注重强化基本套路 发挥数学育人价值——以一个特殊梯形性质的探究与反思为例

（北京教育学院朝阳分院）

一、问题分析

众所周知，平面几何是研究平面图形性质的科学.因此，平面几何教学的重中之重，就是要引导学生理解平面几何中一些基本图形的重要性质，掌握研究基本图形性质的路径方法，获得运用基本图形性质的探究方法去发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的基本活动经验,以发展直观想象和数学推理等关键能力.

事实上，现行中学平面几何教材中的概念、定理、公理所对应的图形都能称为基本图形.因为，每个几何概念，每条几何公理、定理及定理的推论都对应着一定的图形.

可以说，掌握了这些基本图形的性质及其探究过程，不仅意味着学生理解了平面几何的概念、定理、公理等重要知识，还学会了其中蕴含的研究几何图形性质的基本套路，这才是培养学生发现和提出问题、分析和解决问题能力的落脚点.

这个“套路”应该是：提出问题后，首先引导学生思考图形有哪些基本要素，还有哪些相关要素，然后研究这些基本要素、相关要素之间的关系，包括定性关系和定量关系.研究过程要以知识的发生、发展过程为线索，按图形基本要素之间、相关要素之间的关系依次展开，使学生经历“画图—观察—分析—猜想—验证—证明”的认知过程，为学生的思维由具体到抽象、由粗略到精细提供载体.

为此，教师可以通过引导学生研究一些特殊几何图形的性质，强化学生对上述研究方法理解和应用.本文以下面这道题目为例，进行深入挖掘，以期对读者有一定的启发.

题目如图1，四边形ABCD中，AB∥DC，E为AD边上一点，若AB=AE=a，CD=ED=b，且a＜b，过点E作AB的平行线交BC于点F，且EF=c.求证：

在上述问题中，AB∥DC，则四边形ABCD为梯形.因为AB=AE，CD=ED，所以AB+CD=AE+ED=AD，即在梯形ABCD中，上下底之和等于一腰的长.

这是梯形的一个特例，正因为具有特殊的条件，所以它具有丰富而优美的性质.通过证明性质，渗透和强化将梯形问题转化为平行线或三角形问题的转化思想，深化理解添加对角线等特殊线段是将四边形问题转化为三角形问题的一种常用的转化手段.在整个研究过程中，要先从梯形的组成要素边和角入手进行分析，再对相关要素对角线、内角平分线等重要线段进行分析.通过上述研究，期待进一步阐明证明思路“是如何想的”以及“如何想到的”.

二、性质探究

性质1：如图2，在梯形ABCD中，AB∥DC，且AD=AB+DC，作∠ADC的平分线，交BC于点M，则M为BC的中点.

图2

图3

证明：如图3，作DM与AB的延长线，交于点G，

因为DM为∠ADC的平分线，所以∠1=∠2.

又因为AG∥DC，所以∠G=∠1.

所以∠2=∠G.所以AG=AD.

所以AB+BG=AB+DC.

所以BG=DC.

又因为∠BMG=∠CMD，

所以△BMG≌△CMD.

所以BM=CM，即M为BC的中点.

性质2：如图4，在梯形ABCD中，AB∥DC，且AD=AB+DC，那么∠BAD的平分线与BC的交点M为BC的中点.

图4

性质2的证明与性质1相同，进而可得下面的性质.

性质3：如图5，在梯形ABCD中，AB∥DC，且AD=AB+DC，设M为梯形ABCD一腰BC的中点，连接MA，MD，则MA，MD分别为∠BAD和∠ADC的平分线.

证明略.

图5

性质4：如图5，在梯形ABCD中，AB∥DC，且AD=AB+DC，设M为∠BAD和∠ADC的平分线的交点，则∠AMD=90°.

证明：因为AB∥DC，

所以∠BAD+∠ADC=180°.

所以∠3+∠4+∠1+∠2=180°.

因为M为∠BAD和∠ADC的平分线的交点，

所以2（∠2+∠4）=180°.

所以∠2+∠4=90°.

所以∠AMD=90°.

性质5：如图6，在梯形ABCD中，AB∥DC，且AD=AB+DC，设M为梯形ABCD一腰BC的中点，在AD上取点E，使AE=AB，连接BE，CE，ME，则有△ABM≌△AEM；△DCM≌△DEM.

图6

证明略.

