具有不变直线的可积非Hamilton系统的极限环分支

闫晓芳, 尚华辉, 杨纪华

(1. 永城职业学院 基础部, 河南 永城 476600; 2. 宁夏师范学院 数学与计算机科学学院, 宁夏 固原 756000)

1 引言和主要结果

对于一个扰动可积非Hamilton系统

(1)

其中,0<|ε|≪1,Hy(x,y)μ(x,y)和Hx(x,y)μ(x,y)是关于x、y的m次多项式,f(x,y)和g(x,y)是关于x、y的n次多项式,H(x,y)称为系统(1)(ε=0)具有积分因子1/μ(x,y)的首次积分.假设未扰动系统(1)(ε=0)至少有一个中心,确定系统(1)极限环的个数和分布称为Hilbert16问题[1],通过扰动一个系统的中心得到极限环是一种经典的方式.一般来说,研究从一个系统的中心周期环域分支出极限环的个数问题,共有4种方法:第一种是Poincare回归映射法[2-3],第二种是Poincare-Pontryagin-Melnikov法(或称为Abelian积分法)[4-7],第三种是可逆积分因子法[8-9],第四种是平均法[10-13].在平面上,第二种和第四种方法等价,见文献[11].应用平均法研究系统(1)的极限环分支问题,由于需要做极坐标变换,所以目前文献要求H(x,y)=x2+y2,例如文献[10]研究了μ(x,y)=x+1的情形,文献[11]研究了μ(x,y)是平面二次圆锥曲线的情形,文献[12]研究了μ(x,y)=(x+a)(y+b)的情形.

本文研究如下扰动可积非Hamilton系统

(2)

其中

2 平均法和平均函数

首先介绍微分方程的平均法,更详细的介绍参考文献[6].

定理2考虑一个微分方程的初值问题

(3)

其中,F0(x,t)和G0(x,t,ε)是关于t的T-周期函数,x,x0∈U,T是不依赖于ε的常数,U是R中的开区间.定义平均函数

再考虑平均方程的初值问题

(4)

注1由定理2可知,如果方程(3)满足定理中的条件,则平均函数f0(y)的一个简单零点对应方程(3)的一个极限环.所以计算出平均函数f0(y)至关重要.

所以

ε2G0(r,θ,ε).

(5)

容易验证,方程(5)满足定理2中的条件.根据定理2,与方程(5)相对应的平均函数为

下面化简平均函数f0(r),计算可得

(7)

其中λi,j=ai-1,j+bi,j-1,这里假设λ0,0=a-1,j=bi,-1=0.因为ai,j和bi,j是任意的,所以λi,j也是任意的.定义

(8)

引理1下列关系式成立：

(i)Ii,2j+1(r)=0,

(ii)r2iI2i,0(r)=(-1/a)iI0,0(r)-

(ii)由

(ar2cos2θ)i-(-1)i=(ar2cos2θ+1)×

得

把上式两端同时关于θ从0到π积分即可得(ii)成立.引理1证毕.

(9)

其中

因为λi,j是任意的,所以Ai,j也是任意的.又λ0,0=0,所以A0,0=0.再由(9)式和引理1中(ii)可得

其中

i=1,2,…,n-1.

(10)

注意到,当k是奇数时,M(k)=0,即β2k+1=0,所以

F(r)=α0[I0,0(r)+α/α0]+

(11)

注2由(9)式可知

所以

3 定理1的证明

首先把函数F(r)表示成若干个线性无关函数的线性组合.

I0,0(r)+α/α0,r2I0,0(r),r4I0,0(r),…,

(12)

证明由(11)式知F(r)可以由(12)式中函数线性表出.所以只需证明它们是线性无关的即可.对于它们的任意线性组合

δ0(I0,0(r)+α/α0)+(δ1r2+δ2r4+…+

(δ0+δ1r2+δ2r4+…+

(13)

δ0+δ1(-1/a)+δ2a-2+…+

所以(13)式变为

为了证明本文中定理1,还需要下面引理,见文献[14].

引理3考虑n+1个线性无关的解析函数hi:U→R,i=1,2,…,n+1,其中U⊂R是开区间.假设存在j∈{1,…,n+1}使得hj不变号,则存在n+1个常数ci,i=1,…,n+1,使得

在U中至少有n个孤立零点.

I0,0(r)+α/α0,r2I0,0(r),r4I0,0(r),…,

4 结论和展望

[1]ARNOLDVI.Tenproblemsin:theoryofsingularitiesanditsapplications[J].AdvSovietMath,1990,1:1-8.

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