定积分概念的学习与启示

刘启明 刘立红 孟明强

摘 要：定积分是高等数学中一个重要概念。文章主要分析了从定积分概念出发而引出的一些解决问题的方法与学习数学的启示。

关键词：定积分；计算；应用

中图分类号：G640 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2018）11-0069-03

Abstract： The definite integral is a very important conception in higher mathematics. From the conception of definite integral， this thesis analyzes the methods of solving some problems and enlightenment of learning mathematics.

Keywords： definite integral； computation； application

数学是一门自然科学，数学书籍几乎是公理体系来呈现内容的，数学内容是概念、定理、法则与公式表现出来的，而数学概念则是构成数学内容的基础，它是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式。概念是思维的基本形式，是对一切事物进行判断和推理的基础，数学概念也不例外。

定积分是高等数学的重要概念。可以说，导数是微分学的核心概念，而定积分则是积分学的核心概念。本文主要分析定积分概念的理论应用、实际应用与学习启示。

一、定积分概念的理解

现在先阐明定积分概念。

定积分是高等数学的基本概念，是微积分学中积分学的基础概念。它是一个在有限区间上一个有界函数通过“分割、近似、求和与取极限”得到特殊和式的极限：

二、定积分概念的应用

定积分概念是一个至关重要的概念，以其为基础，可以解决许多的理论问题与实际问题。

这样基于定积分概念就得到了微积分基本公式，而且很容易理解。

（二）解决几何、物理的问题

（三）求数列极限

定积分是一种和式的极限，如果一个和式的极限式符合定积分定义，就可以借助定积分计算解题。

（四）函数求证

这里使用了定积分概念所体现的积分对区间的可加性。

（五）重积分与定积分的转化

我们知道重积分最终都化为若干次定积分的计算。反之，我们也可以把定积分转化为重积分式来计算定积分，核心技巧就是利用定积分与积分变量记法的无关性。

利用相同的技巧，可以证明如下不等式

（六）定积分的数值计算方法

掌握好定积分定义，我们完全容易理解定积分的数值计算方法。在数值分析中，积分与微分的数值计算是一个重要的知识点。

定积分的几何意义是曲边梯形的面积，通过分割、近似、求和与取极限来定义曲边梯形的面积。定积分定义本身就是借助于有限项和的极限来实现无限项求和问题。利用定积分定义，通过分割、近似、求和可以得到的曲边梯形的面积的近似数值，分割的越细，近似程度越高。在数值分析中，就是依据此原理来近似计算定积分的。常用的简单易行的公式有复合梯形公式与复合型辛普森公式等，这两个公式中都是把积分区间分割，前者把每一个积分区间对应的小曲边梯形近似看作是顶端是斜线的直角梯形，后者则把每一个积分区间对应的小曲边梯形近似看作是顶端是二次曲线的曲边梯形。

（七）定积分与积分变换

在定积分基础上将定积分的积分区间由有限推广到无限或将被积函数由有界推广到无界，就形成反常积分（也叫广义积分）。不过，当积分被积函数可以求出原函数时，反常积分仍然可以借助于牛顿-莱布尼茨公式计算。

在工科院校中，积分变换是一门重要课程，它的重要意义是变换本质是一种映射，把要在时域上函数转化为频域上的函数，使得工程问题便于解决。积分变换是自动控制领域和电信技术等领域分析问题的有效工具。如傅里叶变换与其逆变换形式如下

但是从数学的观点来看无论是傅里叶变换还是拉普拉斯变换都是无穷限的反常积分，只不过稍微复杂了一点，是含参变量的反常积分。这样我们掌握好定积分概念，积分变换的基本概念也就得到掌握，进一步可以更好的学习积分变换的性质与应用。

当然依据定积分的定义来解决的问题很多，笔者仅仅在此举出一些常见的概念的应用。

三、结束语

数学概念是数学理论体系中最基本的知识单元。对高等数学的积分学而言，如果对于定积分概念理解的比较深刻，通过定积分概念与其他知识点之间形成一个相互促进的关系实现了对定积分概念的学以致用的目的，这对于我们学习后面的高等数学起到了不可估量的作用，它的作用不仅涉及到本门课程，而且涉及到后续其他课程。对于定积分概念的作用分析，启迪我们在学习数学时要时刻关注概念的内涵与后续相关知识点，使得对数学学习实现学以致用、融汇贯通的目的，满足了高等教育中学生应用能力培养的要求。

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