性质6：在性质5的基础上，可知∠BEC=90°.

证明：因为M为BC的中点，即MB=MC.

由△ABM≌△AEM，可得MB=ME.

所以MB=MC=ME.

所以以点M为圆心，以BC为直径作圆，点E在圆周上.

所以∠BEC=90°.

性质7：如图7，在梯形ABCD中，AB∥DC，且AD=AB+DC，M为梯形ABCD一腰BC的中点，在AD上取点E，使AE=AB，连接AM，MD，那么梯形ABCD可拼成矩形.

图7

图8

证明：因为△AEM和△DEM可以构成以AD为斜边的Rt△AMD，且△ABM≌△AEM，△DCM≌△DEM.

所以，如图8，△ABM和△DCM也能构成以AD为斜边的Rt△AM′D.

在DA上截取DB′=AB，则AB′=DC.

分别以DB′，AB′为边，作△DB′M′≌ △ABM，△AB′M′≌ △DCM.

所以矩形AMDM′即为所求.

性质8：如图9，在梯形ABCD中，AB∥DC，且AD=AB+DC，AE=AB，过点E作EF∥AB，交BC于点F，连接BD，交EF于点G，则有FG=GE.

图9

证明：因为AB∥EF∥DC，

所以

又因为

所以

又因为DC=DE，

所以FG=GE，

即G为EF的中点.

性质9：如图10，在梯形ABCD中，AB∥DC，且AD=AB+DC，AE=AB，过点E作EF∥AB，交BC于点F，连接BD，交EF于点G，连接AC，则EF，BD，AC三线共点.

图10

证明：由性质8可知，BD过EF的中点G.

同理，AC也过EF的中点G.

所以EF，BD，AC三线共点.

性质10：如图10，在梯形ABCD中，AB∥DC，且AD=AB+DC，AE=AB，过点E作EF∥AB，交BC于点F，连接BD，交EF于点G，连接AC，可得即原题目中的

证明：因为AB∥EF∥DC，

所以

且

由①+②，得

又由性质8得，

所以

三、研究反思

回顾上述研究过程可以发现，根据对已知问题所对应的特殊梯形性质的探究，至少可以获得10条性质，这些性质主要是通过研究梯形的相关要素，即梯形的一个内角平分线、梯形的对角线等相关要素的关系而获得的.这个特殊梯形性质的证明过程主要运用了平行线的性质、全等三角形、平行截割定理等平面几何中的重要知识.

当然，教师还可以适当引导学生将这个梯形进一步特殊化.例如，将其变为直角梯形，这样的情形下就与高中解析几何中学习的抛物线联系起来了，即得到下面的结论.

如图11，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠BCD=90°，且AD=AB+DC，则腰AD的两个端点A和D在以点E为焦点、BC所在直线为准线的抛物线上.

图11

对大多数学生而言，上述研究并不十分困难，一般都应该能够完成.教师可以结合学生的实际情况，明确分层探究任务，适当提示研究角度或研究思路，将学生分成若干研究小组，指导学生根据不同研究角度开展分组探究，并集中分享、交流研究成果.

利用新的特殊几何图形性质的具体探究任务，驱动学生在数学化的活动中应用数学的知识和方法，深化数学的思想和经验，促进学生理解研究对象的抽象过程和概念发生、发展的完整过程，把握数学命题，刻画图形运动变化过程中所表现的规律性.这才是数学的内核，也是数学育人内在力量的体现.

学生通过亲历上述基本图形和特殊图形性质的探究过程，习得的不仅是经历数学化活动的思维方式，获得的也不仅是自身数学发展所必需的关键能力（如数学推理能力、直观想象能力等），还包括学生经历数学化活动而养成的数学品格及健全人格.

对教师而言，上述探究过程可以为学生创造自主学习环境，营造身心愉悦的教学氛围，让真实的数学研究满足学生的好奇心与求知欲，享受随之而来的成就感.同时，还可以创设以创新精神为指导学习数学的情境，激活学生的创新思维，以更好地完成培养学生创新能力的重要任务.

［1］周春荔.平行截割定理（下）［J］.中学生数学（初中版），2017（9）：35-37.

［2］王用华.整体建构 突出“套路”：“平行四边形及其性质”教学设计［J］.中国数学教育（初中版），2016（5）：53-56.

［3］章建跃.章建跃数学教育随想录［M］.杭州：浙江教育出版社，2017.