提炼图像信息，数形转化破解

沈松权

[摘 要] 一次函数应用题是中考的重点题型，通常结合了图像的应用题需要采用数形结合的方式，从审图入手，通过提取关键点的方式求函数解析式，然后利用代数的准确性来分析问题.

[关键词] 一次函数；图像；应用题；数形结合；审图；待定系数法

近年的中考数学试题中出现了一些紧密结合图像的一次函数应用题，具有图形抽象、结构新颖、知识综合的特点，对于学生读图、识图能力要求较高，如何利用图像信息来转化分析问题成为解题的关键，也是学生思维的难点.

真题解析，试题点评

1. 真题呈现

（2017年浙江湖州中考卷第23题）湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了20000 kg淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售. 现已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元（总成本=放养总费用+收购成本）.

（1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值.

（2）设这批淡水鱼放养t天后的质量为m（kg），销售单价为y元/kg. 根据以往经验可知：m与t的函数关系为m=20000（0≤t≤50），100t+15000（50

①分别求出当0≤t≤50和50

②设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W最大？并求出最大值. （利润=销售总额-总成本）

2. 试题解析

分析 （1）求a和b的值，只需根据题意列出关于参数的二元一次方程组即可求解.

（2）①求分段区间内一次函数的解析式，可先设出解析式，然后从图像上提取相应的坐标点，然后利用待定系数法分别列方程组即可求函数的解析式；②求利润W的最大值，可以根据“利润=销售总额-总成本”来分析，首先求得不同区间上的最大值，然后综合比较即可.

解答 （1）根据题意可得10a+b=30.4，20a+b=30.8， 解得a=0.04，b=30.

（2）①当0≤t≤50时，设函数的关系式为y=kt+n，从图1可得函数图像上的点（0，15）和（50，25），将两坐标点代入y=kt+n，可得15=n，25=50k+n， 解得k=，n=15， 所以y与t的函数关系式为y=t+15；当50

②由题意可知，当0≤t≤50时，W=3600t，所以t=50时，W=180000（元）；当50

综上所述，当t为55时，W最大，最大值为180250元.

3. 试题点评

本题目为结合图像的一次函数应用题，主要考查学生信息提取、图像分析以及二元一次方程组求解的能力，对于学生读图运算能力要求较高. 上述题目在求解函数解析式时有效分析函数图像，准确提取相关坐标点，采用待定系数法来求解；而对于最值问题，则把握“利润”的概念，充分结合函数图像，利用代数解析式运算的便利性来求解，整个过程数形结合，以形辅数，以数示形，实现了形象分析与理性计算的完美结合，其中对于图像的理解和信息提取是解决该类题型的关键.

试题衔接，思路剖析

结合图像的一次函数应用题在历年中考中均有出现，图像的分析转化是求解的关键，该类题的解题思路为：充分理解函数图像，结合问题提取关键点信息，以数示形，实现图像的代数化转变，有效利用函数解析式来分析求解.

试题1 （2016年上海中考卷第22题）某物流公司引进A，B两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时，A种机器人于某日0时开始搬运，过了1小时，B种机器人才开始搬运，如图2，线段OG表示A种机器人的搬运量y（千克）与时间x（小时）的函数图像，线段EF表示B种机器人的搬运量y（千克）与时间x（小时）的函数图像，根据图像提供信息，解答下列问题：

（1）求y关于x的函数解析式；

（2）如果A，B两种机器人各连续搬运5个小时，那么B种机器人比A种多搬运了多少千克？

分析 （1）求y关于x的函数解析式就是求线段EF的解析式，此为一次函数图像，可以考虑从图像上取点E和P，然后利用待定系数法求解.

（2）比较A、B两种机器人连续5小时的搬运量，由于A种机器人比B种机器人提前1小时工作，则只需求得x=5时y的值，以及x=6时y的值，然后相减进行比较即可.

解答 （1）设y关于x的函数解析式为y=kx+b（k≠0），从线段EF上取点E（1，0）和P（3，180），代入y=kx+b可得k+b=0，3k+b=180， 解得k=90，b=-90， 所以y关于x的函数解析式为y=90x-90（1≤x≤6）.

