“开心农场围建”的数学建模——用二次函数解决问题（第1课时）的教学尝试与思考

江苏省苏州高新区第三中学校 顾寒平

数学建模是数学核心素养的基本成分之一，具体描述为：模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣的应用意识。

一、巧用素材，唤起建模意识

问题1：为丰富学生的校园生活，学校准备将学校东南角的一块空地开辟成“开心农场”，平均分给每个年级种植蔬菜。我们九年级课外活动兴趣小组准备用长为30米的篱笆直接围建一个矩形的蔬菜园（如图1）。 小强预算需要50平方米，应该用篱笆怎样围？

图1

师：请同学们审题，寻求解决问题的方法。

生：设一边长为x米，则另一边长为（15－x）米。所以x（15－x）=50，解得一边长为10米，另一边长为5米。

师：如果面积要达到57平方米呢？

生：不行，方程x（15－x）=57无解。

师：用一元二次方程解决实际问题的思路是什么？

生：问题情境——建立模型——求解验证。

恰好学校在围建“开心农场”，问题1是贴近生活的现实问题，这对学生来说感觉非常亲近、自然。这种源于自然生活的现实问题能唤起学生用数学的眼光审视生活，积极参与数学活动，产生尝试用数学知识、方法、思想解决问题的应用意识和心理冲动，培养了学生的数学敏感性和应用意识，感受数学的价值和趣味性。学生在解决这一问题的同时，不知不觉对已有知识“用一元二次方程解决问题”进行了很好的复习回顾。

二、留出机会，经历建模过程

师：请同学们结合问题1的现实情境想一想：用这个篱笆直接围，应该怎样围占地面积最大？

生：将它围成两边长分别为7米、8米的长方形，这时的占地面积最大。

师：你是如何思考的呢？

生：刚才面积不能达到57平方米，所以我取了56平方米，得到方程x（15－x）=56，发现正好可以。

生：我认为不对，面积不一定是整数，也可以是小数，面积为56.1平方米也可以啊！

师：这两位同学从数的角度进行了分析，还有吗？

生：将它围成一个边长为7.5米的正方形，这时的占地面积最大，为56.25平方米。

师：这位同学从形的角度进行了分析，但你知道为什么正方形是面积最大吗？

生：以前小学学过，周长一定的四边形，正方形的面积最大。师：这位同学基础很扎实，但还是没说清为什么。

生：可以设面积为S平方米，得到x（15－x）=S，所以x2－15x＋S=0，因为要使这个方程有解，所以Δ≥0，即S≤56.25，最大面积为56.25平方米，此时是边长为7.5米的正方形。

师：很好，你是怎么想到的？

生：因为刚才大家一直在猜这个最大面积，它是未知数，所以也用一个字母S来表示，只要能求出来就行了，也就是方程有解。

师：很好，想不到一元二次方程还有如此功能，还有其他想法吗？

生：我和前一位同学的想法差不多，设面积为S平方米，得到x（15－x）=S，但可以把它看成一个二次函数S=x（15－x），因为开口向下，要使S最大，所以求出顶点就行了。

师：你解决了以上同学的问题，你是怎么思考的？

生：因为面积S随着取不同的x值的变化而变化，所以想到了用函数来解决问题。

师：由于篱笆的结构特点，规定只能在整数米处断开，应该怎样围占地面积最大？

生：当x=7或8米时，S最大，为56平方米。因为边长为整数，最大值不能发生在顶点处，结合图象和性质：开口向下，越靠近顶点，函数值越大。

本环节没有按照教学的内容，因为要学习“用二次函数解决实际问题”，所以直接要求学生建立二次函数模型，把学生对数学建模的认识限制在二次函数范围内，而是给学生足够的时间和机会经历探索活动。首先给出实际问题，学生根据已有的知识经验和需要建立不同的数学模型（如方程模型、不等式模型、函数模型等），同时引导学生进行探究、分析、比较和解决问题，在解决问题的基础上形成一些共性认识：生活中经常会遇到类似的问题，我们往往借助二次函数模型来解决，建立函数模型与建立方程模型的本质是相同的。改变先告知后练习的方式，提倡问题引导下的探究活动，关注知识的形成过程，在知识的生成中不断发展学生的能力，让学生真切地经历数学模型的抽象、积累建模经验。

三、拓展问题，应用建模思想

问题2：“蔬菜园”其中一边靠墙(墙长为18米)，其他三边用这个篱笆围（如图2）。

图2

师：若菜园的面积为72平方米，求垂直于墙的边的长。

生：设垂直于墙的一边为x米，则平行于墙的一边长（30－2x）米，得到x（30－ 2x）=72，解得x1=3，x2=12。当x=3时，30－2x＞18，应舍去；当x=12时，30－2x＜18，符合题意。

师：这位同学考虑问题很全面。你知道x的取值是多少吗？

生：经过思考得到：6≤x＜15。

师：平行于墙的一边长不小于8米，这个菜园的面积有最大值和最小值吗？

生：设面积为S平方米，得到二次函数S=x（30－2x），因为开口向下，顶点坐标为（7.5，112.5），所以当x=7.5时，S有最大值，为112.5平方米。

生：题目中还要求最小值。通过计算得6≤x≤11，结合二次函数的图象发现，当x=11时，面积有最小值，为88平方米。

师：平行于墙的一边上留1米宽的门（如图3），且仍使菜园面积最大，应该怎么围？请同学们类比上一问的解题思路，构建模型自己独立求解。

图3

师：在问题2的情况下（如图2），当这个菜园的面积不小于100平方米时，直接写出垂直于墙的边的取值范围。

生：设垂直于墙的一边为x米，则平行于墙的一边长（30－2x）米，得到x（30－2x）≥100，这是一个二次不等式，不会解了。

师：看来这条路不太好走，还有其他的想法吗？

生：还是构建刚才的二次函数S=x（30－2x），面积不小于100平方米，也就是S≥100，结合图象得5≤x≤10。

师：刚才的二次不等式x（30－2x）≥100你会解了吗？

生：可以利用二次函数的模型求解。

师：想不到二次函数还有如此功能。那么，刚才问题是否已解决？

生：范围应该是6≤x≤10，因为靠墙的一边不能超过18米。

问题2承接问题1，又有变化，不是简单的模仿，特别是“平行于墙的一边有了取值范围”和“菜园面积不小于100平方米”，使应用意识和数学模型思想得到了进一步的拓展，对“如何围面积最大”做进一步的研究，看似简单自然，却意味深长。巧妙的设问，让学生在潜移默化中加深了二次函数模型的应用，同时引导学生分析研究各种模型的内在联系，有利于学生建立更为完善的知识结构。从数学现实出发，加强了数学应用、积累了数学活动的体验，发展数学模型思想，提升数学核心素养。

四、教学感悟

二次函数是初中数学的核心内容，在初中数学课程体系中占据重要的地位，也是数学的难点内容，知识点多，综合性强。而苏科版教材九年级下册《用二次函数解决问题》只有两课时，没有涉及面积、周长等几何类问题，可能由于苏科版教材九年级上册《用一元二次方程解决问题》中已出现过，或是在日常生活和生产实践中有不少问题都可以用到二次函数，让教师根据学情去选用新鲜、自然、贴近学生的素材进行教学。本节课用学生身边的“开心农场围建”为题材，贴近学生的生活经验，使生活走向数学，数学依托于生活，显得自然而然，使学生感受到数学的亲和力。具有降低学生心理预期难度的作用，生成一种和谐的安全心理，使数学不再可怕，为学习用函数解决实际问题开了一个好头。