“变量与函数”教学设计与反思

（北京市朝阳区教育研究中心；北京市日坛中学）

一、内容和内容解析

1.内容

函数的概念及三种表示方法.

2.内容解析

函数是中学数学中最重要的概念之一，它是描述现实世界运动变化规律的重要数学模型.理解函数概念，学会用函数的观点解决数学问题和现实问题，是中学阶段最重要的学习任务之一.

初中阶段强调用函数描述一个变化过程.例如，在匀速运动中，路程随时间的变化而变化，路程是时间的函数；商品单价为a，总价S随商品数量n的变化而变化，S是n的函数；等等.其本质是：函数是两个变量之间的一种特殊的对应关系.函数概念所反映的基本思想是变化与对应的思想.

函数的概念和表示方法是后续学习正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数等具体函数的基础.本节课在结合具体实例归纳概括函数概念的过程中，经历从具体到抽象的认知过程，发展学生的抽象概括能力.

基于以上分析，确定本节课的教学重点为：了解函数概念的内涵.

二、目标和目标解析

1.目标

（1）进一步了解常量、变量的意义.

（2）在简单实际问题情境中，从常量、变量之间的数量关系中抽象出函数概念，初步感受变化与对应的函数思想.

（3）结合实例，了解函数的三种表示方法.

2.目标解析

达成目标（1）的标志：会指出简单实际问题中的常量和变量，会说明它们的意义，以及相互关系.

达成目标（2）的标志：能分析简单实际问题中的常量、变量之间的关系，从具体事例的共同特征中归纳出函数的对应关系，并抽象出函数概念.会运用函数的定义判断具体事例中两个变量间的关系是否为函数关系，能举出函数的实例.

达成目标（3）的标志：能说出函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能结合实例说明三种表示方法各自的特点.

三、教学问题诊断分析

学生已经学习了常量和变量的概念，能够在简单实际问题中找出常量和变量，能够凭借生活经验，分析一些典型实际问题中的数量关系，并能列关系式表示变量之间的关系.

学生对函数概念中的“唯一确定”的理解有困难.教学中应突出函数概念的本质和建构过程，选择典型、丰富的实例，使学生在分析、归纳、概括实例共同本质属性的基础上，感悟函数概念及其蕴涵的思想方法.

用于抽象函数概念的实例，应注重典型性、丰富性，要注意选择以解析式、图象、表格的方式呈现函数关系，以利于学生透过表现形式发现函数的共同本质特征，从而准确抽象出函数概念.

基于以上分析，本节课的教学难点是：函数概念的抽象与语言描述.

四、教学支持条件分析

用解析式、图象和表格呈现函数的实例，可以利用信息技术使学生更直观地“看到”对应关系.

运用平板电脑推送课前检测和目标检测，辨析常量与变量、函数概念的检测题（选择题），实时反馈学生的完成情况（即正确率，错选情况），组织学生对错误解答进行讨论交流，再次辨析.运用常用工具（如计算器）、白板课件、投屏展示等功能增强生生交流、师生交流.

五、教学过程设计

1.课前检测

（1）北京到杭州的“复兴号”高铁列车在轨道上匀速行驶，行驶路程为skm，行驶时间为th，且满足关系式s=350t，则下列说法正确的是（ ）.

（A）行驶路程、速度、时间三个量都是变量

（B）路程与速度是变量，时间是常量

（C）速度与时间是变量，路程是常量

（D）路程与时间是变量，速度是常量

（2）向一个水池中注水，如图1是注水量变化图，其中图上点的横坐标x表示注水时间（单位：min），纵坐标y表示注水量（单位：m3），则下列说法正确的是（ ）.

图1

（A）时间、注水量、注水速度三个量都是变量

（B）时间与注水量是变量，注水速度是常量

（C）时间与注水速度是变量，注水量是常量

（D）注水量与注水速度是变量，时间是常量

【设计意图】课前学生结合实例自主学习了常量、变量的概念，检测学生掌握的情况，对存在的问题及时辨析反馈，为后面的学习打好基础.

2.新课学习

例1北京到杭州的“复兴号”高铁列车在轨道上匀速行驶，行驶路程为skm，行驶时间为th，且满足关系式s=350t.

问题1：这个问题中有哪些量？路程、速度、时间有什么关系？谁是变量？这两个变量之间是什么关系？

追问1：当t=1时，s的值是多少？当t=2时，s的值呢？当t=3时，s的值呢？当t=6.5时，你能求出s的值吗？能求出几个？当t=7.6，8.7，9.8时，都能求出s的值吗？都是只能求出一个吗？

追问2：t取定任意一个值时，s的取值都有这样一种对应关系，你能用自己的语言描述一下这样的关系吗？

师生活动：学生回答问题，预设回答会从“s随t的变化而变化”“当t取任意一个值时，s的值唯一确定”两个方面描述两个变量之间的关系.