（2）设y关于x的函数解析式为y=kx+b（k≠0），点P（3，180）在该图像上，解得k=60，所以y=60x. 当x=5时，y=300（千克）；当x=6时，y=450（千克），则B种机器人比A種机器人多搬运的为：y-y=450-300=150（千克）.

试题2 （2016年四川南充中考卷第23题）小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发. 家到公园的距离为2500 m，图3为小明和爸爸所走路程s（m）与步行时间t（min）的函数图像.

（1）直接写出小明所走路程s与时间t的函数关系式；

（2）小明出发多少时间与爸爸第三次相遇？

（3）在速度不变的情况下，小明希望比爸爸早20 min到达公园，则小明在步行过程中停留时间需做怎样调整？

分析 （1）略；（2）第三次相遇的时间为t>30 min，首先需要从图像上取点，然后利用待定系数法求爸爸路程与时间的函数，然后利用路程相等求时间的方式来求解. （3）要求小明比爸爸提前20 min到公园，需要分别求他们到达公园的时间，然后通作差来确定小明中途停留的时间.

解答 （2）设爸爸所走路程s与时间t的函数关系式为s=kt+b，提取图像上的点（0，250），（25，1000），代入函数解析式可得b=250，25k+b=1000，解得b=250，k=30，则爸爸所走路程s与时间t的函数关系式为s=30t+250. 小明与爸爸第三次相遇时的时间t>30 min，利用路程相等列方程s=30t+250，s=50t-500，解得s=1375，t=37.5， 则小明出发37.5 min时與爸爸第三次相遇.

（3）当s=2500时，爸爸的时间t=75，则爸爸到达公园的时间为t=75 min，则小明到达公园的时间需为t=60 min，比爸爸少15 min，则小明在步行过程中停留时间需减少5 min.

上述两道题均为涉及图像的一次函数应用题，解题思路均为结合图像关键点求函数解析式，然后利用解析式，采用代数运算的方式来分析问题. 试题1为工作量问题，运用待定系数法求搬运量的函数解析式，结合图像分析，利用解析式来比较搬运量；试题2则是运动相遇问题，也是采用待定系数法来求两人的路程与时间的函数解析式，利用图像的直观性、代数计算的准确性来求解.

解后反思，教学思考

1. 关注现实问题，把握问题核心

近几年中考的一次函数应用题更加追求贴近生活实际，大多从新闻、报刊、生活实例中引申问题，考查学生从繁杂的生活实例中提炼数学信息的能力，例如上述关于放养鱼的利润、机器人搬运量、运动相遇问题. 因此在教学中教师要引导学生在掌握一次函数核心知识的情况下关注现实背景中的数学问题，培养学生发现问题、提炼问题的能力，同时适当改编例题，引导学生分析问题结构，提升学生描述问题的能力.

2. 重视审图过程，注重转化分析

从一次函数的解题过程来看，分析函数图像、提取图像信息是解决问题的关键，也是必不可少的思维过程，无论是利润问题还是路程问题都需要读懂图像，理解图像的发展过程，然后才能利用数形结合的方式来实现问题的解答. 因此在教学中教师要注重培养学生识图、辨图、用图的能力，通过特定的教学方式，例如图像平移，逐步发展学生对于图像与代数之间的转化意识，培养学生利用数学分析图像的能力.

3. 学习数形结合，促进思维发展

对于涉及图像的一次函数应用题，其解题过程是对数形结合思想的充分体现，从图像中提取坐标信息，利用代数解析式来分析图像，正是对数与形的相互转化实现了问题的最终解答，数形结合思想是解决函数问题的核心思想，利用数形结合的方式可实现问题简单求解，在教学中要结合实例引导学生体验数形结合的思维过程，学习和掌握数形结合的解题思路，促进学生直观思维和逻辑思维的双重发展.

写在最后

涉及图像的一次函数应用题是对数形结合思想的重点考查，解题过程需要有效结合图像，提取关键信息，利用函数解析式来求解. 在教学中要引导学生关注现实中的函数问题，把握问题核心，提升学生问题的描述能力；重视审图过程，提升学生识图、转化能力；学习数形结合，促进学生思维的双重发展.