解题与做题的艺术

李迎立

摘 要 每一道数学题均有自己的特点，这个特点也决定了如何去解它，只要把握住特点，就能找到最简单的解题方法。笔者通过一些例子具体和大家阐述分析如何找到适合的解题方法。

关键词 特点 适合 条件

中图分类号：G633.41 文献标识码：A

1解题的艺术

以下面的解题为例：已知x，y满足如下约束条件，当目标函数Z=ax+by（a>0，b>0）在该约束条件下取得最小值2时，a2+b2最小值为_____

由约束条件和题中要求易得2a+b=2，此题最基本解法是二次函数方法：将b=2-2a代入a2+b2转化为求二次函数最小值，但太过麻烦，完全可由其特点找更简单的解法。

注意要求a2+b2最小值，应想到有如下的处理方法：①均值比等式≤②柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）≥ （ac+bd）2 转化为几何问题 转化为三角函数问题。

方法（1）：（柯西不等式法）由（a2+b2）（22+12）≥（2a+b）2得a2+b2≥=4，验证等号成立条件即=时取等号，符合题意，则（a2+b2）min=4

方法（2）：（幾何法）令y=a2+b2，因2a+b=2则y为点O（0，0）到直线2a+b-2=0的距离的平方。

方法（3）：（三角函数法）令a=xsin ，b=xcos ，则x2=a2+b2，∵2xsin +xcos =2，∴2sin（ + ）=2（cos =，∴x=，则x2=a2+b2最小时即sin（ + ）最大，x最小==2，∴（a2+b2）min=4

由此可以看出，寻找题目的特点，根据特点寻找适当的解题方法是提高做题速度的不二法门。

2做题的艺术

对于某些选择题，完全可以不用解题而选出正确答案，甚至比你解题得出的答案还准确，而且可以大幅加快你做题的速度，关键只有一个字——代。下面举几个例子来说明：

例1：若关于X的不等式x2-ax-6a<0有解，且解区间长度不超过5个单位长度，则a的取值范围（ ）

A -25≤a<0 或1≤a<24 B -25≤a<-24或 0

C -25≤a≤0 D a≤-25或 a≥1

看到不等式有解，首先想到△≥0，只有“区间长度不超过5个单位长度”让很多同学摸不着头脑，没关系，△≥0解出后排除A，D两项，观察B，C 特点，一个有0，一个无0，代入a=0不符合题意，则选项中包含均错误，所以选B。

正规解法：

由于△≥0可设x2-ax-6a=0的两个解为x1，x2，则有

第二步不好想，而且难处理，用代入法可以明显加快速度，提高准确率。

例2：若关于的不等式（ax-20）lg≤0对任意正实数x恒成立，求实数a的取值范围（ ）

A [-10，10] B [-，] C （-∞，] D {}

这道题对于会做题的同学只要5秒钟，一看题为正实数，则a>0结束，选D

正规解法；令y1=ax-20，y2=lg，则y1过定点（，0），y2过定点y1y2≤0，则y1y2一直异号。要满足此条件，2a=，则a=，所以选D。

对于有些难思考，难解难算的题，我们要避其锋芒，用代入法，最难的题可能是最简单的题，但也要合理运用，正确解题才是正道。

（指导教师：常腊民）

参考文献

[1] 李来荣.对于初中数学解题技巧的探究[J].数学学习与研究，2014（12）.

[2] 叶素红.初中数学解题技巧指导与运用探究[J].数理化解题研究（初中版），2014（12）.