随机竞争Lotka-Volterra系统的正周期研究

蒲晓琴

(中国民航飞行学院 计算机学院, 四川 广汉 618307)

1 基础知识

经典的Lotka-Volterra系统是通过下面的n维微分方程来描述物种间的相互制约的,

n≥1,i=1,2,…,n,

(1)

其中,bi(t)、aij(t)(i,j=1,2,…,n)都是连续函数.环境噪声存在于人口系统中.事实上,许多学者已经研究了人口系统受白噪声干扰的问题[1-17].对于确定性的人口系统,有许多文献对周期解的存在性进行了研究.然而对随机微分方程周期解的研究[17]还非常的少.

文献[17]考虑了如下n-维随机人口系统:

n≥1,i=1,2,…,n,

(2)

其中，bi(t)、aij(t)和cij(t)(i,j=1,2,…,n)是周期为T>0的连续函数.令(Ω,F,{Ft}t≥0,P)是一完全概率空间{Ft}t≥0≥0,

ω(t)=(ω1(t),…,ωn(t))T

是定义在(Ω,F,{Ft}t≥0≥0,P)上的n-维Brownian运动.他们得到了对方程(2)渐进稳定周期解存在性的一些有趣结果.然而,文献[18]所提出的一些结论是错的.下面列出一些例子.首先,文献[18]中定理2.1的证明,把‖(u1,…,un)‖→∞对每个i有ui→∞或ui→-∞.因此,文献[18]中定理2.1的条件并不能推出Lv→-∞,其中

其次,文献[18]中定理2.2的证明,有

Lv=

但是作者把公式弄错了，应该是：

Lv=

因此,对方程(2)渐进稳定周期解存在性问题依然未得到解决.本文得到了方程(2)周期解存在性和全局吸引性的充分条件.即使在特殊情况下,也改进了文献[9]中的结果.

注1.1随机过程ξ(t)=ξ(t,ω),t∈R,如果其有限维分布是T周期性的,那么Rn也被认为是T周期性的,对任意正整数m和任意时刻t1,…,tm,随机变量ξ(t1+kT),…,ξ(tm+kT)的联合分布与k(k=±1,±2,…)无关.显然,如果ξ(t)是周期为T的随机过程,则其时刻也是以T为周期的.

2 正解的存在性和唯一性

Rn={x∈Rn:xi>0,1≤i≤n},

令R+=[0,+∞),E[f]是指f的期望.

为了方便起见,记:

其中f(t)为周期为T的连续函数.对任意的常序列{δij}(1≤i≤n,1≤j≤n)定义

假设(A) 设

aii(t)>0,aij(t)≥0,

i≠j,t≥0,i,j=1,2,…,n.

证明首先考虑方程:

(3)

它的非负性可以由下面的式子得到:

由假设(A)可得:

故

因此有

ELV(x)≤K.

从上面和文献[20]中的推论4可得τe=∞,证毕.

3 正周期解的存在性

E‖x(t,x0)‖p≤K,t≥0,

其中p为某个正常数.

证明为了方便,记x(t)=x(t,x0).定义

dV(x(t))=LV(x(t))dt+

计算

d(etV(x))=et(V(x(t))dt+dV(x(t))).

因此可以得到:

etEV(x(t))≤V(x0)+

V(x0)+K(et-1),t≥0.

这意味着

EV(x(t))≤V(x0)e-t+K,t≥0.

由引理3.1有

E(‖x(t)‖p)≤

证毕.

其中θ为正常数且满足

d[(1+U(t))θ]=θ(1+U(t))θ-2J(t)dt-

(4)

其中

不难估计

(5)

从(4)和(5)式可得

d[eηt(1+U(t))θ]=ηeηt(1+U(t))θdt

+eηtd[(1+U(t))θ]≤

eηt(1+U(t))θ-2{η(1+U(t))2-

eηtG(U)dt-θ(1+U(t))θ-1U2(t)×

E[eηt(1+U(t))θ]=(1+U(0))θ+

然后有

E[Uθ(t)]≤E[(1+U(t))θ]≤

设

因此

证明完毕.

引理3.4[22]如果μn,n=1,2,…,n,μ是Rn上的测度,那么以下条件是等价的：

(i) 测度μn序列弱收敛于μ;

令

p(0,x0,x(t),A)=P(x(t)∈A|x(0)=x0),

定理3.1在假设(A)和(B)下,方程(2)有一个正周期解.

(6)

由(6)式知,这个序列是弱收敛的.令Pnk为其子序列弱收敛于某一测度P0.如文献[24]中的定理3.2.2,证明了测度P0满足方程:

因此定义了周期过程的初始分布.由引理3.3和Chebyshev不等式知道对任意0<ε<1,存在

使得

Pn(‖x(t,x0)‖≤δ)=

引理3.4暗示P0(‖x(t,x0)‖≤δ)≤ε.因此,这个周期解是非平凡的.

注3.1定理3.1意味着如果方程(2)具有至少一个有界解,则对于一些(通常是随机的)的初始条件,方程(2)有周期解.对于n=1,也遵循Massera定理.当然,这个结果不能保证方程(1)对应的确定性方程周期解的存在性,因为周期性随机过程不需要具有周期性的样本函数.

4 正周期解的全局吸引性

本节将获得方程(2)的周期解的全局吸引性的充分条件.

令x(p)(t)为方程(2)的一个正-T周期解.

说x(p)(t)是全局吸引的.

引理4.2在假设(A)下,方程(2)的解x(t),t≥0,是一致连续的.

证明记

σij(t,x(t))=cij(t)xi(t),i,j=1,2,…,n,

和

f(t,x(t))=(f1(t,x(t)),…,fn(t,x(t)))T,

σ(t,x(t))=(σij(t,x(t)))n×n.

计算

从这个式子和引理3.2

E(‖f(t,x(t)‖)p)≤K, ∀p>0,

(7)

E(‖ρ(t,x(t))‖p)≤K, ∀p>0.

(8)

结合(7)、(8)式和文献[26]中的引理3.4,知道方程(2)的解是一致随机连续的.

注4.1文献[26]中引理3.4的证明,若p=4,我们得到下面的不等式

(9)

换句话说,对指数γ,几乎所有的样本路径都是局部的,但都是一致Hölder连续的.因此x(t)的几乎每一个样本路径在t≥0时都是一致连续的.

对任意常数v1,…,vn,令

很容易看出hi(i=1,2,…,n)都是周期为T的函数.

介绍下面这个假设:

假设(C) 存在正常数v1,…,vn使得函数hi(i=1,2,…,n)在[0,T]为正的.

定理4.1在假设(A)、(B)和(C)下,方程(2)的正T-周期解x(p)(t)是全局吸引的.

因此,直接计算出函数V(t)的右上导数d+V(t)有

将(10)式从0到t积分,得到

V(0)<∞,

这使得

因此,从引理4.1和注4.1可得,

这就完成了定理4.1的证明.

文献[8-9]考虑了随机非自主逻辑方程

dN(t)=N(t)[a(t)-b(t)N(t)]dt+

α(t)N(t)dB(t),

(11)

其中B(t)为1-维标准Brownian运动,a(t)、b(t)和α(t)是周期为T的连续函数,a(t)>0,b(t)>0.

很容易从定理4.1中得到以下推论.

这就是注1.1中1/N*(t)或E[1/N*(t)]与周期T的关系.很明显推论4.1改进了文献[9]中的结果.

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