平均法处理自由落体频闪数据的研究

何述平

(西北师范大学教育学院物理教育研究所,甘肃 兰州 730070)



平均法处理自由落体频闪数据的研究

何述平

(西北师范大学教育学院物理教育研究所,甘肃 兰州 730070)

研究了处理自由落体频闪数据测定重力加速度的平均法,结果表明:有2种可行方法,结合实测数据给出了合理结果;拓展了现行教课书中相关的方法,提出了相应的教学建议.

平均法;自由落体;频闪数据;重力加速度;教学建议

1 引言

自由落体运动是普通高中课程标准实验教科书物理1的基本内容,[1,2]图1是小球自由落体频闪照片.[2]运用什么方法处理自由落体频闪数据测定重力加速度?现行教科书[2]仅给出了v-t图像法,可否运用平均法?有怎样的特点?就此进行相应的研究,以期拓展处理自由落体频闪数据测定重力加速度的方法,为教学设计奠定层次性、开放性的物理基础.

图2 频闪点n和位移hn

2 平均法的推证

平均法是物理实验数据处理的基本方法,也是解决拟合(回归)直线时方程数多于变量数的方法,[3]据此简明推证处理频闪数据测定重力加速度的平均法.小球做自由落体运动的频闪点n和位移hn(频闪周期为T)如图2,则有

(1)

式中n=1,2,3,…,且n=0时,h0=0.式(1)表明:位移hn与时间nT呈二次函数关系.依据平均法处理数据的基本思想(分组-平均),[3]并考虑自由落体频闪数据特点(t=0，即n=0时,h0=0,v0=0),[4]可得处理自由落体频闪数据测定重力加速度的位移平均法和速度平均法.

2.1 位移平均法(h-n2平均法)

式(1)可写为

(2)

式(2)表明:hn与n2呈线性关系(T、g为恒量).测得的N组数据(n,hn)依次代入式(2),得N组线性方程,直接求和得

(3)

简化式(3),有

(4)

结合图1,n=0,7,8,9,10,11(n=0时,h0=0),由式(3)得

(5)

由式(5)可确定图1的重力加速度gh.

2.2 速度平均法(v-n平均法)

式(1)线性化,得

(6)

(7)

简化式(7),有

(8)

结合图1,n=0,7,8,9,10,11(由自由落体频闪数据特点知:n=0时,v0=0),由式(7)得

(9)

由式(9)可确定图1的重力加速度gv.

3 平均法的运用结果

由现行教科书中小球自由落体频闪照片[2]测得频闪点n对应的位移hn(单位cm)数据(频闪周期T=0.033s)如表1,依次运用上述推证的平均法处理自由落体频闪数据测定重力加速度的结果如下.

表1 小球自由落体的频闪数据

3.1 位移平均法的结果

由式(5)、表1得gh=976.7cm/s2.

3.2 速度平均法的结果

由式(9)、表1得gv=976.6cm/s2.

4 讨论

4.1 平均法的特点

上述2种平均法不仅充分利用了测量数据,而且均考虑了自由落体频闪数据特点(t=0，即n=0时,h0=0,v0=0);从上述推证过程知,2种平均法的形式不同[式(3)、(7)或式(5)、(9)],但实质均为线性函数平均法.

比较2种平均法知,平均法处理自由落体频闪数据测定重力加速度的简捷程度(由简到繁)为:位移平均法[式(3)或式(5)]、速度平均法[式(7)或式(9)].因此,宜采用位移平均法处理自由落体频闪数据测定重力加速度.这就为平均法处理自由落体频闪数据测定重力加速度的层次性教学设计奠定了基础.

4.2 平均法的合理运用

平均法处理自由落体频闪数据测定重力加速度的运用过程中可能会由式(2)或式(6)的线性方程先求出N组ghn或gvn,然后再求平均,即所谓的“方程法”.如此运用平均法合理否?凭感觉似乎合理,但与物理实验间接测量数据处理算法抵触.依据间接测量数据处理算法的“先平均”法与“后平均”法的讨论知:[5]g(待测量,间接测量量)与n、hn(直接测量量)均有明确的函数关系[式(2)、(6)],g存在确定的实际值(对当地,为恒量);且由式(2)或(6)的任一方程确定的gn的波动性主要反映随机误差.因此,处理自由落体频闪数据测定重力加速度的算法采用“先平均”法(位移平均法式(3)、速度平均法式(7)直接计算g值);而处理自由落体频闪数据测定重力加速度算法的“方程法”即“后平均”法明显欠妥,且因两次运算引入计算误差.鉴于:“先平均”法和“后平均”法各适用于两类本质不同的问题;虽然“先平均”法与“后平均”法的数学运算结果对相当多的具体问题相差甚微,但也不宜混用.[5]因此,自由落体频闪数据处理不应运用“后平均”法即“方程法”.

上述2种平均法[式(2)、(6)]可归为正比函数y=ax的平均法,依据平均法的基本思想(分组—平均)可概括出平均法合理运用于正比函数的程序:测N(N≥6)组数据(xi,yi)→得N组线性方程(仅有待测量即间接测量量a,故无需将方程分组)→N组线性方程求和→得a估值(式(3)、(7)可作为合理运用的实例).

4.3 平均法与回归图像法特点比较

5 教学建议

基于平均法特点、平均法与回归图像法特点比较,有如下处理自由落体频闪数据测定重力加速度的方法建议.(1) 若取向于直接计算,且需理解“来龙去脉”，则宜运用平均法.(2) 若取向于间接计算,且不需了解“来龙”、仅需知道“去脉”即会直接运用相应的Excel程序得正比函数图像和斜率(即重力加速度)，则宜运用回归图像法.

由现行教科书中小球自由落体频闪照片测量数据,再运用平均法处理频闪数据测定重力加速度,经历了测量过程、运用了数据处理方法,具体落实了“过程与方法”教学目标.因此,平均法不仅具有教学适应性,而且具有落实高中物理课程“过程与方法”教学目标的功能性.鉴于此,处理自由落体频闪数据测定重力加速度的方法教学适宜采用平均法.

6 结语

简明推证了处理自由落体频闪数据测定重力加速度的位移平均法和速度平均法,结合实测数据给出了合理结果,讨论了平均法的特点、简捷程度、合理运用、平均法与回归图像法特点比较,提出了不同教学目标取向时运用平均法、回归图像法的教学建议,给出了实际教学中宜运用平均法的教学过程与方法分析.拓展了现行教科书中处理自由落体频闪数据测定重力加速度的方法.

2种平均法可作为高中物理科学方法教育的显性内容,通过层次性、开放性的探究式教学,可培养与提升物理实验数据处理的方法.

1 人民教育出版社课程教材研究所,物理课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书物理1(第3版)[M].北京:人民教育出版社,2010：43-45.

2 束炳如,何润伟.普通高中课程标准实验教科书物理1(第3版)[M].上海:上海科技教育出版社,2007：44-52,48.

3 龚镇雄.普通物理实验中的数据处理[M].西安:西北电讯工程学院出版社,1985：126-130.

4 许国梁,束炳如.中学物理教学法(第2版)[M].北京:高等教育出版社,1993：456.

5 朱鹤年.物理实验研究[M].北京:清华大学出版社,1994：106-112.

6 朱鹤年.基础物理实验教程:物理测量的数据处理与实验设计[M].北京:高等教育出版社,2003：77.

2016-12-26)