【设计意图】从学生熟悉的行程问题入手，初步分析研究同一变化过程中两个变量间对应关系的思考方向.这两种描述都可以作为两个变量之间的关系，换一个情境看看两者是不是还成立.

例2商场销售某种商品，已知该商品进价为40元/件，商场工作人员记录了该商品按不同售价出售时每天所获得的利润，具体数值如表1所示.

表1

问题2：这是一个变化的过程吗？在这个变化过程中包含哪些量？哪些是变量？

追问：这个问题没有给出两个变量之间的关系式，你能看出两个变量之间的关系吗？刚才描述的两条结论还成立吗？

师生活动：教师提出问题，学生思考并回答.教师要关注学生是否能发现表格中存在“不同的x值，对应的y值相等”的情况.因此，从唯一确定的角度描述两个变量之间的关系更加准确.

【设计意图】再次经历一次研究函数关系的过程，明确研究变化过程中变量问题的思路，能够模仿描述两个变量的关系.

活动1：结合下列三个实际问题，分组讨论：这是一个变化的过程吗？在这个变化过程中包含哪些量？哪些是变量？每个问题中的变量之间是否具有相同的关系？如果有，这个相同的关系是什么？

（1）某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1 km，气温下降6℃，登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所在位置的气温是y℃.

（2）向一个水池中注水，如图2是注水量变化图，其中图上点的横坐标x表示注水时间（单位：min），纵坐标y表示注水量（单位：m3）.

图2

（3）如图3是自动测温仪记录的北京市某天24小时气温图，时间t（单位：时），温度T（单位：℃）.

图3

师生活动：学生分组合作学习，教师关注学生能否发现不同情境中变量间的关系是存在共性的，以及如何描述共性.

合作学习结束后，教师提问：每个问题中的变量之间是否具有相同的关系？学生回答是具有相同关系的.

追问：归纳上述这些具体问题的共性，就可以得到一个非常重要的数学概念——函数.你能说说归纳的结果吗？

学生代表汇报交流，教师展示函数概念.

【设计意图】通过分析多个具体的实际问题，发现这类问题中两个变量之间的关系是有共性的，从而归纳共性，获得函数的概念.

问题3：结合例2说明什么是“唯一确定”？

追问1：如何判断一个变量是否是另一个变量的函数？

追问2：两个变量的关系如表2所示，y是x的函数吗？

表2

【设计意图】经历实际问题的分析过程，归纳出函数概念的本质特征，明确根据概念判断两个变量是否是函数关系的几个层次，结合反例辨析函数概念.

活动2：两人一组，一名学生列举生活中变量之间是函数关系的例子，另一名学生判断举的例子是否正确.如果不是函数关系，说明理由；如果是函数关系，指明自变量和函数.交换分工再执行一次.

师生活动：教师关注学生是否能从一个变化过程有两个变量，以及当一个变量的值确定，另一个变量有唯一确定的值与其对应的角度进行辨析.请1组或2组学生代表汇报交流.

【设计意图】回归实例，对函数概念进行再认识，渗透用数学的眼光看世界的意识.

上述每个问题中的两个变量都具有函数关系，有的能用关于自变量的式子表示函数与自变量之间的关系，这种式子叫做函数的解析式，这种描述函数的常用方法叫做解析式法.有的能列表格表示具体的函数，这种表示方法叫做列表法.还有的能画函数图象表示，这种表示具体函数的方法叫做图象法.这就是函数的三种表示方法.虽然方法不同，但都可以表示具体的函数.

问题4：结合实例，你能说说这三种表示方法各有什么特点吗？

归纳：解析式法能准确地表示对应规律，列表法直接给出部分函数值，图象法直观地表示变化趋势.

3.课堂小结

（1）如何判断变化过程中的量是常量，还是变量？

（2）如何判断变量间是否是函数关系？

（3）你是如何得到函数的概念的？

（4）函数都有哪些表示方法，各有什么特点？

（5）说一说接下来你想继续研究函数的哪些内容？从什么角度进行研究？

【设计意图】梳理本节课的重点知识，加深学生对函数概念的理解，畅想函数的研究内容和角度，交流研究函数的预设思路.

六、目标检测设计

1.小阳跟爸爸一起去加油站加油，如图4是加油机上的数据显示牌，其中变量是（ ）.

