应用网络空间开展探究式学习的探索——以“三角形全等的判定（1）”的教学为例

（安徽省淮北市西园中学）

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式.由于学生所处的文化环境、家庭背景和思维方式的不同，学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程.文章以沪科版《义务教育教科书·数学》八年级上册第十四章第二节“三角形全等的判定（1）”的教学实践为例进行研究，现与大家分享.

一、利用班级空间平台，前置研究问题

教学片断1：忆全等，启思维.

问题1：关于全等三角形，你知道些什么？

问题2：怎样画一个三角形和已知三角形全等？

已知如图1所示的△ABC，画△A′B′C′，使△A′B′C′≌ △ABC.

图1

画图工具：直尺、量角器、圆规等.

【设计意图】根据维果斯基的最近发展区理论，与学生已有认知有效衔接.回顾全等三角形的相关概念，全面感知研究对象，摸清全等三角形的来龙去脉，为后续研究做好技能与方法的储备，尤其为规范表达埋下伏笔.在画图的过程中，学生必然会主动地寻找需要的条件，在后续的学习活动中，感受到这些条件需要经过优化和提炼，逐渐形成判定三角形全等的方法．

思考感悟：数学家哈尔莫斯说过，问题是数学教学的心脏.有意识地将“疑”设在新知识的矛盾冲突中，使学生始终持有怀疑和探究的心理.数学学习就是对问题的探索与解决的全过程，数学教育就是一个提出、发现、分析和解决问题的全过程.问题驱动教学是提高课堂教学实效的有效途径，更是发展学生创新能力的引擎.

教师利用智慧课堂班级空间平台在课堂教学的前一天抛出这两个问题，就能给学生留有充足的思考问题的时间和空间，学生就会有可能在第二天的课堂学习中生成多种大胆而独特的想法，可以有效地激发学生探索新问题的兴趣.同时，这样还能优化课堂教学，培养学生利用多种途径解决问题的综合能力，提升学生的数学核心素养.

二、利用班级互动系统，合作探究问题

教学片断2：启思维，促生长.

师：对于前面的问题，说说你的画法，还有什么方法？

生1提出了“边角边”的方法，同时明确了画图既是“确定”，“确定”既是“全等”．

生2提出了“角边角”的方法，同时说明边是两角的夹边.

生3提出了“边边边”的方法，还介绍了三角形的稳定性.

生4对生2的说法提出了不同的看法，认为两个角确定了，第三个角也就确定了，所以边不一定是夹边，也可以是一个角的对边，生4认为“角角边”也可以作为判定方法.

教师肯定了生4的说法，表扬了生4通过思考或者预习，对三角形全等有了一定的认识，并适时追问：为什么判定三角形全等要满足三个条件呢？

师生活动：学生先独立思考，然后小组讨论，并派代表发言.师生共同总结，达成共识.按照全等三角形的定义，三条边分别相等、三个角分别相等是可以判断两个三角形全等的，在上述六个条件中有些条件是相关的.可以在这六个条件中选出部分条件，简捷地判定两个三角形全等.探究三角形全等条件的路径是从满足“一个条件”“两个条件”“三个条件”的顺序入手的.

师：满足一个条件可以判定两个三角形全等吗？

生5：一个条件就是一条边分别相等，或者一个角分别相等，利用手中的三角板就可以说明.当满足一个条件时可以画无数个三角形，不能判定两个三角形全等.

师：那么满足两个条件相等时，我们该如何思考呢？

生6认为满足两个条件相等，分为两边、一边一角或两角分别相等三种情况，并逐一举例说明不能判定三角形全等.

师：类似上述思考方法，满足三个条件相等时，我们又该怎么思考呢？

生7：按照边或角分类.

师：具体说说，可以分成几类？

生8：分成边边边、边角边、边边角、角边角、角角边、角角角共六类.

师：是不是可以说有六种判定方法？

生9：可以确定“角角角”不能判定两个三角形全等.例如，三角板中间和外边的两个三角形的三个角分别相等，但是它们显然不是全等的.

师：其他同学还有不同的想法吗？老师对“边边角”能否判定两个三角形全等存在疑惑，谁可以帮帮我？

生10：我认为“边边角”不能判定两个三角形全等.我刚才在我的平板电脑上画出了一个不全等的反例，请老师给我同屏，让大家看看.

师：生10的质疑和探究精神值得我们学习，他说得很好.我们以后在学习直角三角形中全等的判定时，还有会学到一种方法，当斜边和一组直角边分别相等时，两个三角形全等，到时我们会对“边边角”做进一步的说明.

