求不定积分的几种常用方法

修风光

【摘要】不定积分是高等数学中最重要的概念之一，对于一个给定的函數，如何求出不定积分，是不定积分研究的主要问题，也是不定积分的重点和难点.本文把高等数学中所涉及的不定积分的计算方法进行了归纳总结，并通过若干典型例题具体地说明每一种方法的使用过程以及注意事项.

【关键词】不定积分；换元积分法；分部积分法；高等数学

高等数学是培养学生掌握科学思维能力、掌握数学知识和数学技术的重要基础课程.通常认为，高等数学是由微积分学，较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科.该课程的核心是微积分理论，而后者是现代科学的理论基础.著名的数学家、计算机的发明者冯诺依曼曾说过：“微积分是近代数学中最伟大的成就，对它的重要性无论做怎样的估计都不会过分.”由此可见，微积分在近代数学发展中的作用.

微分学解决了如何由已知函数求出它的导数或微分的问题.而在实际问题中，存在许多与此相反的问题.例如，已知物体的瞬时速度v=v（t）=dsdt，如何求出此物体的运动方程s=s（t）.这类问题很普遍，用数学方法可概括为如何由已知函数的导数求出原来的函数，这就是积分要讨论的中心问题.

积分学是微积分的主要部分，在高等数学中占有重要地位.而一元函数积分学是积分学的基础，重积分、曲线积分与曲面积分的计算最终都要化为定积分.从某种意义上讲，不定积分处于辅助位置，它的重要性就在于为定积分的计算提供了一种简便快捷的工具.

下面将详细介绍一下在不定积分的计算过程中常用的几种方法.

一、直接积分法

所谓直接积分法，就是把被积表达式化成积分表中的形状，然后按积分性质及积分表中的公式直接写出结果.用直接积分法求不定积分的关键是对被积表达式进行适当的变形.

分部积分法主要应用于被积函数是两个不同类型的函数乘积的积分问题，尤其是被积函数是反三角函数、对数函数或幂函数这三类函数与某一个易获得原函数的函数的乘积的形式.如果遇到被积函数为三角函数与指数函数的乘积，可连续进行两次分部积分，得到一个所求积分满足的恒等式，从而可求得积分.

最后，应当指出的是，在求同一不定积分时，可能有很多种方法，各种方法得到的结果形式上可能不一样，但实际上最多差个常数，其结果是否正确可通过求导数，即其导数是否与被积函数一样来验证.不定积分计算的核心是分析被积函数的特点，联想基本积分公式，通过各种手段、不同的处理方法，千方百计地向基本公式靠近.求不定积分比求导数要难得多，尽管有一些规律可循，但在具体应用时却十分灵活，因此，应通过多做习题来积累经验，熟悉技巧，才能熟练掌握.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]赵振海.高等数学学习指导与习题全解[M].大连：大连理工大学出版社，2004.

[3]欧阳光中，姚允龙，等.数学分析[M].上海：复旦大学出版社，2004.