°和60°，信噪比为10dB，快拍数为500，利用传统MUSIC算法和基于空间平滑改进MUSIC算法的DOA估计仿真结果如图4所示。

图4　传统MUSIC算法和基于空间平滑的改进MUSIC算法对相干信号源的DOA估计示意图

由图4可知，对于相干信号源，传统MUSIC算法已失效，无法得到正确的DOA估计结果。改进的MUSIC算法基于空间平滑原理，利用子阵列协方差矩阵相加后的平均值代替原来的满阵协方差矩阵，解决了相干源协方差矩阵的秩的亏缺问题，达到去相干信号源相关的目的，从而得到了正确的DOA估计结果。

值得注意的是，基于空间平滑的改进MUSIC方法以牺牲阵列的有效孔径资源为代价，实现了信号源去相关的目的。因此在实际工程设计中，应根据DOA估计精度的指标要求，合理确定子阵列的规模和子阵列的数目。

3　结束语

本文首先介绍了基于MUSIC算法的DOA估计的原理，对不同快拍数和信噪比条件下的MUSIC算法性能进行了仿真分析和讨论，提出了DOA估计系统在工程设计中需要注意的问题和解决办法；随后，研究了一种基于空间平滑的改进MUSIC算法的原理和步骤，并对传统MUSIC算法和基于空间平滑的改进MUSIC算法对相干信号源的DOA估计性能进行了仿真对比和分析。分析结果表明，基于空间平滑的改进MUSIC方法能够去除相干信号源的相关性，解决了传统MUSIC方法对相干信号源DOA估计失效的难题。