归类：克服数学学习断层的策略

□文 浙江省仙居县第八小学 王燕平 浙江省仙居县白塔镇第二小学 张卫星

连续接任六年级数学教学，最苦恼的就是孩子的数学学习出现断层，精妙的课堂教学设计无法顺利开展，课后辅导更是有心无力。如何克服学习断层现象？笔者结合这几年的教学实践，摸索归类搭桥的方法，以期帮助学生更好地学习数学，达到知识的系统化，从而提高学习效率。

在生活中，一提到类，我们就会想到具有共同特征的事物。实际上，类是对现实生活中一类具有共同特征的事物的抽象。既然是抽象，就需要师生智慧的参与。生活中，和类密不可分的就是归类、整理，繁杂的物品一经归类整理，立刻会显得整齐、舒心。由此可见，六年级学生数学学习的断层现象也需要归类搭桥。很有必要由老师引导着学生对所学过的数学知识进行归类整理，让零碎的数学知识形成知识网络，切实提高数学学习效率。

一、归类——让散落的知识点联结成网

归类，其实就是对知识的一种梳理。通过归类，可以让学生更好地厘清各知识点之间的关系，从而让学习更高效。人教版六年级数学上册的教学内容包括：分数乘法、位置与方向、分数除法、比、圆、百分数、扇形统计图、数与形。8个单元，我们有必要进行知识梳理，使得零散单元成为知识大块，以此减轻学生的记忆负担。

1.通过比较，新知识纳入原有体系

将新知识纳入原有知识体系是建构主义的核心要义，比较是达成这一目的有效途径。基于这样的思考，笔者在任教第一单元的时候就有意识地做了类的渗透。分数乘法意义的教学，教材编排了两个例题，我们需要加强比较，在新授教学中不断重组学生的认知，扩展乘法意义的体系。

例题1，分数乘法的意义是求几个相同分数相加之和是多少。在整数乘法的学习中，学生已经建立乘法就是求几个相同加数的和这一模型，而例题1的新知识点在于这个加数的变化，几个相同加数既可以是整数，也可以是分数，从而发现分数乘法的意义和整数乘法完全相同。

例题2，先从整数乘法引入，根据图意得到12×3，引导学生回顾数量关系：每桶水的体积×桶数=水的体积，根据这一数量关系，就可以推理出求图二图三都是用乘法计算，只是每桶水的体积从整数换成了分数，从而理解一个数乘几分之几可以表示求这个数的几分之几。至此，通过例题2的学习使学生总结出分数乘法的另一层意义：求一个数的几分之几是多少。同时，还要引导学生认识到，求一个数的几分之几是多少就是求一个数的几倍是多少，当数量增加不足一倍的时候，就用几分之几表示，因此这一层分数乘法的意义就是对整数乘法意义的一次扩展。

依着教材的例题编排，在新课教学的过程中，我们有意识地引导学生把分数乘法的意义和整数乘法的意义进行类的归属，由此可以帮助学生完成乘法意义的一次扩展，在不增加记忆负担的前提下拓展数学认知。

2.通过转化，新知识变成旧知拓展

将新知识纳入原有知识体系是上策，但有些新知识却很难纳入原有知识体系，这时我们就可以通过转化将新知识变成旧知识拓展，从而沟通新知与旧知之间的桥梁。分数乘法的教学已经相对抽象，学生不易直观感知，分数除法就更加难以形象教学。据此，分数除法的教学需要做好一个纽带，那就是“倒数的认识”，倒数意义的建立大大降低了分数除法的新知难度。

分数除法是在学生已经掌握了分数乘法计算方法的基础上学习的，通过倒数这个纽带点把分数除法和分数乘法建立直接联系，巧妙地把除法问题转化成乘法计算，还能加深对乘除法关系的理解，让学生体会到数学知识方法的内在联系。

以此类推，再在除法的基础上学习比的知识，在分数乘除法的基础上学习百分数的知识，认识到求一个数的百分之几和求一个数的几分之几是相通知识，扇形统计图又和百分数密不可分。

3.通过归类，数学知识脉络变清晰

让数学知识变得简单易懂，是数学教学的最高法则。通过上述的比较与转化，可以让学生发现人教版六年级数学上册的数学知识体系就是在分数乘法的基础上不断拓展。学好了分数乘法，就可以让分数除法、比、百分数、扇形统计图等单元的学习更简单。

原本，一打开数学书就看见密密麻麻的8个单元目录，学生很容易产生畏难情绪。归类学习在这里发挥了巨大功效，通过分数乘除法的搭线，使得六上数学知识一下子缩减为两条学习主线，一条是经过串联的分率体系，另一条则是余下的3个单元位置与方向、圆、数与形。这样的数学学习多么神奇，又多么有趣！数学学习的断层现象自然可以避免。

二、归类——让繁杂的学习方法简洁有效

归类，既可以厘清知识间的关系，又可以让繁杂的学习方法变得更加简洁有效。因此，我们除了要帮助学生梳理知识点开展归类记忆，还要指导学生在学习方法上也要树立归类意识。

1.用数量关系串起解决问题

在解决问题教学中让学生搞清楚题中的基本数量关系是十分重要的。我们在教学中可从解题思路入手，引导学生掌握一些常见的数量关系，帮助学生总结解题规律，提高学生的思维能力。通过数量关系运用的教学，可以使学生经历从具体的现实情境中抽象出一般的数学问题，并选择和运用相关的数学运算解决问题。

