立足基本图形 追寻多题归一——从一道教材习题及其变式说开去

（江苏省苏州市高新区第五初级中学校）

在数学教学中，教材习题是一个巨大的教学资源，同时也是由许许多多的经典习题组成的.如何更有效的使用这些习题，促进学生高认知水平的保持，增强学生对数学基本思想的理解，对基本活动经验的积累和迁移，提高他们发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，便成为广大数学教师应该思考的问题.

本文从一道教材习题入手，对其进行变式练习，给学生的思维和推理搭“脚手架”，为学生提供元认知方法，引导他们体会相关、相近习题之间的内在联系，在基本图形的基本结论、基本思路和基本方法的内在联系中，体现立足基本图形，追寻多题归一的理念，以促进学生数学核心素养的提升.

一、教材习题及解答

题目（苏科版《义务教育教科书·数学》八年级下册第九章“中心对称图形——平行四边形”第94页复习巩固第19题）在正方形ABCD中.

（1）如图1，点E，F分别在BC，CD上，且AE⊥BF，垂足为点M，那么AE与BF相等吗？试证明你的结论.

（2）如图2，如果点E，F，G分别在BC，CD，DA上，且GE⊥BF，垂足为点M，那么GE与BF相等吗？试证明你的结论.

（3）如图3，如果点E，F，G，H分别在BC，CD，DA，AB上，且GE⊥HF，垂足为点M，那么GE与HF相等吗？试证明你的结论.

图1

图2

图3

分析：此题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质.

（1）根据正方形的性质，得到∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC.进而得到∠BAE=∠CBF，则△ABE≌△BCF.进一步根据全等三角形的性质进行证明.

（2）过点A作AN∥GE，可证四边形ANEG是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可得AN=GE.由（1）的结论可知AN=BF.所以GE=BF.

（3）分别过点A，B作AP∥GE，BQ∥HF，可证四边形APEG、四边形BQFH为平行四边形.根据平行四边形的对边相等，可得AP=GE，BQ=HF.由（1）的结论可知AP=BQ.所以GE=HF.

解：（1）证明：因为四边形ABCD是正方形，AE⊥BF，

所以∠BAE+∠ABM=90°，∠CBF+∠ABM=90°.

所以∠BAE=∠CBF.

在△ABE和△BCF中，

所以△ABE≌△BCF（ASA）.

所以AE=BF.

（2）GE=BF.证明如下.

如图4，过点A作AN∥GE，

因为AD∥BC，

所以四边形ANEG是平行四边形.

所以AN=GE.

因为GE⊥BF，

所以AN⊥BF.

由（1），可得△ABN≌△BCF.

所以AN=BF.

所以GE=BF.

图4

图5

（3）GE=HF.证明如下.

如图5，分别过点A，B作AP∥GE，BQ∥HF，

因为AD∥BC，AB∥DC，

所以四边形APEG、四边形BQFH为平行四边形.

所以AP=GE，BQ=HF.

因为GE⊥HF，

所以AP⊥BQ.

由（1），可得△ABP≌△BCQ.

所以AP=BQ.

所以GE=HF.

【评析】显然，第（2）小题和第（3）小题就是第（1）小题的变式，都是通过平行移动来完成条件的转化，最终化归为第（1）小题来解决.解决问题的根本办法都是通过证明三角形全等，利用全等三角形的性质来证明.

这样，我们就通过运用化归的数学思想方法，对于问题解决中积累的经验进行加工，得到一个有长久保存价值或基本重要的典型结构与重要类型——模式，即“基本图形的基本结论、基本思路和基本方法”.此时，教师应该引导学生有意识地记忆下来，以此来解决类似的问题.

二、其他形式的变式

波利亚在《怎样解题》中指出：题目一旦获解，就立刻产生情感上的满足，这恰好错过了提高的机会，事实上没有一道题可以解决得十全十美，总剩下一些工作要做，经过充分的探讨与总结，总会有点滴的发现，而且在任何情况下，我们总能提高自己对这个问题的解答水平.在这一理念的指导下，我们还应该引导学生进行如下变式的探究.

1.在正方形内进行变式

变式1：在正方形ABCD中.

（1）如图1，点E，F分别在BC，CD上，且AE=BF，那么AE与BF垂直吗？证明你的结论.

（2）如图2，如果点E，F，G分别在BC，CD，DA上，且GE=BF，那么GE与BF垂直吗？证明你的结论.

（3）如图3，如果点E，F，G，H分别在BC，CD，DA，AB上，且GE=HF，那么GE与HF垂直吗？证明你的结论.

解：略.

在原有图形不变的情况下，交换题设和结论，得到新题.这样处理可以使学生倍感新奇，有利于增强学生学习数学的自信心.同时，在解决这些问题的时候，用到了前面总结的“模式”中的通法，实则是“一法多用”，即对前面解法的归纳、总结，形成技巧，并用以解决其他问题.通过这种变式，可以达到“多题归一”“万变不离其宗”的目的，即有利于培养学生的迁移能力，有利于学生提炼通性、通法.

2.在正方形外进行变式

变式2：（1）如图6，如果点G，E分别在AD，BC的延长线上，点F在CD上，BF的延长线交GE于点M，且∠BME=90°，那么GE，BF相等吗？证明你的结论.