图4

（A）金额和油量 （B）油量和单价

（C）金额和单价 （D）单价、油量和金额

【设计意图】考查学生对常量、变量概念的理解.

2.在如图5所示的计算器上按下面的程序操作，将结果填写在表3中.

图5

表3

思考：显示的计算结果y是输入数值x的函数吗？为什么？

【设计意图】考查学生对函数概念的理解.

七、作业——小组合作课题学习

2018年3月，“两会”在北京举行，有一条热点话题是关于个人所得税的.纳税是每个公民应尽的义务，缴纳的税款取之于民，用之于民，所以我们的公共交通越来越便利，义务教育阶段免除的费用越来越多，……同学们，你们了解现阶段个人所得税缴纳方案是什么吗？我们一起来看一看.

实施时间：2011年9月1日.

扣除标准：个税按3 500元/月的起征标准算.

个人所得税税率表，如表4所示.

表4

个人所得税=（工资-3 500）×税率-速算扣除数.例如，工资为6 000元时，个人所得税=（6 000-3 500）×10%-105=145.

你希望自己第一个月的工资是多少元？应缴税多少？这个问题中有没有变量？变量间是函数关系吗？从函数角度研究这个问题，你能得到哪些结论？能提出什么问题？

【设计意图】用数学的眼光看世界，感受函数是描述现实世界运动变化规律的重要数学模型.引导学生关注时事，增强社会责任感.

八、教学反思

本节课是将人教版《义务教育教科书·数学》八年级下册第十九章第一节“函数”的内容进行了整合，主要内容是函数的概念及三种表示方法.函数概念的本质是：函数是两个变量之间的一种特殊的对应关系.函数概念所反映的基本思想是变化与对应的思想.

函数概念具有高度的抽象性，学生能够体会在一个变化过程中，一个变量随另一个变量的变化而变化，但是对从“对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应”这个角度研究两个变量之间的关系有困难，这与数学史上人类逐步认识函数概念的过程是一致的.

为了帮助学生突破认知障碍，笔者对本节课进行了如下设计.

1.提供丰富、典型的实例作为抽象概念的基础

本节课设置了五个实例，它们分别以解析式、表格、图象的形式呈现两个变量之间的关系，这样做的目的是帮助学生透过表示形式发现变化过程中两个变量之间的本质关系.理解“唯一确定”是理解函数概念的难点，例1和例2是教师与学生共同完成的，并且通过精心设计的问题串引导学生体会在变化过程中，存在描述两个变量之间的关系的不同角度，其中从对应的角度描述更准确.活动1的三个实例留给学生进行小组合作学习，在分析过程中发现共性，为抽象函数的概念奠定基础.

2.多角度进行概念辨析，加深对概念的理解

在抽象出函数概念后设计了三个环节来辨析概念，环节1是结合前五个实例中任意一个说明“唯一确定”，通过正例分析明确函数概念中的三个层次，即“变化过程”“两个变量”“唯一确定”；环节2以反例帮助学生理解“唯一确定”；环节3是学生活动，列举生活中变量之间是函数关系的例子，进一步加深对函数概念的理解.

3.概念应用生活化

中学数学学科核心素养指出，要通过数学学科的教学引导学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维理解世界，用数学的语言表达世界.本节课设计的例子大多具有生活背景，帮助学生体会现实生活中存在大量的函数关系的问题.在作业环节，笔者设计了用函数知识研究生活中的一个实际问题——缴纳个人所得税这样的课题学习.

在实际授课过程中，还有一些需要调整的地方，问题设计还需要更精准.

在活动1中，设计的问题是：结合下列三个实际问题，分组讨论：这是一个变化的过程吗？在这个变化过程中包含哪些量？哪些是变量？每个问题中的变量之间是否具有相同的关系？如果有，这个相同的关系是什么？

在授课时，此环节耗时较长，分析原因是学生对于“关系”的理解还停留在相关关系的阶段，还不具备函数关系的经验.因此，当继续问到相同的关系是什么时，难以聚焦在“唯一确定”上.要想提问精准，要更好地理解数学，理解学生，理解技术，理解教学.

［1］章建跃.函数概念的抽象与数学核心素养的培养［J］.中小学数学（高中版），2017（10）：66.

［2］章建跃.理解数学是教好数学的前提［J］.数学通报，2015（1）：61-63.

［3］章建跃.章建跃数学教育随想录［M］.杭州：浙江教育出版社，2017.

［4］冀伟民.中小学数学课程中函数内容的发展主线研究［D］.上海：华东师范大学，2017.