【设计意图】本节课的主要教学内容是判定两个三角形全等的第1种方法——边角边.教材从画图开始，先引导学生分析画法，然后让学生自己动手画，画完以后，再让学生动手将所画的三角形剪下来，观察是否完全重合.在此基础上，启发学生自己思考：判定两个三角形全等需要哪些条件？在实际的教学中，笔者让学生从整体上认识判定两个三角形全等的方法，让学生先见森林，后见树木，让学生知道知识的生长过程，把教学重点放在发展学生的学习能力上，促进学生形成良好的学习习惯和思维品质，体现“为学生的发展而设计”的教学理念．

思考感悟：心理学认为，信息、知识、智慧是人们认识世界的三种境界，完备、有序的知识体系是形成智慧的前提.学习并利用“边角边”判定两个三角形全等的方法是本节课显性的数学知识，而隐性的学习结果蕴藏在教学过程中，即学生通过一节课的学习能得到什么.本节课先追问学生画一个三角形和已知三角形全等为什么需要三个条件，进而理清探究两个三角形全等的路径.除了在教学准备阶段安排了学生进行操作与探究外，在提出只给定一个元素、两个元素和三个元素时能否确定一个三角形的形状和大小时，同样也安排了学生参与动手操作和思考探索.允许学生采取各自解决问题的方案，利用智慧课堂班级互动系统在全班进行交流.学生通过画图、观察和交流，在条件由少到多的过程中逐步探索出最后的结论.在这个过程中蕴涵转化、分类等数学思想.学生不仅知道了判定两个三角形全等的条件，也学会了一种分析问题的方法，获得了数学活动的体验，使学生在今后的数学学习中受益匪浅．这对于发展学生的空间观念、形成推理意识都具有重要价值.

三、利用拍照对比讲评，架设展示平台

教学片断3：寻策略，累经验.

师：今天我们学习了判定三角形全等的方法之一——边角边.有个简单的思路，当三角形两边和其夹角确定以后，只能画出一个三角形就可以说明两个三角形全等.现在请同学们观看老师制作的微课视频.（时间约4.5分钟，重点操作实验说明边角边和边边角能否确定三角形全等，让学生对比直观感受，加深对夹角的认识.）

问题1：已知：如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC.求证:△ADC≌△CBA.

图2

学生自主寻找判定全等条件的方法，完善证明全等的过程书写.

问题2：如图3，在湖泊的岸边有A，B两点，难以直接量出A，B两点间的距离.你能设计一种测量出A，B两点间的距离的方案吗？

图3

学生设计出如图4所示的方案：在湖泊外找一点C，连接AC并延长，使AC=A′C，连接BC并延长，使BC=B′C，连接A′B′，则A′B′=AB.

图4

让学生体验数学来源于生活，又服务于生活的思想.同时，使学生进一步熟悉推理论证的模式，进一步完善证明过程.

【设计意图】例题教学是课堂教学的重要组成部分，其质量的高低直接影响学生对知识的掌握情况，同时，也影响学生运用知识解决实际问题的能力.例题教学不是告知，而是多视角的思辨活动.通过对例题的归纳、提炼，达到解一题、会一类的效果.因此，在设计本环节时，笔者先让学生独立尝试书写解题过程，然后利用平板电脑的拍照讲解功能充分暴露学生的思维活动，营造亲切、和谐、活跃的课堂气氛，再通过适时点拨、引导，尽可能调动学生的积极性，让学生主动参与到合作探讨中来，使学生在与他人的合作交流中完善证明过程，获得新知.同时，利用一个联系实际生活的问题，对得到的知识加以运用，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力.

思考感悟：建构主义理论认为，学生是知识意义的主动建构者，而不是外界刺激的被动接受者.只有通过切身体验、合作和对话等方式，学生才能真正完成知识意义的建构.基于本节课的教学目标，例题的设置由易到难，逐层递进.让学生不断积累解题方法和经验，突出格式化的几何语言表述，这样的教学发生于课内，延伸至课外，一脉相承，对学生数学核心素养的形成有着很好的促进作用．在问题1的教学中，笔者先让学生独立写出证明过程，然后同伴之间合作交流，再利用平板电脑拍照对比讲解功能收集多个小组的解答，最后利用同屏投放在“班班通”上供全体学生辨析.教师在学生的“帮助”下用画笔做适当的修改，然后再给时间让学生纠错，以期达到良好的学习效果.在问题2的教学中，为了提升学生运用知识的能力，笔者适时追问：不能直接测量我们该怎么办？怎么找一边和已知边相等？怎样构造全等来证明边相等？如何用文字去描述？怎样书写解题过程？然后让学生议一议，做一做，最后让学生总结出解决这一类问题的通法.

课堂中利用网络空间与信息技术的深度融合，拓宽了问题呈现的渠道，增加了上课的容量，也提升了学生的关注度.学生可以根据自己的实际情况，调整学习节奏，自主化学习.网络空间与信息技术深度融合的课堂，可以满足学生个性化的学习诉求，实现思维的可视化和可听化，进而帮助思维薄弱的学生通过直观开启思维之门，发展和提升学生的逻辑思维能力.

［1］潘红玉.推进思辨活动 彰显示范功能：关于例题教学的几点思考［J］.中学数学教学参考（中旬），2015（7）：24-26.