（2）如图7，如果直线a⊥b，垂足为点M，直线a与AB，DC的延长线分别交于点H，F，直线b与AD，BC的延长线分别相交于点G，E，那么GE，HF相等吗？证明你的结论.

（3）如图8，如果点E，F分别在BC，CD的反向延长线上，BF的反向延长线交AE于点M，且∠AMB=90°，那么AE，BF相等吗？证明你的结论.

图6

图7

图8

解：略.

显然，这几道题的解法依然是通过平行移动，构造出原题中的全等三角形来求解.再次强化“基本图形法”，在学生头脑中已有的知识、经验之间建立联系，是一种“化生为熟”的原则，体现了思维定势正迁移的积极作用.同时，给学生的思维和推理搭建“脚手架”，为学生提供元认知方法，促进学生高认知水平的保持.

3.在正多边形中进行变式

教育学家夸美纽斯曾经说过，提供一种既令人愉快又有用的东西，当学生的思想经过这样的准备之后，他们就会以极大的注意力去学习.由于以上两道题有着内在的联系，而解题方法和变式练习又是这样的相似.因此，会激起学生的兴趣，激发他们学习的兴奋点.在此基础上，教师应进一步引导学生把由以上两题的解答过程与变式练习中获取的经验迁移到正五边形乃至正n边形中.

变式3：在正五边形中的变式.

（1）如图9，正五边形A1A2A3A4A5中，点B，C分别是A3A4，A4A5上的点，且∠A2DC=108°，那么A2B和A3C相等吗？证明你的结论.

图9

图10

（2）如图10，正五边形A1A2A3A4A5中，点B，C分别是A4A5，A3A4反向延长线上的点，延长BA3交A2C于点D，且A3B=A2C.那么∠A2DA3=108°吗？证明你的结论.

解：略.

变式4：如图11，在正n边形A1A2A3…An中，点B，C分别是A3A4，A4A5上的点，且 ∠A2DC=那么A2B和A3C相等吗？证明你的结论.

图11

解：略.

变式4是在变式3的基础上运用类比思想将问题迁移到正n边形中，运用前面“模型”中的“基本图形法”来解决问题.旨在让学生体会从特殊到一般的变化过程.

三、几点感悟

1.在变式中促进学生的数学解题能力

一系列的变式练习，基于习题自身的特征以及解题方法的内在联系，构造出了一个CPFS结构（概念域、概念系、命题域、命题系形成的结构称为CPFS结构）不仅让学生深刻理解了数学知识，而且能够引导学生灵活运用数学知识，既训练了学生思维的深度和广度，又提高了他们发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力.

多题一解的思维方式是一种收敛思维，遇到不同的问题向一个目标思索，寻求统一的解决问题的工具.其实，多题一解的真正价值并不在于使用某种方法、模型或知识去解决一类问题，而在于如何将多个问题的共性抽取出来，形成“一解”.对于“基本图形法”来说，通过基本图形探究出解决此类问题的“通法”，并运用“通法”来解决类似的问题，其本身也是一种解题迁移（即先前的解题学习对后续的解题学习的积极影响）.所以，我们在学生的解题学习中，突出数学思想方法要充分展示典型范例的作用，并且在解题学习中注意归纳和概括解题模式，增强学生对数学基本思想的理解，增强学生对基本活动经验的积累，促进学生的数学解题能力.

2.在变式中提高学生的数学欣赏水平

在变式练习中，我们还应该引导学生欣赏数学之美.例如，正方形以及其他的正多边形本身就具有轴对称性的形状之美，这是几何图形的外表之美；而对于原题中的全等三角形的证明这一“基本图形法”的归纳与认识以及应用，直至推广到正n边形中去，这一从特殊到一般的过程，正是“道生一、一生二、二生三、三生万物”，这又何尝不是领略数学内涵智慧的美妙呢；教材原题自身到变式4的一系列的变式中，形成了由正多边形这一整体构造出的一个CPFS结构，体现了数学的整体结构之美；而对于各种变式，学生在教师的引导下，观察、发现、思考、归纳、应用，发现问题、提出问题、分析问题和解决问题，这一“悟”的过程，就是数学之美的欣赏过程.

张奠宙先生说过，数学欣赏正在从外部的美观，不断升入到数学概念和命题的内涵深处.欣赏外表直观之秀，内涵深刻之慧，文化底蕴之浓，理性思考之精，也许这就是数学欣赏的普遍规律.

3.在变式中提升学生的数学核心素养

从教材习题出发，通过习题的自身变式，获取基本的活动经验和思想方法，即形成“基本图形的基本结论、基本思路和基本方法”，并将其迁移到后面的变式中.其本身就是一个数学抽象的过程，也相当于建立了一个数学模型——解题模式，并运用这一模式来解决相关的问题.既做到了培养数学学科素养的基本保障——抓基础，即促使学生掌握基本知识和基本技能；又有做到了培养数学学科素养的高层次目标——发展能力，即积累基本活动经验，体验基本思想方法.因而也做到了在变式中提升学生的数学核心素养.

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］罗增儒.数学解题学引论［M］.西安：陕西师范大学出版社，2016.

［3］喻平.数学学习心理的CPFS结构理论与实践［M］.南宁：广西教育出版社，2008.

［4］张奠宙.数学欣赏：一片等待开发的沃土［J］.中学数学教学参考（中旬），2014（1/2）：3-6.