人教版六年级数学上册的分率问题对于学生来说比较抽象，难以和生活经验直接挂钩，这时候很有必要唤醒学生的数量关系，把繁杂晦涩的解决问题归类置办。分率问题其实就是二年级倍数问题的深化，从求一个数的几倍是多少拓展到了求一个数的几分之几、百分之几是多少。在教学的过程中要让学生理清分数的量与率问题，弄清楚哪个量是单位“1”，要求的量是单位“1”的几分之几，再根据分数乘法的意义列式解答。不论解决问题的情境如何变化，其内在的数量关系是不变的，因此，我们不妨紧紧抓住单位“1”的概念，把六年级数学上册的解决问题串成一条线。

在分数乘法这一单元中，学完分数乘法，要让学生带着“单位‘1’的量×对应分率＝对应数量”这一关系式去审视分数除法的解决问题，“对应数量÷对应分率＝单位‘1’的量”这一关系式也就能够跟随着学生走进分数除法，更加容易理解怎么求单位“1”的量。随着这一数量关系式的不断应用，分率问题的解题模型逐渐清晰，先找到单位“1”的量，再找出是哪个量和单位“1”在比较，又对应着几分之几，从而准确判断计算方法。搞定了分数乘除法，再把比的应用、百分数解决问题串进来，使之成为一个知识大块，大幅度减轻学生的记忆负担，让纷繁复杂的分率百分率问题成为可以模型化的数学问题。

2.把常数记忆融入计算教学

学生数学学习还有一个断层，就是特别容易在计算上栽跟头，学生自我检讨一般都是觉着不够细心，家长往往也是这样归因，认为自己的孩子聪明是聪明，就是太粗心了。

学生计算频繁出错的原因是多种多样的，不能一概而论以粗心两字总结。以六年级数学上册的计算为例子，学生最容易在分数、小数混合计算上出错，尤其是遇到一道题中分数、小数都可以互化的时候，学生最容易犯懵，究其原因在于不能准确灵活运用互化技巧。

如何提升这样的判断准确性？为什么老师就能一眼辨别，学生却百思不得其解，甚至屡试屡错。究其根本，笔者认为学生缺乏常数诵读。如果在学生的脑海中清晰分布各种数的分数、小数、百分数形态（如下图），那么在计算的时候就不需要一边想着对策一边还要列一个小竖式，如果可以做到自动识别数的不同形态，那以怎样的形态计算更加方便自然就能迎刃而解。

因此，笔者在教学中动员学生抄录常见分数小数百分数的互化表，并要求学生经常诵读做到烂熟于心，以此强化对数的准确判断，提高计算的准确性与灵活度。

同理，在学习圆这一单元的时候，又和学生一起梳理圆周率的相关计算（如上图），同样要求背诵，在圆周长、面积的计算中，学生真正达到算得又对又快。而且，圆周率相关计算的熟练度直接影响到六年级数学下册圆柱圆锥的学习，尤其是圆柱的表面积体积计算，经常涉及圆周率相关的繁杂计算，这时候，背诵过常数记忆的孩子们就显出了先天优势，第一时间避免了计算的烦躁感。

3.在变与不变之中寻找突破

学习数学最难的还是思维的卡壳，而数学命题的特点就是千变万化，更换情境、数据、叙述方式、表现形式等等，普遍的现象就是班级中的中等生会在习题的变化中迷失方向。如何帮助学生在解题中明辨是非，定准思考方向？笔者认为教学中要多用题组训练，要注重一题多变，不断引导学生对数学习题进行对比分析，抓住解题步骤中的不变因素，从而破解难题。

以人教版六年级数学上册工程问题的学习为例，例题是这样编排的：这条道路，如果我们一队单独修，12天能修完。如果我们二队单独修，18天才能修完。如果两队合修，多少天能修完？

教学时，引导学生采用假设总路长解答此题，集中交流解题方法，让学生观察不同的总路长，分析计算上有什么相同之处。引发思考：为什么总路长改变，最后合修的总天数却是不变的？通过交流讨论发现，随着总路长的改变，两队每天修的长度也在改变，两队每天修完的数据大小随着总路长数据大小的变化而变化。进一步讨论又发现，一队每天修完的数量都是总路长的十二分之一，二队每天修完的数量都是总路长的十八分之一，所以不论路长与短，两队合修都需要7.2天。带着学生经历过总路长这样不断变化，又在对比之中发现每队工作效率的不变性，从而归纳得出可以假设总路长为单位“1”，每队工作效率就是“1/工作时间”。

通过对例题的变化学习，使学生抓住工程问题的“变中之不变”，找到这一类问题背后的数学模型，概括出解决问题的一般思路，然后推广到其他类似问题。其他数学问题也是如此，我们要善于引导学生归类总结，在“变与不变中”得出一般规律，让难题迎刃而解。

总之，归类既是一种思想方法，又是一种学习方法。它可以沟通知识间的联系，也可以让数学学习变得更加简单。因此，我们在数学教学中要善于运用归类这一方法，努力克服学生在数学学习中产生的断层现象，让数学教学更顺畅、更简洁，从而让数学思维素养的培养落地生根。◇