整体视域下小数教学“三维体系”的构建

2018-05-22江苏省苏州市相城区陆慕实验小学曹志国

重庆与世界(教师发展版) 2018年4期

□文/江苏省苏州市相城区陆慕实验小学曹志国

数的认识是学生学习数的运算、研究数量关系的重要基础，而小数的认识是其中的核心内容之一。《义务教育数学课程标准》（2011版）在课程目标中提出了经历从日常生活中抽象出数的过程，初步认识小数，理解小数的意义，掌握必要的运算技能等目标。广大教师在教学时，一般只将小数的意义作为核心内容，将其读写、大小比较、四则计算等作为重点内容展开教学。

然而建构主义认为：“认识必定是一个整合的过程，即如何把新的对象纳入已有的认知结构之中，从而使全部知识汇成一个整体。”笔者以为，要真正实现“课标”中提出的理解小数的意义等目标，还需要“跳出”小数开展小数教学，基于整体性视域，站在更为宏观的层面，适时建构小学与整数、分数等之间的联结，呈现更为系统的知识结构，促进学生认知结构的形成。

一、关注数系的构建

在中小学数学中，从自然数开始到复数集的建立，数系经历了四次扩充（主要是逐步添加元素并强调运算可施行），其扩充过程是：自然数（添正分数）、非负有理数（添负有理数）、有理数（添无理数）、实数（添虚数）复数。数系的每一次扩充，都扩大了数的应用范围。小数和分数的扩充，增强了现实世界中对数量表达的能力，使整体中的“部分”无法用自然数表示时，有了刻画的方式；也使除法运算得以封闭。

其实，分数与有限小数或者无限循环小数之间是对应等价的。我们可以用小数定义有理数，即为有限小数或者无限循环小数；进一步，将无限不循环小数称为无理数；进而，就可以用小数定义实数，有理数和无理数统称为实数。

现行各版本教材在认识小数内容编排时，也都或多或少地对小数的诸多种概念进行了介绍。比如，现行苏教版教材在五年级上册“小数的乘法和除法”单元的最后以“你知道吗”的方式，介绍了有限小数、无限小数、循环小数等概念，意图向学生传递小数知识，拓宽对小数的全面认识。但在实践中，对“你知道吗”的教学常常停留于阅读的层面，导致“水过地皮湿”，学生阅读之后，什么印象也没有。

为提升教学效果，应充分依托“你知道吗”等教学资源，组织探索性、研究性活动，引发深度学习，帮助学生建构更为全面的数概念。教学中，可呈现商为整数、有限小数、无限小数等多例除法竖式，学生小组合作计算结果，并以小数的位数的多少为标准对结果进行分类。之后，教师再适时介绍有限小数、循环小数、有理数。再由祖冲之的故事引入π，呈现当代数学家已将圆周率算到小数点后几万亿位，有的数学爱好者能一口气背出圆周率小数部分很多位等素材；并对黄金分割及希帕索斯被害致死的故事等进行介绍，生成无限不循环小数、无理数、实数等概念。学生虽然暂时还不能完全理解上述概念，但他们能真切地感受到人类对数学知识的不懈追求，在不知不觉中走进了更为广阔的数的世界，更为宏观的数系概念也已悄然孕伏，激发了他们对于数学学科的浓厚兴趣。

二、关注计数法体系的构建

2000年度国家最高科学技术奖获得者吴文俊院士在其著作《吴文俊论数学机械化》中写道：“位值制的数字表示方法极其简单，因而也掩盖了他的伟大业绩……这一发明对人类文化贡献之巨，纵然不能与火的发明相比，至少是可与文化史上我国的四大发明相媲美的。中华民族应以这一发明而自豪。”史宁中教授指出：“在小学阶段，理解小数的重点在于对于十进制的认识。”小数教学，应着力构建小数计数单位之间的十进关系，并打通其与整数之间十进关系的联接，构建十进制计数法体系，充分感悟这一数学史上“最妙的发明之一”。

图1

在认识多位数时，学生已经掌握“十个一是十”“十个十是百”“十个百是千”生活中，学生对小数计数单位及其之间的关系虽有着感性认识，但缺乏理性认知，系统性更是缺乏。而小数的表征形式与自然数相似，都是十进制，小数部分相邻的计数单位之间，以及十分位和个位的计数单位之间，进率都是十。教学中，对其表征的相似性应有敏锐的洞见，逐步呈现（图1），打通联结，构建体系。

自然数、小数互联的十进制计数法体系的构建，使十进制的进率方向具有“双向性”。向右不断乘10，计数单位可以无限大；向左不断除以10，计数单位可以无限小；一左一右的延伸，使学生对数的认识更为全面系统。体系的构建处于学生的最近发展区内，促进了对十进制的深度认知，揭示了十进制计数法的深刻内涵。

三、关注运算规则体系的构建

数学教学中应力求呈现数学动态统一的、有机关联的、鲜活生动的、具有探索性的和全息性知识特征的科学与文化形象，而不是固定不变的、僵化教条的、局部的、彼此分割的知识条块和记忆库。小数的运算中很多内容互相依存、彼此关联，存在着严密的逻辑性。教学中，要找寻小数与整数、分数四则运算之间的“共同规则”，将多个“规则单一体”整合成“规则共同体”，实现表征系统间的互相转换，使规则交叉融合，结成网、连成片，构建运算规则结构系统。

教学中，要依据算理进行算法教学，使学生厘清，整数加、减法的竖式计算时，将个位对齐；小数加、减法的竖式计算要把小数点对齐；分数加减法中需要先通分；其原理其实都是一样的，本质上是把相同计数单位的个数相加减。列竖式计算小数乘法中，小数点对齐法或末尾对齐法（图2），就是将计数单位再统一，计算的是统一之后的计数单位的个数。当然，从算法优化的角度看，末尾对齐法更为方便、不易出错。

图2

在此基础上，将其与整数乘法规则（图3）再进一步统一：不论是整数乘法、还是小数乘法，都是计算乘积中所包含的新的、统一的计数单位的个数，再根据包含的新的计数单位的个数，写出最后的结果。当然，站在算法统一的角度，还要适时沟通小数除法与小数乘法之间的联系，它们都是转化为整数乘、除法之后再进行运算。计算规则的统一，学生在头脑中产生了新的综合心理图式，构建了更为清晰、完整和稳固规则系统，走进了数学的知识本源与精神内核。