初中数学视角下欧拉线和欧拉圆的证明

池剑善

[摘 要] 笔者查阅资料，发现没有人研究从初中数学的角度证明以大数学家“欧拉”命名的欧拉线和欧拉圆. 本文所给的证明方法以初中数学课本知识为基础，并进行稍微拓展，该方法对初中生竞赛培优教学有一定的参考价值.

[关键词] 初中数学；欧拉线；欧拉圆

在竞赛辅导中，历史上的经典名题、定理的证明是我们绕不开的路. 比如，学习平面几何时，选择欧拉线和欧拉圆的证明教学是培养学生推理能力和演绎思维的一个不错选择. 首先，我们来熟悉一下欧拉线和欧拉圆.

欧拉线：莱昂哈德·欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出的定理——三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.

欧拉圆：三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点（连接三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆. 通常称这个圆为九点圆（nine-point circle），或欧拉圆、费尔巴哈圆.

欧拉线是过三角形的垂心、外心、重心和欧拉圆圆心的一条直线.

一般的定理教学，教师引导学生一起“探究”，然后牵着学生的思维一起把别人走过的路再走一遍. 而本文是笔者的另外一种实践. 笔者研究了这两个经典定理历史上的证明方法，发现很多都超过了初中生的知识储备，于是筛选了一些适合的方法，重新整理思路，把两个有关联的定理关联起来，然后分不同的阶段，为学生铺好台阶，走到终点.

引理及其证明

引理？摇 三角形的外心到一边的距离等于垂心到该边相对的顶点距离的一半.

如图1，在△ABC中，O，H为其外心和垂心，D为BC的中点，连接OD，AH. 求证：OD=AH.

证明？摇 如图1，连接OB，OC，连接CH并延长交AB于点R，延长AH交BC于点P，因为点O为△ABC的外心，所以∠BAC=∠BOC. 因为D为BC的中点，所以∠COD=∠BOC=∠BAC，OD⊥BC. 因为CR⊥AB，所以∠ARC=∠ODC=90°. 所以△ARC∽△ODC. 所以=①. 因为AP⊥BC，所以∠ARC=∠APC=90°. 所以A，R，P，C四點共圆. 所以∠RAH=∠BCR. 所以△ARH∽△CRB. 所以=，即=②. ①×②得=，所以OD=AH.

上述证明是在锐角三角形中进行的，同理可证钝角三角形也成立. 直角三角形比较特殊，很容易证明成立.

欧拉线定理及其证明

如图2，在△ABC中，O，G，H分别为其外心、重心、垂心，D为BC的中点，求证：O，G，H三点共线，且OG=GH.

证明 ？摇设AD交OH于点G′，因为OD⊥BC，AH⊥BC，所以OD∥AH. 所以△ODG′∽△HAG′. 因为OD=AH，所以OG′=G′H，DG′=AG′. 因为G为△ABC的重心，所以DG=AG. 所以G与G′重合. 所以O，G，H三点共线，且OG=GH.

上述证明是在锐角三角形中进行的，同理可证钝角三角形也成立. 直角三角形比较特殊，很容易证明成立.

九点圆（欧拉圆）及其证明

1. 证三高的垂足和三个欧拉点（连接三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）共圆

如图3，在△ABC中，H为其垂心，设AH，BH，CH的中点分别为M，L，N，过M，L，N三点的圆记为⊙J，P，Q，R分别是三条高在BC，AC，AB上的垂足. 求证：P，Q，R均在⊙J上.

证明？摇 连接MN，LN，LM，QM，QN. 因为L，N分别为BH，CH的中点，所以LN∥BC且LN=BC. 同理，LM∥AB且LM=AB，MN∥AC且MN=AC. 因为H为△ABC的垂心，所以H为△MLN的垂心. 所以P，Q，R分别为H关于LN，MN，ML对称的点. 所以∠MQN=∠MHN，∠MHN+∠MLN =∠MQN+∠MLN=180°. 所以Q在△MLN的外接圆上.同理，P，R也在△MLN的外接圆上，所以P，Q，R在⊙J上.

上述证明是在锐角三角形中进行的，感兴趣的读者可以在钝角三角形和直角三角形中进行证明.

2. 证三边中点和三个欧拉点共圆

如图4，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，AP⊥BC，BQ⊥AC，CR⊥AB，垂足分别为P，Q，R，H为△ABC的垂心，设AH，BH，CH的中点分别为M，L，N，过M，L，N三点的圆记为⊙J. 求证：D，E，F均在⊙J上.

证明？摇 连接MN，DN，则DN∥BQ，MN∥AC. 因为BQ⊥AC，所以DN⊥MN. 又因为AP⊥BC，所以D，P，N，M四点共圆. 所以点D在⊙J上. 同理，E，F也在⊙J上.

上述证明是在锐角三角形中进行的，感兴趣的读者可以在钝角三角形和直角三角形中进行证明.

欧拉圆心和欧拉线之间的位置

及其证明

1. 证明欧拉圆圆心在欧拉线上

如图5，O，H，J分别是△ABC的外心、垂心和欧拉圆圆心. 求证：O，J，H三点共线，且OJ=HJ.

证明？摇 连接AH并延长交BC于点P，分别取AH和BC的中点M，D，连接DM，OH交于点J′. 因为OD⊥BC，MH⊥BC，所以OD∥MH. 所以∠ODJ′=∠HMJ′. 所以∠DOJ′=∠MHJ′. 又因为OD=AH=MH，所以△ODJ′≌△HMJ′. 所以OJ′= HJ′，DJ′=MJ′. 因为∠APB=90°，所以DM为⊙J的直径. 所以J为DM的中点. 所以点J与点J′重合. 所以O，J，H三点共线，且OJ=HJ.

上述证明是在锐角三角形中进行的，感兴趣的读者可以在钝角三角形和直角三角形中进行证明.

2. 证明三角形的欧拉圆半径等于外接圆半径的一半

如图6，已知⊙J和⊙O分别是△ABC的欧拉圆和外接圆，求证：⊙J的半径为⊙O半径的.

证明？摇 设H为△ABC的垂心，连接AH，分别取AH和BC的中点M，D，连接OA，OD，DM，则OA为⊙O的半径，DM为⊙J的直径. 因为OD∥AM且OD=AM，所以四边形AODM是平行四边形. 所以OA=DM. 所以⊙J的半径为⊙O半径的.

上述证明是在锐角三角形中进行的，感兴趣的读者可以在钝角三角形和直角三角形中进行证明.

利用欧拉圆心和欧拉线可证一

些四点共圆的问题

如图7，H为△ABC的垂心，L为BC边的中点，P为AH的中点，过点L作PL的垂线交AB于点G，交AC的延长线于点K，求证：G，B，K，C四点共圆.

证明？摇 如图8，设△ABC的外心为O，连接OH，取OH的中点E，则E为欧拉圆圆心. 连接AO，则AO∥PE，从而AO⊥GK. 设N为AB的中点，连接ON，则ON⊥AG. 于是∠AON=∠AGL. 又因为∠ACL=∠AON，所以∠ACL=∠AGL. 所以∠BGK=∠KCB. 所以B，K，C，G四点共圆.

几何名题内容丰富，是数学竞赛教学的一大宝贵资源，只要我们多挖掘，多思考，换种角度从学生的最近发展区出发进行启发教学，再配合可以利用所学定理解决问题的实例让学生操练，应该能起到事半功倍之效.